E
F
ig. 4.4 - Variation du paramètre C en fonction de E calculé d’après la solution
numérique au moyen de la relation C =
La résolution numérique des équations (4.14)-(4.17) par des méthodes de
continuation nous a permis de déterminer les maxima de ces variables en fonc
tion de E. Connaissant majcu en fonction de E, nous pouvons déterminer l’évo
lution de C en fonction de E
C = maxuE (4.105)
Nous avons porté ceci dans la figure 4.4.
Le paramètre C est une constante au premier ordre du développement
que nous avons effectué. Numériquement, nous voyons qu’il varie par exemple
comme
C«0.62F^/®. (4.106)
Cette forme apparaît seulement comme un bon ajustement.
Dans les variables originales des équations (4.5) et (4.6), utilisées dans la
figure 4.1, nous pouvons donc proposer
max9(Æ2) « 0.62 F®/®. (4.107)
4.9.2 Évaluation de la période
L’expression (4.101) nous permet de proposer pour la période de la séquence
la forme
<tot = (4.108)
E
F
ig. 4.5 - Période de la séquence d’impulsions dans l’échelle t en fonction de E.
Cette période possède le comportement asymptotique que nous avons déterminé
analytiquement E.
Dans la figure 4.5, le lecteur constatera que cette fonction possède le com
portement asymptotique de la période telle que nous l’avons déterminée numé
riquement.
4.10 Conclusions
Dans ce chapitre, nous avons montré que la solution périodique puisante
qui apparaît dans la génération de seconde harmonique au-delà du domaine
d’hystérèse peut être décrite analytiquement, moyennant le calcul numérique
de certains paramètres.
Elle consiste en une séquence d’impulsions bien décrites par des sécantes
et tangentes hyperboliques dont l’amplitude est donnée par un paramètre, C
à calculer numériquement. Nous avons déterminé celui-ci par des méthodes
numériques de continuation.
Nous avons aussi pu déterminer le comportement asymptotique de la période
de la séquence et de l’amplitude des impulsions.
Ces calculs analytiques nous ont enfin permis de guider le calcul numérique
et déterminer la variation du seul paramètre C.
75
Chapitre 5
Le laser avec DOPO
intracavité
5.1 Introduction
usQu’ici, nous avons considéré la SHG et le DOPO , ainsi que les autres sys-
J ternes à deux photons comme des éléments optiques dans une cavité propre
dans laquelle on injecte, de l’extérieur, un champ cohérent, et qui transforme
celui-ci.
Wu et Mandel (Wu et Mandel, 1986; Wu et Mandel, 1987) ont analysé la
configuration dans laquelle on place au sein de la cavité du léiser un cristal
générateur de seconde harmonique. On parle dans ce cas de SHG intracavité.
Ils ont montré que cet assemblage donnait lieu à un diagramme de bifurcation
qui possède des caractéristiques de chacun des sous-systèmes mais également
des propriétés spécifiques.
Dans la même perspective, après notre étude du DOPO isolé dans sa cavité,
nous nous sommes intéressés à la configuration du DOPO intracavité. C’est
l’objet de ce chapitre.
Nous avons adopté pour cette description le modèle semi-classique qui a
montré son à-propos dans l’étude des systèmes d’optique nonlinéaire, et qui se
prête fort bien à l’analyse des bifurcations et de leur diagramme, comme nous
souhaitons le faire.
Nous montrons que ce système possède un diagramme de bifurcation qui,
comme nous l’attendons, combine des propriétés du DOPO seul et du laser, et
surtout exhibe un comportement particulièrement intéressant pour lequel, au-
delà du seuil d’apparition du second mode lasant, l’intensité du mode principal
est fixée à une valeur constante pour un domaine fini de variation de l’intensité
de la pompe. Cette caractéristique importante avait déjà été mise en évidence
au début des années soixante dans (Siegman, 1962; Oshman et Harris, 1968).
Ainsi, toute augmentation de l’intensité du pompage se traduit uniquement
par une augmentation de l’intensité du mode sous-harmonique. Cette propriété
spécifique implique également que les fluctuations de l’intensité de la pompe ne
se reflètent pas dans celle du mode principal.
lutions périodiques que nous étudions ensuite numériquement. Nous analysons
aussi la position des bifurcations et la manière dont la solution périodique perd
sa stabilité.
Ces résultats ont été mentionnés dans (Pettiaux et Mandel, 1991b).
5.2 Les équations du système
Nous avons décrit le système que nous allons analyser dans le chapitre 1.1.2
et nous l’avons schématisé dans la figure 1.5.
Comme nous l’avons montré dans le chapitre 1, ce système peut être décrit
par 4 équations complexes pour les champs en présence :
Al = -(7+ i Al) Al + P - Al, (5.1)
À
2= —(1 -f iA2) A2-b A2 Al, (5.2)
P = —(^x -b iAx) P -b *5 Al, (5.3)
D = -6^^{D-Do)-x{PAI + P- Al). (5.4)
où Al est la dérivée par rapport au temps r de ^i.
Dans ces équations, Ai et A
2sont respectivement le champ principal lasant
et son sous-harmonique, dont les fréquences sont u; et w/2, P est la polarisation
atomique complexe et D est l’inversion de population dans le milieu actif. Ces
équations sont particulièrement adaptées à l’étude du système pour lequel la
cavité est « bonne » pour le mode Ai : les miroirs sont fort réfléchissants pour
ce mode.
Toutes ces variables ont été normalisées pour réduire le nombre de para
mètres effectifs du système.
Le temps r est mis à l’échelle du taux d’amortissement du champ sous-
harmonique «2 de telle sorte que r = «2 L Avec ces variables, les taux d’amor
tissement du champ lasant, du champ sous-harmonique, de la polarisation et
de l’inversion de population sont respectivement
7 =
«2
T
l«2
et (5.5)
D
qest l’inversion de population en l’absence d’interaction entre la matière et
les champs, c’est donc le paramètre de pompage et x, défini comme x =
est le rapport entre le paramètre de couplage de l’interaction atomes-champ
lapant et le paramètre de couplage effectif des deux champs tel qu’il est induit
par le cristal nonlinéaire.
Les paramètres Ai et A2 sont les désaccords de chacun des deux modes
que nous considérons. Par souci de simplicité, nous les considérons nuis dans
l’analyse qui suit.
5.3 Solutions stationnaires
Les solutions stationnaires sont des solutions des équations
5.4. ANALYSE DE STABILITÉ DES SOLUTIONS STATIONNAIRES 77
A
22Al ( ^0^11 V
+
2x |Ai|^/
Ces équations (5.6)-(5.7) admettent trois classes de solutions.
1° la solution triviale
(5.7)
Al = A2 = 0 avec D = D
q(5.8)
Cette solution décrit le laser en dessous de son premier seuil.
2° une solution monomode
|A
i|2 = {D- A
2= 0et D = (5.9)
^X
1qui correspond à l’émission laser habituelle, dans laquelle seul le mode
lasant est actif et,
3° une solution bimode pour laquelle l’intensité des deux champs est non
nulle. Dans ce cas
|Ail = 1. (5.10)
Comme aucune phase de référence n’est précisée, nous pouvons choisir
sans perte de généralité
Al = 1, (5.11)
qui définit alors la phase de référence. Cette troisième solution station
naire prend alors la forme
Al
A2
D Dr
D
q^
w^±^11 + 2x
^j.^11 -t- 2x
— 7 etavec Do > 7 + 2x
(5.12)
(5.13)
(5.14)
5.4 Analyse de stabilité des solutions stationnaires
Nous avons représenté dans la figure 5.1 un diagramme de bifurcation ty
pique de ce problème. Nous avons porté le maximum de |Ai|^ en fonction de
l’intensité du pompage. La caractéristique principale et exceptionnelle de ce
diagramme est l’apparition du plateau de l’intensité à la bifurcation vers la
solution bimode.
Nous avons déterminé la stabilité de chacune de ces solutions stationnaires
grâce à l’analyse de stabilité linéaire.
5.4.1 Solution triviale
La solutoin triviale (5.8) est stable pour
0 < Do < Di = 76^. (5.15)
En Do = Di, cette solution bifurque vers la solution monomode.
F
ig. 5.1 - Diagramme de bifurcation typique du DOPO intracavité. La solu
tion stationnaire triviale bifurque en Di vers une solution monomode où seul
le champ lasant est actif. Cette solution bifurque en D
2vers la solution bimode
pour laquelle l’intensité du champ lasant est fixée. Cette solution bifurque en
Dz vers une solution périodique qui perd sa stabilité en D
4. Les lignes en trait
plein sont les solutions stationnaires stables, celles en pointillé sont les solu
tions stationnaires instables. La solution périodique stable est représentée par
des disques pleins alors que la solution périodique instable est représentée par
des cercles.
5.4. ANALYSE DE STABILITÉ DES SOLUTIONS STATIONNAIRES 79
5.4.2 Solution monomode
La solution monomode (5.9) peut perdre sa stabilité au travers de deux
bifurcations.
La première, une bifurcation entre états stationnaires, existe toujours et
apparaît en
D
2= D
i+ (5.16)
<5x
En = D2, la solution monomode bifurque vers la solution bimode décrite par
les équations (5.12)-(5.14).
5.4.3 Solution bimode
La solution bimode décrite par les équations (5.12)-(5.14) est stable dans le
domaine
D
2^ D
q^ -Ds. (^"f^)
Le point D
q= D
3est une bifurcation de Hopf en laquelle la solution bimode
bifurque vers une solution périodique.
La valeur du point de bifurcation D
3est donnée par l’expression suivante :
D
3 2a (5.18)
A = - 4aL,
a = — ^2X“27 + éj.7 + (2 x — + 2 éj. + 2 é||),
(3 = (-2é||7 + 47-é^)él- (-éi[-2é2^- (-27^ + 47)^11 + 472)63
- (-<^i|7+ (27-7^) + (2x7 + 87^) ^11 -4x7 + 4x^ - 87^)
+ (26^7+ (2x7 + 27")
+ (4x" + 2x7" - 87" - 4x7) ^11 - 4
x"7 - 4
x7") <^
x,
r = (^6i(6„ + 6j) ((62 + 6„7-27)^i
+ (7" + 4
x) <5|| - 272 +2x7) ^
x-2627 + 4 x" + 8 X 7 - (-2 7" + 2 X 7) ^11 + 2 X 7" + 4 7") ,
Dans le cas où 7 = 1,6|| = 6j. et x = 1? ce seuil devient
D
3-H -V
a2(-26
jl-662-363 + 61) (5.19)
= Æ-2 - 86l(-26x - 6Sl - 36l + 6l)(18 + 6^ + 26^ + 6l)
= (-86j.-1461+ 1861 + 961 - 561-261)
où
A
H
Cette solution périodique perd sa stabilité au-delà du seuil D
4et l’orbite pé
riodique peut devenir homocline pour D > D
4si elle atteint l’état stationnaire
instable.
L’état stationnaire monostable peut admettre une bifurcation de Hopf com
plémentaire en D'
2. C’est le second seuil laser, une bifurcation classique du laser
dans la limite d’une mauvaise cavité, soit dans nos notations si
7 > ^11 + (5.20)
Celle-ci apparaît en
D
o= D
'2= 7'7 + ^11 +
7 - ^11 - ’
(5.21)
Dans le cas où D
'2< D
2, la solution bimode ne peut pas être observée. Par
contre, si D
2> D
'2et en particulier dans la limite de bonne cavité, c’est-à-dire
quand 7 < <5|| + ce second seuil laser n’existe pas et la solution bimode peut
avoir une branche stable.
Nous avons effectué cette analyse de stabilité linéaire après avoir décomposé
les champs Ai et A
2et la polarisation atomique en leurs parties réelles et
imaginaires. Le système d’équations correspondant à cette décomposition donne
lieu à une équation caractéristique du 7® ordre qui se factorise, dans le cas que
nous considérons où les désaccords sont nuis, en une quartique P(4) et une
cubique P(3).
Si les champs et la polarisation atomique sont supposés réels, l’équation
caractéristique est réduite à la seule la quartique P(4)- Nous interprétons donc
les racines de l’équation P(4j = 0 comme les racines associées à des bifurcations
dues aux amplitudes, et les racines de l’équation P(3j = 0 comme celles associées
aux bifurcations dues aux phases.
Les trois bifurcations Pi, D
2et D
3sont, dans cette perspective, des bi
furcations dues aux amplitudes. La bifurcation D\ apparaît aussi comme une
bifurcation due aux phases : Di correspond donc à une valeur propre nulle dou
blement dégénérée. Nous avons montré dans les chapitres précédents que les
instabilités dues aux phases et aux amplitudes ont des effets particuliers.
Comme nous allons le préciser au chapitre 6, les instabilités sont très étroite
ment liées à la qualité de la compression, le « squeezing », qu’on peut attendre.
Sur base d’une analyse récente entre le type d’instabilité et la compression
(Lugiato et al., 1990), nous ne nous attendons pas à ce que les intensités des
champs de ce système présentent beaucoup de compression au voisinage d’une
des bifurcations.
5.5 La solution à intensité constante
Dans le traitement qui suit, nous avons considéré des valeurs des paramètres
telles que le second seuil laser n’apparait pas.
Nous avons déjà évoqué le résultat le plus important de ce chapitre, et nous
l’avons porté dans la figure 5.1.
La présence de ce plateau pour l’intensité du champ lasant Ai sur un do
maine fini de l’intensité du pompage signifie que les fluctuations de la pompe
5.5. LA SOLUTION À INTENSITÉ CONSTANTE 81
Do
F
ig. 5.2 - Les solutions stationnaires et leurs positions respectives pour
plu-siers valeurs de 7. Les symboles indiquent la limite supérieure de stabilité de la
solution bimode pour les différentes valeurs de 7.
Do n’afFectent pas l’intensité du champ lasant. Dans ces conditions, toutes les
fluctuations du pompage, et bien sûr une augmentation de celui-ci, se traduisent
par des modifications du champ sous-harmonique.
En termes de transition de phase, le diagramme de bifurcation de la figure
5.1 est aussi remarquable. Alors que dans la solution monomode tous les photons
produits par le milieu amplificateur du laser à la fréquence u restent dans le
mode principal, dans la solution bimode, le nombre de photons du mode lasant
est « gelé » et tout photon additionnel apparaît dans le champ sous-harmonique
à la fréquence a;/2.
Dans ce mode de fonctionnement, nous avons montré qu’il y existe toujours
une bifurcation de Hopf qui déstabilise la solution bimode. Celle-ci est une
caractéristique spécifique de notre problème car une telle bifurcation n’apparaît
pas dans l’amplificateur paramétrique optique dégénéré à la résonance lorsqu’il
est dans une cavité isolée, et cette bifurcation ne correspond pas au second seuil
du laser.
Pour les paramètres que nous avons choisis pour la figure 5.1, la solution
périodique se déstabilise en D^ par une séquence de dédoublement de période
vers le chaos.
Nous avons représenté dans la figure 5.2 les solutions stationnaires et leurs
limites de stabilité en termes du paramètre 7. Alors que, comme nous l’avons
vu, l’intensité du mode lasant est indépendante du rapport des pertes de la
cavité pour les deux champs, 7, le domaine de stabilité de cette solution et la
valeur du seuil où elle apparaît croissent avec 7.
F
ig. 5.3 - Variation des trois points de bifurcation en fonction de 7 mettant
en évidence l’étendue du domaine de stabilité de la solution bimode, entre D
2et D3.
La figure 5.3 donne plus de détails concernant les domaines de stabilité
de chacune des trois solutions stationnaires. Nous y avons porté les seuils Di,
D
2et D
3en fonction de 7. On voit ici que la solution bimode présente, sur
un domaine fini, un plateau pour le champ lasant. Cette conclusion-ci dépend
cependant du choix précis des paramètres. Une limite intéressante est 7 —»• 0,
pour laquelle le domaine de stabilité de la solution monomode est fortement
réduit, permettant d’atteindre la solution bimode pour une valeur plus faible
de l’intensité du pompage. Cette limite n’impose a priori aucune contrainte
sur ^11 ou et peut être atteinte avec une bonne comme une mauvaise cavité.
Cette limite pourrait être spécialement intéressante puisqu’elle permet d’avoir
un laser avec deux états de fonctionnement, |Aip = 0 ou 1, connecté par un
petit domaine d’intensité variable.
Nous avons représenté dans la figure 5.3 comment varient les trois seuils
en fonction de ^ Nous remarquons que le domaine de stabilité du
plateau a une extension maximale pour ^ « 1.4 pour 7 = X = 1- D diminue
pour les grandes et les petites valeurs de
6, et disparait pour
6« 0.35.
5.6 Conclusions
Nous avons montré que le DOPO intracavité est un système qui possède
un diagramme de bifurcation plus riche que celui de chacun des systèmes qui
le composent, et en particulier, que le mode principal qui est amplifié par le
processus laser possède un domaine de stabilité dans lequel son intensité est
5.6. CONCLUSIONS 83
F
ig. 5.4 - Variation des trois points de bifurcation en fonction de
6. Le plateau
de la solution bimode a une extension maximale pour
6» 1.4 et diminue pour
6
petit et grand.
fixée et ne dépend pas des valeurs de l’intensité de pompage.
Nous avons ensuite caractérisé ce domaine en « plateau » et analysé le dé
placement des bifurcations, en particulier celle de Hopf, pour différentes valeurs
des paramètres. Nous avons enfin décrit un mécanisme par lequel la solution
périodique perd sa stabilité.
85
Chapitre 6
Compression du bruit
quantique en SHG
6.1 Introduction
lyyOTRE TRAVAIL jusqu’ici a été principalement orienté vers une exploitation
IN active des outils de l’analyse de bifurcation consacrée aux systèmes à deux
photons. Les équations semi-classiques des modèles auxquels nous nous sommes
intéressés nous ont permis de mettre en évidence de nouveaux comportements
dynamiques et de les analyser.
Le sujet de ce chapitre est dans cette mesure assez différent. Certains auteurs
(CoUet et Walls, 1985; Fabre, 1990) ont montré que l’existence d’une bifurcation
pouvait fortement modifier une propriété quantique d’un champ électromagné
tique : son taux de compression. En anglais, on parle du squeezing d’un champ
électromagnétique.
En mécanique quantique, on montre que des variables conjuguées ne peuvent
pas être déterminées avec une précision absolue simultanément. Ceci est traduit
par le principe de Heisenberg et les relations de conjugaison qui en découlent.
La plus connue est sûrement celle qui lie position et vitesse, ou plutôt quantité
de mouvement, d’une particule. Selon cette relation que l’on peut écrire comme
(6.1)
où P est la quantité de mouvement, qui vaut mv, et q est la position de la
particule, si l’on connaît avec une précision extrême une de ces grandeurs, c’est-
à-dire que son incertitude Ap ou Aq est nulle, l’incertitude de la grandeur
conjuguée est infinie.
Ceci signifie par exemple, dans le cas où l’on considère les variables position
et quantité de mouvement, que si l’on connaît parfaitement la position de la
particule {Aq = 0), l’incertitude sur sa vitesse est infinie, on ne peut pas savoir
à quelle vitesse eUe se déplace ni connaître sa position un instant après celui
que l’on considère. De la même manière, si on connaît parfaitement sa vitesse
(Ap = 0), l’incertitude sur sa position est infinie, il est impossible de savoir où
se trouve la particule.
Ces considérations sont transposables aux champs électromagnétiques. Dans
le cas d’un tel champ, les variables conjuguées sont par exemple le nombre de
photons n, proportionnel à l’amplitude et à l’intensité du champ, et sa phase
(j). Ainsi, on ne peut pas déterminer avec la même précision infinie le nombre
de photons et la phase d’un champ.
On considère souvent aussi des combinaisons de ces grandeurs, les « qua
dratures >, car on peut les évaluer à partir des premières l’une avec un cosinus
et l’autre avec un sinus.
Un champ classique, tel que celui que nous recevons du soleil et qui est décrit
par les équations de Maxwell, et le champ émis par un laser conventionnel sont
en fait, vus du point de vue quantique, très particuliers, même s’ils représentent
d’une certaine manière, la généralité des champs électromagnétiques (Cohen-
Tannoudji et al., 1973; Cohen-Tannoudji et al., 1987; Glauber, 1965). Ce sont
des champs que l’on dit être dans des états cohérents.
Outre le fait que ces états sont les paquets d’ondes les plus simples à dé
crire, solutions des équations quantiques du paradigme qu’est l’osciUateur har
monique, ils remplissent d’autres propriétés remarquables. Parmi celles-ci figure
la propriété d’être les états qui minimisent simultanément les incertitudes sur
leurs quadratures. Ces quadratures X+ et X- sont définies par les relations
P + 1
2 et X_ =
P-Q
2i ■ (6.2)
Pour minimiser simultanément leurs incertitudes AX+ et AX-, il faut que
AX+ = AX. et donc AX+ = AX. = (6.3)
dans les unités, habituelles dès que l’on parle de mécanique quantique, où h
vaut 1.
Les « états comprimés > {squeezed States en anglais) possèdent une incerti
tude sur une variable qui est meilleure que celle pour un état cohérent de la
même amplitude, au détriment de l’incertitude sur l’autre.
On peut représenter ces 3 types d’états, cohérents, comprimés pour l’ampli
tude et comprimés pour la phase comme cela est présenté sur la figure 6.1. L’état
cohérent est dans cette représentation, un petit cercle de rayon AX+ = 1 au
bout d’un vecteur tournant dont la longueur est l’amplitude moyenne de l’état.
L’état comprimé pour l’amplitude apparaît comme une ellipse dont les axes
sont AA+ > 1 et AX. < 1 également au bout d’un vecteur tournant dont
la longueur est l’amplitude moyenne de l’état. L’état comprimé pour la pha.se
apparaît lui comme une ellipse dont les axes sont AA+ < 1 et AX. > 1 égale
ment au bout d’un vecteur tournant dont la longueur est l’amplitude moyenne
de l’état.
Pour produire de tels états comprimés dans lequels phase et amplitude su
bissent des transformations différentes, il faut mettre en jeu des processus op
tiques nonlinéaires comme par exemple la génération de seconde harmonique et
l’amplification paramétrique que nous avons décrites.
L’étude des états comprimés a débuté par la recherche d’une technique
No documento
Peso, Insatisfação Corporal, Dietas e Patologia Alimentar: um contributo para a sua compreensão
(páginas 74-85)