2.3. Planejamento e clima urbano
3.1.3. Modelos fluidodinâmicos
A rigor, os modelos fluidodinâmicos não deveriam constar em uma categoria separada, uma vez que tratam também do balanço de energia e massa na atmosfera. Podem, deste modo, ser tratados como uma subdivisão dos modelos de balanço citados acima; mas para fins deste trabalho, foram classificados separadamente para que se pudesse tratar das suas peculiaridades. A principal diferença entre estes modelos e os citados no item anterior está no tratamento do comportamento do fluído atmosférico.
Enquanto os demais modelos tratam a atmosfera como um volume fechado e homogêneo (ou com poucas subdivisões), neste caso a atmosfera (domínio fluido) é discretizada, ou seja, dividida em vários volumes de controle menores, para os quais são realizados cálculos do balanço de massa, energia e momento individualmente. Os efeitos da convecção não são mais simplesmente parametrizados e os fluxos de massa e calor são tratados também ao longo do volume de ar propriamente dito e não somente na superfície.
Dentre a literatura consultada, Bornstein (1975) sugere um modelo fluidodinâmico, calculando os fluxos de momento, massa e calor em um plano perpendicular à superfície urbana. O modelo trabalha com regime permanente, ignorando o armazenamento de calor por parte do solo e dos edifícios e trata a cidade como uma placa emissora de calor de rugosidade constante. O modelo é matematicamente complexo e fornece temperaturas e velocidades para alturas até 1400 m na atmosfera, mas tem pouca precisão na área próxima aos elementos de rugosidade. Mais recentemente, Mochida et al (1997)
Rafael Silva Brandão
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utilizaram modelos de CFD para estudos de mesoclima na cidade de Tóquio. Takashi et al (2004) realizaram simulações térmicas para a cidade de Kyoto. Ambos os trabalhos tratam principalmente das alterações provocadas na camada limite, não avaliando os efeitos na camada abaixo do nível das coberturas.
Como normalmente a quantidade e complexidade dos cálculos envolvidos demandam recursos computacionais potentes, estes modelos são normalmente conhecidos pela designação de Fluidodinâmica Computacional, ou CFD (vindo do inglês,
Computational Fluid Dynamics). Para entendêKlos, é preciso antes
definir alguns conceitos.
3.1.3.1.
Campo de velocidades
Como o estudo parte de uma discretização do volume do fluido, a velocidade não é mais um parâmetro único e constante, devendo ser encarada como uma grandeza vetorial que varia no espaço e no tempo (CÓSTOLA, 2006). Deste modo, as componentes “u,v,w” (as velocidades nos eixos x,y,z) devem ser definidas para cada ponto x,y,z da região de interesse, o que constitui o campo de velocidade, em cada instante t. Cóstola (2006) lembra que o campo de velocidades é fortemente influenciado pelas configurações das fronteiras sólidas.
3.1.3.2.
Equações fundamentais da mecânica dos fluidos
Anderson (1995) descreve de maneira bastante didática a dedução das equações fundamentais dos fluidos. Não é escopo deste trabalho deduziKlas, mas a abordagem conceitual é útil a todos aqueles interessados em tratar da questão.
As equações são baseadas em três princípios físicos básicos:
A massa é conservada, logo, caso a massa do sistema seja constante, a entrada de massa deve ser igual à saída. Caso ela não seja constante, a diferença entre a entrada e a saída deve ser igual à variação de massa no sistema. A equação deduzida deste princípio é chamada equação de continuidade e é função da densidade do fluido (ρ), da sua velocidade (V) e do volume (V) ao longo do tempo (t) e do espaço (x, y, z).
A razão entre a força aplicada em um corpo e a sua aceleração é constante. Esta é a segunda lei de Newton e a constante de proporcionalidade é denominada massa. Estas forças podem ser exercidas diretamente sobre a massa
Figura 3.6: Volume de controle com dimensões dx, dy e dz e espaço cartesiano Fonte: CÓSTOLA, 2006
As Interações Espaciais Urbanas e o Clima 71
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volumétrica do fluido ou através das suas superfícies e estão detalhadas na Figura 3.7. As equações deduzidas deste princípio são chamadas equações de momento e são função da densidade do fluido (ρ), da velocidade (V), da viscosidade (forças internas de atrito do fluido K µ) e da força exercida (f) ao longo do tempo (t) e do espaço (x, y, z).
A energia é conservada. Esta é a primeira lei da termodinâmica e significa que a taxa de variação de energia dentro de um elemento fluido é igual ao fluxo líquido de calor no elemento mais o trabalho realizado sobre o elemento devido às forças no corpo e nas superfícies. O princípio é o mesmo apresentado na Figura 3.3. A equação deduzida deste princípio é chamada equação de continuidade e é função da densidade do fluido (ρ), da sua velocidade (V), da temperatura (T), das forças tensões normais e de cisalhamento (τ) e da força exercida (f) ao longo do tempo (t) e do espaço (x, y, z). A forma da equação depende da maneira como se analisa o comportamento do fluido. Caso se observe um elemento infinitesimal, as equações serão deduzidas na sua forma derivativa. No caso de se considerar um volume de controle finito, a dedução será na sua forma integral. Anderson (1995) observa que as equações em formato integral permitem descontinuidades no interior do volume, enquanto a forma derivativa assume que as propriedades do fluido são diferenciáveis e, por isso, contínuas. Por isso, o autor afirma que as equações na sua forma integral são “mais fundamentais” que as equações derivativas, embora estas últimas sejam a forma mais usada para a apresentação das equações na literatura.
O fluido pode ser analisado observandoKse sua vazão através de um elemento (infinitesimal ou volume finito) fixo no espaço. Neste caso, com o volume de controle estacionário, as equações são obtidas no formato conservativo. Caso se avalie uma porção de fluido de massa fixa que se movimenta no espaço, temKse a forma nãoKconservativa da equação. Matematicamente, podeKse perceber se a equação está na forma não conservativa pela presença da derivada substancial (notação Dρ/Dt) que indica a variação da densidade de um dado elemento do fluido enquanto ele se move pelo espaço. Na derivada parcial simples (notação ∂ρ/∂t), se avalia variação da densidade em um ponto fixo, devido a variações do campo de velocidades.
TomandoKse o exemplo da equação de continuidade, a Figura 3.8 apresenta as formas possíveis de abordagem com as equações resultantes.
Figura 3.7: Esquema das forças incidentes sobre o fluido
Fonte: Baseado em Anderson Jr. (1995)
Rafael Silva Brandão
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ObservaKse que as equações podem ser reorganizadas entre as diferentes formas, dependendo da necessidade do cálculo específico. As equações para fluidos viscosos são conhecidas como as equações de NavierKStrokes e são apresentadas a seguir, na sua forma conservativa: Equação de continuidade: DE DF + G • E ∙ 8 = 0 Equação de momento: componente em x: D E ∙DF + ∇ • J ∙ E ∙ = −DDK +DLDK +DLDN +M DLDP + E ∙ QO R componente em y: D E ∙ SDF + G • 8 ∙ E ∙ S = −DDN +DLDK +M DLDN +MM DLDP + E ∙ TMO M componente em z: D E ∙ UDF + G • 8 ∙ E ∙ U = −DDP +DLDK +O DLDN +OM DLDP + E ∙ TOO O Equação de energia: D DF VE ∙ WX +82 YZ + G • VE ∙ WX +82 Y ∙ 8Z = E ∙ & +[DK +\ ∙D DDK/ +DN +\ ∙D DDK/ +DP +\ ∙D DDP/ −D ∙DK −D S ∙DN −D U ∙DP +D ∙ LDK +D]S ∙ LDN M^+D U ∙ LDP O +D] ∙ LDKM ^+D]S ∙ LDNMM^+D]U ∙ LDPMO^+D ∙ LDKO +D]S ∙ LDNOM^+D U ∙ LDPOO + E ∙ _ • J Figura 3.8: Formas da equação fundamental de conservação de massa Fonte: ANDERSON JR,.1995 Equação 3.8 Equação 3.12 Equação 3.10 Equação 3.11 Equação 3.9
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Cóstola (2006) afirma que a resolução analítica exata destas equações não é conhecida para a maioria das situações, sendo necessário encontrar soluções através de relações algébricas aproximadas em métodos como o de diferenças finitas. O fluído é divido em pequenas porções cuja interação obedece as equações acima. Na técnica denominada DNS, as porções são suficientemente pequenas para representar a continuidade do escoamento, mas a técnica exige uma capacidade computacional tão grande que acaba inviabilizada. Deste modo, o espaço é discretizado através da elaboração de uma malha de pontos ou volumes, conforme havia sido citado na introdução deste item.
Cóstola (2006) coloca que a opção por malhas espaçadas tem como conseqüência a não reprodução dos efeitos de turbulência, devido à supressão de interações importantes entre as massas fluidas. Por isso, a turbulência deve ser modelada separadamente e adicionada ao escoamento médio.
Anderson (1995) observa ainda que a simplificação algébrica, através da transformação por séries de Taylor, induz a erros nas simulações. As séries de Taylor são um recurso matemático para se aproximar qualquer curva de um polinômio de grau n. Aproximações de primeira ordem ignoram todos os termos em com expoente maior que um, levando a um alto grau de imprecisão. Cost (2004) recomenda a utilização de modelos de segunda ordem para resultados academicamente confiáveis.
Para uma apresentação de alguns modelos de turbulência, ver item 3.2.2.4.