2.3
Modelos fenomenol´ogicos para o supercondu-
tor
2.3.1
Equa¸c˜oes de London
Equa¸c˜oes de London a partir da indu¸c˜ao magn´etica
No trabalho realizado em 1935 pelos irm˜aos Fritz e Heinz London [70], ´e feita uma aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de Maxwell para realizar uma modelagem do supercon- dutor. Considerando o supercondutor como um condutor perfeito (que apresenta resistividade el´etrica nula), para um campo el´etrico constante (E) aplicado, o valor da for¸ca sobre os portadores de carga respons´aveis pela corrente el´etrica ser´a:
~ Fe = m∗ d~vs dt = e ∗E,~ (2.3) onde m∗, v
s e e∗ s˜ao respectivamente, a massa, a velocidade e a carga das part´ıculas respons´aveis pela condu¸c˜ao el´etrica. Considerando que existem ns portadores de carga por unidade de volume, que est˜ao se deslocando com uma velocidade m´edia
vs, h´a uma densidade de corrente dada por:
Js = ns· e∗· vs. (2.4)
Derivando no tempo a rela¸c˜ao 2.4 e substituindo em dvs
dt na equa¸c˜ao 2.3, obt´em-se a rela¸c˜ao conhecida como segunda equa¸c˜ao de London:
˙~Js = E~ µ0λ2L , (2.5) λL= r m∗ µ0nse∗2 (2.6) onde ˙~Js = ∂ ~∂tJs e λL ´e conhecido como a profundidade de penetra¸c˜ao de London (que possui unidade de comprimento). A equa¸c˜ao 2.5 descreve a propriedade da resistividade nula apresentada pelos materiais que n˜ao perdem energia no processo de condu¸c˜ao el´etrica. Pode ser observado nessa rela¸c˜ao que n˜ao h´a a presen¸ca de
2.3 Modelos fenomenol´ogicos para o supercondutor 32
campo el´etrico no condutor perfeito, a n˜ao ser que haja uma corrente el´etrica que varie no tempo.
Aplicando o rotacional em ambos termos da equa¸c˜ao 2.5 e utilizando a lei da indu¸c˜ao de Faraday (∇ × ~E = − ˙~B), obt´em-se que:
∇ × ˙~Js= − 1
µ0λ2L
˙~B. (2.7)
Considerando que no meio ~B = µ0H e para campos variando lentamente no~
tempo, despreza-se o termo da corrente de deslocamento e a lei de Amp`ere-Maxwell ´e reduzida a ∇ × ~B = µ0J. Substituindo essa equa¸c˜ao na rela¸c˜ao 2.7, pode ser~
escrita a seguinte rela¸c˜ao:
∇ × ∇ × ˙~B = − 1 λ2
L
˙~B. (2.8)
Pela lei de Gauss para o magnetismo (∇ · ~B = 0), aplicando a defini¸c˜ao do
laplaciano de um vetor ³
∇ × ∇ × ~A = ∇(∇ · ~A) − ∇2A~´ na rela¸c˜ao 2.8, ´e poss´ıvel
escrever que:
∇2 ˙~B = 1
λ2
L
˙~B. (2.9)
Para o caso de um condutor perfeito semi-infinito, limitado pelo plano z=0 que estende-se no sentido positivo de z, considerando que na superf´ıcie ˙By = ˙Bz = 0,
˙
Bx = ˙Bx0 e que Bx ´e independente das dire¸c˜oes x ou y, pode se escrever para esse caso particular a equa¸c˜ao 2.9 como sendo:
d2B˙ x dz2 = 1 λ2 L ˙ Bx, (2.10)
cuja solu¸c˜ao geral ´e dada por
˙
Bx(z) = C1e− z
2.3 Modelos fenomenol´ogicos para o supercondutor 33
Como o termo da solu¸c˜ao que cresce exponencialmente no interior do condutor perfeito n˜ao possui sentido f´ısico, tem-se que a constante C2 deve ser nula. Assim,
a solu¸c˜ao final para esse caso particular ser´a:
˙
Bx(z) = ˙Bx0e−
z
λL. (2.12)
A partir dos resultados apresentados na rela¸c˜ao 2.12, observa-se que a equa¸c˜ao 2.9 indica que no interior de um condutor perfeito a derivada temporal da indu- ¸c˜ao magn´etica deve tender a zero exponencialmente com a distˆancia da superf´ıcie. Conforme an´alise apresentada em [79], para m∗ e e∗ apropriados a um el´etron e n
s correspondente a um el´etron por ´atomo, tem-se λL≈ 10−8m. A partir desse valor de
λL e da equa¸c˜ao 2.9 conclui-se que ˙~B ´e praticamente nulo, exceto por uma camada da superf´ıcie muito fina. A rela¸c˜ao 2.12 descreve completamente o comportamento magn´etico de um condutor perfeito e n˜ao de um supercondutor. Sabe-se que, para que um supercondutor maci¸co apresente o estado Meissner, o valor da indu¸c˜ao mag- n´etica no interior do material n˜ao deve ser meramente uma simples constante, mas que essa constante deve ser nula. Ent˜ao, n˜ao somente ˙B deve ser nula no inte-
rior do supercondutor, mas B tamb´em deve assumir esse valor a partir de uma determinada distˆancia da superf´ıcie. Partindo desse racioc´ınio, F. e H. London [70] sugeriram que o comportamento magn´etico no interior de um supercondutor seria corretamente descrito se a equa¸c˜ao 2.9 n˜ao fosse somente aplicada para ˙~B, mas para
~
B tamb´em, permitindo escrever que:
∇2B =~ 1
λ2
L
~
B. (2.13)
Essa argumenta¸c˜ao permite facilmente observar que a equa¸c˜ao 2.7 pode ser re- escrita como: ∇ × ~Js= − 1 µ0λ2L ~ B. (2.14)
A equa¸c˜ao 2.14 ´e conhecida como primeira equa¸c˜ao de London e tem a capacidade de descrever a propriedade diamagn´etica de um supercondutor. As equa¸c˜oes 2.5 e 2.14, chamadas de equa¸c˜oes de London, descrevem juntas a eletrodinˆamica dos materiais
2.3 Modelos fenomenol´ogicos para o supercondutor 34
supercondutores no estado Meissner. ´E importante destacar que essas equa¸c˜oes n˜ao foram deduzidas das propriedades fundamentais e n˜ao explicam a ocorrˆencia da supercondutividade. Na verdade essas rela¸c˜oes s˜ao casos particulares das equa¸c˜oes fundamentais do eletromagnetismo, para que o equacionamento do supercondutor coincida com o comportamento eletromagn´etico observado experimentalmente.
Equa¸c˜oes de London a partir do potencial vetor magn´etico
Para se estudar casos mais gerais utilizando as equa¸c˜oes de London, ´e necess´ario reescrever essas equa¸c˜oes em termos de uma ´unica vari´avel, objetivando a redu¸c˜ao do n´umero de graus de liberdade do problema. Uma solu¸c˜ao ´e escrever essas equa¸c˜oes em termos do potencial vetor magn´etico (A), permitindo a resolu¸c˜ao de problemas atrav´es da utiliza¸c˜ao do M´etodo de Elementos Finitos. Essa abordagem foi apresen- tada anteriormente em [80], mostrando convergˆencia entre os resultados simulados e a previs˜ao anal´ıtica.
Aplicando a defini¸c˜ao do potencial vetor magn´etico ( ~B = −∇ × ~A) na equa¸c˜ao
2.14, obt´em-se: ~ Js = − ~ A µ0λ2L . (2.15)
A equa¸c˜ao 2.5 pode ser obtida novamente a partir da derivada temporal da equa¸c˜ao 2.15 substitu´ıda na rela¸c˜ao ~E = −∂ ~A
∂t.
Na an´alise que est´a sendo desenvolvida deseja-se que as equa¸c˜oes utilizadas mos- trem uma rela¸c˜ao entre os campos nos supercondutores e as correntes el´etricas que nele fluem, conhecidas como correntes de blindagem. Dessa forma, a propriedade diamagn´etica do supercondutor ´e obtida pelo cancelamento da indu¸c˜ao magn´etica aplicada devido `a a¸c˜ao dessas correntes el´etricas, que produzem uma densidade de fluxo magn´etico em oposi¸c˜ao ao campo aplicado. Essa an´alise permite que se adote um valor unit´ario para a permeabilidade magn´etica relativa (µr). Assim, pode ser considerado que todo fluxo magn´etico no interior do supercondutor ´e provocado por essas correntes el´etricas, que por sua vez fluem apenas na superf´ıcie do supercondu- tor. Essa an´alise permite escrever que a rela¸c˜ao ~B = µ0H seja v´alida para o interior~
do supercondutor. Considerando-se agora a aplica¸c˜ao da lei de Amp`ere para cam- pos variando lentamente no tempo, ´e poss´ıvel desprezar a parcela da corrente de