Modelos de Escoamento

Segundo Tucci et al (2009, p.374), para se representar os diferentes tipos de escoamento ao longo da bacia hidrográfica, são utilizadas conceitos físicos e formulações matemáticas que visam descrever o tipo de escoamento com base nas leis físicas que regem esses fenômenos. Assim é possível realizar uma análise quantitativa através das variáveis utilizadas para descrever o escoamento como vazão, profundidade e velocidade.

Ao se analisar o comportamento do escoamento, são utilizadas equações de conservação de massa, de energia e quantidade de movimento. Como exemplo, o mesmo autor destaca que: “num trecho de rio, a vazão de montante, a contribuição lateral e a vazão de saída são as entradas e saídas que devem preservar a massa do sistema, identificado como o

trecho do rio.” No Quadro 7 são apresentados os dois tipos gerais de escoamento, o

Quadro 7 – Tipos gerais de escoamento, variações e aplicações práticas

Tipo de Escoamento Variações Aplicações

Permanente:

Gradiente de velocidade e nível são nulos. Não existe variação de estado no sistema.

Uniforme:

Gradiente de profundidade com o espaço é nulo; velocidade constante.

x Cálculo de remanso em rios;

x Análise de perfil de cheias;

x Escoamento em períodos de estiagem

x Dimensionamento de obras hidráulicas

Não-Uniforme:

Variação do gradiente de profundidade com o espaço; Variações na velocidade.

Não Permanente:

Considera a variação no tempo e no espaço das variáveis

Problemas hidrológicos de escoamento superficial em rios e canais

Fonte: Tucci et al (2009, p.373-374).

Com base nessas considerações iniciais, o escoamento em rios e canais pode ser representado através de duas equações, uma de conservação de massa e outra de conservação de movimento, também conhecidas como equações de Saint Venant ou Equações unidimensionais do escoamento não – permanente gradualmente variado (TUCCI et al, 2009, p.374, 378).

A equação que descreve a conservação de massa é conhecida como Equação da Continuidade e é representada através da Equação 1(SILVA, 2006, p.11):

(1)

Onde: Q - vazão volumétrica; A - área da seção molhada; x - distância na direção longitudinal; t - tempo; qL - entrada ou saída de vazão por unidade de largura.

Já a Equação de Conservação de Movimento (Equação 2) apresenta a seguinte formulação, nela são consideradas as forças da gravidade, atrito e pressão:

(2)

Onde: Q é a vazão volumétrica; A - área da seção molhada; x - distância na direção longitudinal; t - tempo; y - profundidade; So - declividade do fundo; Sf - declividade da linha de energia; g - aceleração da gravidade.

Os termos de inércia são representados pelos dois primeiros termos da equação (2), o termo de pressão é representado pelo terceiro termo e os termos de gravidade e atrito são os dois termos do lado direito da equação. As demonstrações e considerações matemáticas utilizadas para a obtenção das fórmulas acima são apresentadas em maior detalhe em Tucci et al (2009, p.374-379), assumindo que são feitas simplificações e premissas sobre o escoamento, as quais não comprometem a representação da maioria dos problemas de escoamento em rios e canais.

A utilização ou a desconsideração dos termos da equação de Saint-Venant irá determinar o tipo de modelo de escoamento que podem ser do tipo armazenamento, onda cinemática, difusão e hidrodinâmico, cujas propriedades e formulações são apresentadas no Quadro 8.

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Tipo de Modelo Premissas Formulação matemática Aplicação

Armazenamento

x Equação da continuidade concentrada

x Relacionam armazenamento e a vazão de saída e entrada do trecho para simular o escoamento

x Despreza-se a variação longitudinal da vazão e da área ao longo do trecho

S - armazenamento total no trecho; I - vazão de entrada no trecho [m3/s]; Q - vazão de saída no trecho [m3/s];

I’ - derivada de I com relação ao tempo; Q’ - derivada de Q com relação ao tempo.

x Muito utilizado em hidrologia devido à simplicidade de formulação e o pequeno volume de dados utilizados

x Necessários hidrogramas de montante e jusante na fase de ajuste

x Não é apropriado para casos onde há efeito de jusante sobre o escoamento

x Não necessita de dados físicos

Onda Cinemática

x Equação da continuidade distribuída e expressão simplificada da quantidade de movimento;

x Declividade do fundo igual a declividade da linha de atrito;

x Força da gravidade é preponderante sobre os demais termos da equação da quantidade de movimento;

x Relação biunívoca entre o nível e a vazão em uma seção;

x Onda de cheia ser propaga mais lentamente que as pequenas perturbações;

x Predomínio das ondas cinemáticas no escoamento.

Q - vazão volumétrica

x - distância na direção longitudinal A - área da seção molhada;

t - tempo;

So - declividade do fundo;

Sf - declividade da linha de energia;

x Simula somente os efeitos de montante

x Não é apropriado para casos onde há efeito de jusante sobre o escoamento

x Aplicado em casos onde o número de Froude seja inferior a 1,5

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Difusão

x Utiliza as equações da continuidade e a equação de quantidade de movimento sem os termos de inércia

x Considera os termos de pressão

y - profundidade;

x - distância na direção longitudinal; So - declividade do fundo;

Sf - declividade da linha de energia;

onda cinemática

x Leva em consideração efeitos de jusante

x Velocidade não pode ter gradientes significativos

Hidrodinâmicos

x Modelos mais completos para o escoamento unidimensional gradualmente variado

x Considera-se todos os termos da equação dinâmica

Q - é a vazão volumétrica

x - distância na direção longitudinal A - área da seção molhada;

t - tempo;

So - declividade do fundo;

Sf - declividade da linha de energia;

v - velocidade.

x Requer soluções numéricas das

equações diferenciais

x Necessitam maior quantidade de dados que os modelos anteriores

x Maior precisão

x Representação física do escoamento

x Previsão do movimento das águas em um sistema de escoamento, geralmente apresentando aspectos quantitativos do volume ou quantidade de água (ROSSMAN, 2009, p.1)

Fonte: adaptado de SILVA (2006, p.11-14) e TUCCI et al (2009, p. 381-389). .

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