Modelos gerados a partir de grades regulares (GRID)

6.3.Modelos gerados a partir de grades regulares (GRID)

O modelo de grade regular representa o terreno através de uma estrutura matricial tipo RASTER formado por uma malha quadrangular cujas dimensões das quadrículas são definidas pela quantidade de pontos amostrais.

Amostragem discreta de elevação Superfície contínua Figura 34 - Exemplos de grade regular

(Fonte: Kidner, Dorey & Smith, 1999)

O MDS do tipo grade regular, assim como qualquer outro dado raster, organiza na forma matricial as informações contidas neste. Esta é uma matriz X, Y, H onde normalmente X é a longitude “λ”, Y é a latitude “φ” e H é a altitude referente a um datum altimétrico ou altura a partir e um referencial local.

Segundo o exemplo da figura abaixo, para um ponto situado na interseção entre uma coluna K e uma linha L, temos para o elemento (K, L) a estrutura de informação na forma:

Figura 35

O valor de E que representa a resolução do modelo, é a distância entre os pontos seguindo uma reta paralela ao eixo das abscissas ou das ordenadas

Encontramos o valor de E a partir da expressão: X_m – X_m+1 = Y_n –Y_n+1

Onde:

Xm é a distância no eixo das abscissas do ponto à origem; Xm+1 é a distância no eixo das abscissas do ponto à origem; Yn é a distância no eixo das ordenadas do ponto à origem; Yn+1 é a distância no eixo das ordenadas do ponto à Segundo Felgueiras e Câmara (

resolução em x ou y deve ser idealmente menor ou igual à menor distância entre duas amostras com cotas diferentes. Ao se gerar uma grade muito fina (densa), com distância entre os pontos muito pequena, existirá um maior número de informações sobre a superfície analisada, porém necessitará maior tempo para sua geração. Ao contrário, considerando distâncias grandes entre os pontos, será criada uma grade grossa, que poderá acarretar perda de informação. Desta forma para a resolução final da grade, deve

35 - Estrutura do modelo de grade regular

que representa a resolução do modelo, é a distância entre os pontos seguindo uma reta paralela ao eixo das abscissas ou das ordenadas

Encontramos o valor de E a partir da expressão:

n+1 = E,

é a distância no eixo das abscissas do ponto à origem; é a distância no eixo das abscissas do ponto à origem; é a distância no eixo das ordenadas do ponto à origem;

é a distância no eixo das ordenadas do ponto à origem;

Segundo Felgueiras e Câmara (2001), o espaçamento da grade, ou seja, a resolução em x ou y deve ser idealmente menor ou igual à menor distância entre duas diferentes. Ao se gerar uma grade muito fina (densa), com distância os pontos muito pequena, existirá um maior número de informações sobre a superfície analisada, porém necessitará maior tempo para sua geração. Ao contrário, considerando distâncias grandes entre os pontos, será criada uma grade grossa, que perda de informação. Desta forma para a resolução final da grade, deve

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que representa a resolução do modelo, é a distância entre os pontos

espaçamento da grade, ou seja, a resolução em x ou y deve ser idealmente menor ou igual à menor distância entre duas diferentes. Ao se gerar uma grade muito fina (densa), com distância os pontos muito pequena, existirá um maior número de informações sobre a superfície analisada, porém necessitará maior tempo para sua geração. Ao contrário, considerando distâncias grandes entre os pontos, será criada uma grade grossa, que perda de informação. Desta forma para a resolução final da grade, deve

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haver um compromisso entre a precisão dos dados e do tempo de geração da grade. Uma vez definida a resolução e consequentemente as coordenadas de cada ponto da grade, pode-se aplicar um dos métodos de interpolação para calcular o valor aproximado da elevação.

Os interpoladores do sistema ArcGIS usam como padrão de resolução, caso não entre com nenhum valor para este, a menor dimensão do universo amostral (ordenada ou abscissa) dividida por 250, não levando em consideração a quantidade ou espaçamento das amostras. Para que a resolução do MDS esteja de acordo com a quantidade e espaçamento das amostras, calculou-se a raiz quadrada da divisão da área do projeto pela quantidade de pontos amostrais, obtendo-se assim o espaçamento médio destes pontos.

= ^{! 181598494}₂₆₈₁₆₂  ≅ 26

Nota-se com isso que com uma resolução maior que 36m estaríamos perdendo informações, por outro lado, pode-se refinar a resolução do modelo a fim de melhorar o aspecto e enriquecer o dado, para isso foi aplicada a mesma regra que utilizamos numa restituição fotogramétrica onde se utiliza uma ampliação de quatro vezes a escala da foto determinando assim o valor de 7m como resolução espacial para o modelo.

6.3.1. Média aritmética ponderada

A interpolação dos valores das cotas deste modelo é obtido através da média ponderada das cotas dos pontos em sua vizinhança.

Utilizando a ferramenta Inverse Distance Weighted (Inverso da Distância Ponderado) do sistema ArcGIS, pode-se gerar modelos onde os pesos são inversamente proporcionais à potencia P (>=2) da distância entre o ponto e seus vizinhos próximos. Um exemplo bem comum deste interpolador é o inverso do quadrado da distância onde é atribuída a potência P igual a dois.

Este interpolador é regido pela seguinte equação:

∑

∑

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Onde:

H_(X,Y) é o valor de cota de um ponto qualquer da grade; H_i é o valor da cota de uma amostra i vizinha ao ponto (X,Y);

ω_# = ^$

%&'()'!*+()+!,^{- é um fator de ponderação.}

A figura abaixo ilustra o processo de interpolação.

Figura 36 - Processo de interpolação por média móvel:

(a) Configuração original de amostras; (b) grade regular superpostas às amostras; (c) interpolação de um valor a partir dos vizinhos; (d) grade regular resultante.

(Fonte: Felgueiras C. A.: 2001)

O grau de influência de cada ponto para o interpolador de média aritmética ponderada é determinado pelo inverso da distância, assumindo assim maior influência ao valor final calculado os pontos mais próximos. Elevando-se a potência da função, aumenta-se também a influencia dos pontos mais próximos tornando a superfície menos suave, porém mais detalhada.

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Figura 37 - Pontos de influência ao cálculo da interpolação (Fonte: ESRI - Ajuda do ArcGIS Desktop)

6.3.2. Interpolador de curvatura mínima Spline

O interpolador de curvatura mínima spline, também é conhecido na literatura por outros nomes (YU, 2001): Thin Plate Spline (TPS), spline biharmônica e mesmo superfície spline.

A forma básica da interpolação de curvatura mínima Spline impõe duas condições a seguir sobre a interpolação:

e) A superfície deve passar exatamente pelos pontos dados;

f) A superfície deve ter curvatura mínima à soma dos quadrados dos termos da segunda derivada da superfície, tomadas em cada ponto da superfície deve ser mínimo.

Um interpolador de curvatura mínima spline pode ser ilustrado fisicamente como sendo uma chapa fina de metal se estendendo para o infinito, presa em alguns pontos de controle, de tal forma que a energia necessária para isto seja mínima, desprezando-se a energia elástica e a energia gravitacional (BOOKSTEIN, 1989).

Dados os pontos de controle (Xi, Yi, Zi) com i = 1, 2,..., n, para interpolar Z, conhecidas as coordenadas (X, Y), a expressão para o TPS é:

Z_',+= a₁ + a_$X + aY + ∑ F: _#r_#ln r_#

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Com

Z_',+= Z_<, = 1, 2, … , n (2)

Onde

r_# = X − X_#+ Y − Y_# ₍₃₎

E F_#, a₁, a_$ e a são os n + 3 coeficientes incógnitos.

Para gerar uma superfície que passa pelos n pontos e tenha todas as derivadas, ou seja, tenha boa suavidade, o termo r_#ln r_{# pode ser trocado por} r_#lnr_#+ ε:

Z_',+= a₁+ a_$X + aY + ∑ F: _#r_#lnr_# + ε

#;$ ⁽⁴⁾

O parâmetro ε usualmente é tomado entre 10-2 e 10-6, dependendo do grau de variação da curvatura da superfície (YU, 2001).

Os coeficientes são determinados a partir de pontos conhecidos da amostra (Xk, Yk, Zk): Z_<= a₁ + a_$X_<+ aY_<+ ∑ F: _#r_#< lnr_#< + ε #;$ ⁽⁵⁾ Onde r_#< = X_#− X_#<+ Y_#− Y_#< ₍₆₎ Na forma matricial: AX = B (7) A = B C C C C C C C D ^{0 r}$ lnr_$ + ε . . r_$: lnr_$: + ε 1 X_$ Y_$ r_$ lnr_$ + ε 0 . . r_: lnr_: + ε 1 X Y . . . . . . . . r_$: lnr_$: + ε r_: lnr_: + ε . . 0 1 X_: Y_: 1 1 . . 1 0 0 0 X_$ X . . X_: 0 0 0 Y_$ Y . . Y_: 0 0 0 E^F F F F F F F G (8) Com

68 X = B C C C C C D^F_F^$ … F_: a₁ a_$ aE^F F F F F G e B = B C C C C C D^Z_Z^$ … Z_: 0 0 0 E^F F F F F G (9)

A matriz A (equação 8) é simétrica e inversível. Resolvendo o sistema (equação 7), os coeficientes ficam determinados e consequentemente pode-se obter o valor interpolado em qualquer ponto (Y, X).

6.3.3. Método Kriging

Kriging ou Krigragem é um método de interpolação que permite estimar um valor de Z(X,Y) num determinado ponto (X,Y) baseado numa média móvel ponderada, semelhantemente ao interpolador de média aritmética ponderada, onde atribui-se um peso aos valores vizinhos medidos para obter uma previsão para um local não mensurável.

O que distingue os métodos de interpolação é que no método de Krigragem, os pesos são baseados não apenas em função da distância entre os pontos medidos e o ponto a estimar, mas também do arranjo espacial geral dos pontos medidos. Para utilizar o arranjo espacial dos pesos, a auto-correlação espacial deve ser quantificada, assim na Krigragem ordinária, o peso λi depende:

g) De um modelo ajustado para os pontos medidos; h) Da distância para o local de previsão;

i) E das relações espaciais entre os valores medidos em torno do local de previsão.

Segundo Thompson (1992), o interpolador Kriging é determinado pelas seguintes fórmulas matemáticas:

H_I = ∑ JL _K_K

K;$ ⁽¹⁾

Onde:

Zp é a variável interpolada;

69 λi é o peso do valor medido no i-ésimo ponto dada pela matriz [λ]:

MJN = MON)$∙ MQN (2)

Onde:

[A]^-1 é a matriz inversa de semi-variância entre as localidades da vizinhança de um ponto, determinada pelo modelo de semivariograma com base nas distências euclidianas entre as localidades;

[b] é a matriz de semivariância entre as localidades da vizinhança (com variável estimada e o ponto para o qual a variável será interpolada.

A Krigragem assume que os dados recolhidos de uma determinada população, se encontram correlacionados no espaço. Porém, conforme a distância do ponto (Xn,Yn) aumenta, não se encontrarão valores aproximados de (Xn,Yn) porque a correlação espacial pode deixar de existir.

A imagem abaixo mostra o emparelhamento de um ponto (o ponto vermelho) com todos os outros locais medidos. Este processo continua para cada ponto medido.

Figura 38 - Determinação da cota do ponto (X,Y) a partir dos pontos vizinhos (Fonte: ESRI - Ajuda do ArcGIS Desktop)

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O semi-variograma empírico é um gráfico dos valores das semi-variâncias médias no eixo y e a distância (ou lag) no eixo x (ver diagrama abaixo).

Figura 39 – Semivariograma empírico (Fonte: ESRI - Ajuda do ArcGIS Desktop)

As entidades próximas tendem a ser mais semelhantes que as distantes, e isso é quantificado na autocorrelação espacial e visualizado no semi-variograma empírico. Assim, os pares de pontos que estão mais próximos (extrema esquerda do eixo x da nuvem semi-variograma), devem ter mais valores semelhantes (próximo à origem no eixo y da nuvem semi-variograma). Conforme os pares de pontos se tornam mais distantes (que se deslocam para a direita no eixo-x da nuvem semi-variograma), estes devem se tornar mais desiguais e têm uma maior diferença quadrática (movendo-se no eixo y da nuvem semi-variograma).

Existem dois métodos de Krigragem: ordinário e universal.

A Krigragem ordinária é o mais geral e amplamente utilizado dos métodos de Krigragem. Assume-se que a média constante é desconhecida.

A Krigragem universal assume que há uma influencia tendenciosa que afeta o comportamento dos dados e essa influencia pode ser modelada por uma função polinomial. Este polinômio é subtraído dos pontos de medida original, e a autocorrelação é modelada a partir dos erros aleatórios.

6.3.4. Interpolação por vizinho mais próximo

Segundo Felgueiras e Câmara (2001), a interpolação por vizinho mais próximo é definida pela escolha de apenas uma amostra vizinha para cada ponto da grade. Este

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interpolador deve ser usado quando se deseja manter os valores de cotas das amostras na grade, sem gerar valores intermediários.

Neste método, executado como “Natural Neighbors” no ArcGIS”, a superfície é constituída por polígono que assumem o valor do ponto contido neste. Para cada polígono haverá apenas um ponto. Estes polígonos são conhecidos como polígonos de Thiessen ou poliedro de Voronoi. As arestas desses polígonos são formados da seguinte forma:

1) Une-se todos os pontos, par a par, com segmentos de retas; 2) Traçar a perpendicular a cada segmento de reta.

Figura 40 - Construção de um polígono de Thiessen (Fonte: Notas de aula, J. Seixas, FCT-UNL, 2007)

Figura 41 - Esquema dos polígonos de Thiesen numa região próxima à Vila de Dois Rios

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