Modelos EW

Comodisutidoaima,aDAMAX paraalasseEWfoiestudadanumeriamente

e também através de aproximações analítias por Lee [30℄, que mostrou que a

auda (àdireita) daDAMAX deve ser

P (m) ≈ L ² e ⁻ ( ln ^πν L ) ^{m 2} e ^{−KL 2 e −} ( ln ^πν L ) ^{m 2}

(4.2)

onde

K

^{é uma onstante e}

ν

^{é a tensão superial da equação EW (eq. 2.24).}

Para

m ≫ h m i

^{, a exponenialdupla deve ser da ordemde}

1

^{, assim amosom}

um deaimento gaussiano. Porém, a distribuição de Gumbel (eq. 4.1) tem uma

auda que laramente não é gaussiana, e tende a uma exponenial simples para

m

^{grande. Então, não devemos esperar que a} distribuiçãode Gumbelrepresente

o omportamento daquelaauda gaussiana.

Figura4.1: DAMAX daequação EW(urvaontínua), para umaaixade

tama-nho

L = 64

^{, omparada om a} distribuição de Gumbel(traejada) om

n = 2.6

^,

em esalas (a)linear e (b) mono-log.

Para veriar isso,nós alulamos aDAMAX integrandoa equaçãoEWpara

diferentes parâmetros

ν

^e

D

^{(verapêndieC)e observamosque, de fato,aauda}

à direita tem um deaimento gaussiano, que não olapsa om a distribuição de

Gumbel generalizadaom

n = 2.6

^{,ao ontrário do quefoi sugeridoporLee [30℄.}

Isso está mostrado na gura 4.1, onde apresentamos resultados para equação

EW integrada om

ν/D = 1.5

^e

∆t = 0.01

^{, em uma aixa de tamanho}

L = 64

(outrosvaloresde

ν/D

^nointervalo

[0.5, 2.0]

^{foramtestados e levamaos mesmos}

resultados). Vemos que, nos pios da DAMAX, há um aordo muito bom om

a distribuição de Gumbel (g. 4.1 (a)), mas nas audas o desvio é grande (g.

4.1 (b)). É importante notarmos que as onlusões de Lee [30℄ foram tomadas

a partir de distribuições pouo preisas, om muitas utuações sobretudo nas

audas (ver gura 4daquela referênia).

AskewnessdaDAMAXtemumvalor

S = 0.68 ± 0.02

^{,entãodevemosesolher}

n

^{na equação 4.1 tal que a skewness dessa última (}

S _G ≡ R

dxx ³ P (x; n)

^{) tenha}

um valor próximo da skewness da DAMAX. Por isso usamos

n = 2.6

^{, que nós}

dá

S _G ≈ 0.68

^. Naturalmente, essa esolhaproduz um bom olapsodos pios das distribuições.

4.2.2 Modelos KPZ

Em todos os modelos tratados até aqui, as superfíies são gaussianas, isto é, a

distribuiçãode alturaségaussiana. Portanto,nessesmodelos asimetriaup-down

(ver seção 2.2) é obedeida e a DAMAX e a DAMIN são idêntias. Porém, nos

modelos de interfaes não lineares, não temos essa simetria, então as audas à

esquerdaeàdireitadadistribuiçãodealturastêmdeaimentosdiferentes. Assim,

devemos esperar que a DAMAX seja diferente daDAMIN nesses modelos.

Nós integramos a equaçãoKPZ para omesmo onjunto de parâmetros dados

naref. [80℄eobservamosumadependêniadesprezíveldasdistribuiçõesomestes

parâmetros. Nagura4.2, nós mostramos aDAMAX e DAMIN, paraa equação

KPZ om os parâmetros

g ( ≡ λ ² D/ν ³ ) = 24

^,

∆t = 0.04

^e

c = 0.5

^{, integrada em}

uma aixa de tamanho

L = 64

^{. Em 4.2 (a), observamos uma pequena diferença}

-2 -1 0 1 2 3

Figura 4.2: DAMAX (urva ontínua) e DAMIN (traejada) da equação KPZ

(integrada),parasubstrato detamanho

L = 64

^{,emesalas(a)lineare(b)}

mono-log.

nospioseem(b)vemosqueasaudasnãoolapsam. Devemoshamaraatenção

para ofato quea diferençaentre aDAMAX eDAMINnão é ausada porefeitos

de tamanho nito, pois essas distribuições olapsammuito bem om aquelas de

tamanhos inferiores(

L = 32

^e

16

^{). Assim, onluímosque, de fato,existemduas}

distribuiçõesdistintas para os máximose mínimos.

Para veriar a universalidade dessas distribuições, nós também alulamos

estas paraosmodelosde Ething,RSOS eDB(desritos naseção 2.3),todosem

substratosdetamanhos

L 6 256

^{. Nagura4.3(a)nósomparamosaDAMAXda}

equaçãoKPZomaDAMAXdaDBeaDAMINdomodeloRSOS,eobservamos

um ótimo olapso. O mesmo se observa para a DAMAX do modelo de Ething

(não mostrado). Da mesma maneira, observamos um aordo muito bomentre a

DAMINda equaçãoKPZ, a DAMIN dos modelos DB eEthing e aDAMAX do

modelo RSOS (gura 4.3 (b)). Conforme disutimos na seção 3.5, a assimetria

dadistribuiçãode alturas dependedosinal dooeiente dotermo não linearda

equação de resimento. Assim, aqui também devemos esperar que a DAMIN

(DAMAX) de modelos om

λ < 0

^{seja igual à DAMAX (DAMIN) de modelos}

-4 -2 0 2 4 6 8

Figura 4.3: (a) DAMAX da equação KPZ (urva ontínua) e DB (triângulos),

e DAMIN do modelo RSOS (quadrados). (b) DAMIN da equação KPZ (urva

ontínua) e modelo de Ething (triângulos), e DAMAX do modelo RSOS

(qua-drados). Os tamanhos de substrato são

L = 64

^{para a equação KPZ e}

L = 256

para os modelos disretos.

om

λ > 0

^{, o que se onrma pelos bons olapsos da DAMAX (DAMIN) do}

modelo RSOS om a DAMIN (DAMAX) dos outros modelos.

O bom aordo visual das distribuições na gura 4.3 se revela no

omporta-mento daskewness destas. Conforme mostrado na gura 4.4(a), a skewness da

DAMAX dos modelos om

λ > 0

^{tem o mesmo} omportamento assintótio da DAMINdo modelo RSOS.Em (b) observamos o mesmoom a DAMINdos

mo-delos om

λ > 0

^{e a DAMAX do modelo RSOS. Nessa gura podemos observar}

que os efeitos de tamanho nito são muito pequenos para a equação KPZ

(inte-grada) e os modelos DB e Ething, o que permite uma boaextrapolação desses

dados para o limite

L → ∞

^{, onde estimamos}

S ≈ 0.79

^{para DAMAX (}

λ > 0

^{) e}

DAMIN (

λ < 0

^{) e}

S ≈ 0.65

^{para DAMAX (}

λ < 0

^{) eDAMIN (}

λ > 0

^).

Por outro lado, as distribuições de extremos do modelo RSOS apresentam

efeitos de tamanho nitofortes, o que pode ser observado noomportamentoda

skewnessnagura4.4. Esseresultadoéinteressanteporque,omovimosnosdois

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

Figura 4.4: Variação da skewness om o tamanho de substrato

L

^{para (a)}

DA-MAX daequação KPZ (quadrados) emodelo de Ething (triângulos), eDAMIN

do modelo RSOS (ruzes); (b) DAMIN da equação KPZ (quadrados) e modelo

de Ething (triângulos),eDAMAX domodelo RSOS(ruzes). Oexpoente

1/2

^é

usadonaabsissaapenas paratornarlaraaevoluçãodosdadosquando

L → ∞

^.

apítulos anteriores, os modelos om menores utuações de alturas são aqueles

que apresentam efeitos de tamanho nito menores quando medimos expoentes

de esala, distribuições de alturas e rugosidade. Porém, aqui observamos uma

situação ontrária, ou seja, modelos om grandes utuações na superfíie, que

tipiamenteapresentamorreçõesfortesnessasquantidades,têmefeitosde

tama-nho nito muito pequenos nas distribuições de extremos. Isso sugere que essas

distribuiçõessão omplementaresàsoutrasoutrasquantidades,funionandobem

onde estas falham (grandes diferenças de alturas),e apresentando diuldades

onde as outrasfunionam bem(superfíies muito suaves).

Todos osresultados aimamostramqueasdistribuiçõesde extremosdenem

duasurvasuniversaisDE1[DAMAX(

λ > 0

^)eDAMIN(

λ < 0

^{)℄eDE2[DAMAX}

(

λ < 0

^{)eDAMIN (}

λ > 0

^{)℄,para alasse KPZ. Então, essas} distribuiçõespodem ser usadasparaidentiarmososinalde

λ

^{emsistemasondeeste nãoéonheido}

a priori. Certamente, preisamos de distribuições muito preisas para isso, pois

nagura 4.2vemos que adiferençaentre aDE1 eDE2 não émuitogrande. Isso

é possível na simulação de modelos omputaionais, onde, em geral, podemos

onseguir distribuições muito preisas. Todavia, usando dados experimentais,

provavelmenteserá muito difíiltirarmosonlusõesonáveis om esse método.

De qualquer maneira,essas distribuições são um avanço sobre a omparação de

distribuiçõesde alturas,porqueestas apresentamefeitosde tamanhonitomuito

fortes. Para a DB, por exemplo, em tamanhos

L . 500

^as distribuições de alturas sugerem inorretamente que

λ < 0

^{nesse modelo, mas as}distribuiçõesde extremos indiamo sinal de

λ

^{orreto mesmoem substratos muito menores.}

As audas à direita da DE1 e DE2 tendem a exponeniais simples para

m

grande, em ontraste om todos os modelos lineares, que apresentam audas

gaussianas. Isso tambémmostra que a DE1 e DE2 são muito diferentes da

dis-tribuiçãode rugosidade KPZ,uja auda éuma exponenialestendida.

-2 0 2 4

Figura 4.5: DAMAX da equação KPZ (urva ontínua), para um substrato de

tamanho

L = 64

^{, omparada om a} distribuição de Gumbel (traejada) om

n = 1.95

^{, em esalas (a)linear e (b) mono-log.}

Na gura4.5omparamosa DE1om adistribuição de Gumbelgeneralizada

om

n = 1.95

^{, que tem uma skewness}

S ≈ 0.79

^{, omo a DE1. Assim omo}

aonteenalasseEW,ospiosdessasdistribuiçõesolapsam, masem(b) vemos

que asaudas apresentam desvios. Resultados análogossão obtidospara a DE2.

Então, podemos onluir que a distribuição de Gumbel também não é uma boa

representação para asdistribuições de extremos dalasse KPZ.

4.2.3 Modelos VLDS

A DAMAX e DAMIN também são diferentes na lasse VLDS. Na gura 4.6

mostramos essas distribuiçõespara aequação VLDS integrada om

ν 4 = λ 4 = 1

^,

D = 1/2

^,

∆t = 0.01

^e

c = 1/2

^{. Outrosonjuntosde parâmetrospróximosaestes}

foram testados e levaram aos mesmos resultados. Os pios dessas distribuições

são muito próximos,mas asaudas têm uma diferençaonsiderável. A DAMAX

apresenta efeitos de tamanho nito desprezíveis e as distribuições para

L = 16

e

32

^{olapsammuito bem (não mostrado). Por outro lado, a DAMIN tem uma}

onvergênia mais lenta para o limite assintótio e as distribuições para esses

tamanhos ainda não olapsam perfeitamente, omo mostrado na gura 4.6 (b).

De qualquer maneira,a audaà direitada DAMIN evolui, omo aumentode

L

^,

numadireçãoontráriaàqueladaDAMAX,indiandoqueessasduasdistribuições

são de fatodiferentes assintotiamente.

Infelizmente, o modelo CRSOS apresenta efeitos de tamanho nito muito

fortes naDAMAX eDAMINeaté

L = 128

^{(tamanho máximoparaoqual}

onse-guimosobterdistribuiçõespreisas) não observamosolapsoomasdistribuições

da equação VLDS. Porém, vemos que a onvergênia das audas vai na direção

orreta. Podemos veriar a universalidade da DAMAX e DAMIN pelo

om-portamento da skewness, que está mostrado na gura 4.7. Nessa gura vemos

que os resultados para a equação VLDS têm efeitos de tamanho nito fraos, e

extrapolando para o limite

1/L ^2/3 → 0

^enontramos

S ≈ 0.63

^{para a DAMAX}

-2 0 2 4

Figura 4.6: DAMAX (urva ontínua) e DAMIN (traejada) daequação VLDS,

em um substrato de tamanho

L = 32

^{, emesalas (a) linear e (b) mono-log. Em}

(b) mostramos também aDAMIN, para

L = 16

(quadrados).

e

S ≈ 0.55

^{para a DAMIN, om}

λ 4 > 0

^{. Mesmo} apresentando efeitos de tama-nho nitofortes, extrapolandoosresultados para omodeloCRSOSenontramos

valores bem próximos aos da equação VLDS. Isso india que

λ 4 > 0

^{para esse}

modelo, talomo nasua soluçãoexata em

d = 1 + 1

^[96℄.

Figura4.7: Variaçãodaskewness om otamanhodesubstrato

L

^paraaDAMAX

(ruzes) eDAMIN (írulos)da equaçãoVLDS etambémpara aDAMAX

(qua-drados)e DAMIN (triângulos)domodeloCRSOS.O expoente

2/3

^{naabsissa é}

aquele que nos dáos melhoresajustes linearesdos dados.

Finalmente, na gura 4.8 omparamos a DAMAX da equação VLDS om a

distribuição de Gumbel om

n = 2.90

^{, que tem}

S ≈ 0.63

^{. Podemos ver que,}

assim omoaontee paraa lasseEW eKPZ, ospios olapsam, mas asaudas

não. Isso é esperado pois a auda à direita da DAMAX tem um deaimento

gaussiano. Resultados análogossão enontradospara aDAMIN. Então podemos

onluir que, apesar de se apliar a vários sistemas orrelaionados [28, 29, 30℄,

a distribuição de Gumbel generalizada não é uma boa representação para as

distribuiçõesde extremosem superfíies (orrelaionadas).

-2 0 2 4

Figura4.8: DAMAX daequaçãoVLDS (urva ontínua), emsubstrato de

tama-nho

L = 32

^{, omparada om a} distribuição de Gumbel (traejada), em esalas (a)linear e (b) mono-log.

No documento ØÖ Ù Ø Ø Ø Ñ ÅÓ ÐÓ Ô Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÑ ÒÓ Ì Ó ÂÓ ÇÐ Ú Ö ÇÖ ÒØ ÓÖ Ó º º ÖÓ Ê Ì ÔÖ ÒØ Ó ÙÖ Ó È ¹ Ö Ù Ó Ñ ÍÒ Ú Ö¹ Ö Ð ÐÙÑ Ò Ò ÓÑÓ Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ø (páginas 85-93)