2.3 Modelos de Dispers˜ao Atmosf´ericos
2.3.2 Modelos Lagrangeanos
Nos modelos Lagrangeanos as part´ıculas movem-se descrevendo trajet´orias aleat´orias, seguindo os v´ortices turbulentos. Estes modelos s˜ao estat´ısticos, ou seja, as grandezas f´ısicas respons´aveis pelo deslocamento das part´ıculas s˜ao especificadas em termos proba-bil´ısticos. A concentra¸c˜ao do poluente emitido ´e obtida a partir da distribui¸c˜ao espacial das part´ıculas em um certo instante de tempo.
A equa¸c˜ao Lagrangeana fundamental para a dispers˜ao de um ´unico poluente ´e dada
15 onde C(~x, t) representa a concentra¸c˜ao m´edia, ~x representa o vetor posi¸c˜ao, t representa o tempo, S(x~′, t′) representa o termo fonte e P(~x, t|x~′, t′) representa a Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade (PDF), a qual expressa a probabilidade de uma part´ıcula de fluido que estava na posi¸c˜ao x~′ no instante de tempot′ estar na posi¸c˜ao ~x no instante de tempo t.
A PDF ´e determinada a partir da libera¸c˜ao de um n´umero de part´ıculas suficientemente grande, seguindo-se suas trajet´orias e calculando quantas delas chegam na vizinhan¸ca de~x no instante de tempot. Segundo Carvalho [21], obtendo as trajet´orias realistas das por¸c˜oes de ar, o simples c´alculo da densidade dos pontos de trajet´orias fornece uma estimativa da concentra¸c˜ao.
De acordo com Zannetti [1], v´arios modelos podem ser classificados como Lagrangea-nos. S˜ao eles, os modelos de pluma Gaussiana segmentada, modelos de caixa Lagrange-anos, modelos de puff Gaussianos e modelos de part´ıculas Lagrangeanos. Os modelos de part´ıculas Lagrangeanos tˆem sido empregados com sucesso em uma grande variedade de problemas complexos.
Os modelos de part´ıculas Lagrangeanos s˜ao baseados na equa¸c˜ao generalizada de Lan-gevin, a qual ´e derivada a partir da hip´otese de que a velocidade da part´ıcula, em um dado instante de tempo, ´e dada pela soma de um termo determin´ıstico e um termo estoc´astico.
A posi¸c˜ao de cada part´ıcula, em cada passo de tempo ´e obtida pela integra¸c˜ao num´erica das seguintes equa¸c˜oes:
duj =aj(xj, uj)dt+bj(xj, uj)ξ(t)dt, (2.6)
dxj = (Uj +uj)dt, (2.7)
onde o sub´ındice j denota a dire¸c˜ao transversal (j = 1), longitudinal (j = 2) e vertical (j = 3), uj representa a componente j do vetor velocidade Lagrangeana, xj representa a componente j do vetor deslocamento, Uj representa a componente j do vetor veloci-dade m´edia do vento, ξ(t) ´e uma fun¸c˜ao aleat´oria proveniente de uma distribui¸c˜ao de probabilidade Gaussiana, o primeiro termo do lado direito da equa¸c˜ao (2.6) ´e um termo determin´ıstico e o segundo ´e um termo estoc´astico.
O termoacont´em duas informa¸c˜oes: a informa¸c˜ao da perda de mem´oria da velocidade em um instante de tempo anterior e a informa¸c˜ao da corre¸c˜ao drift, a qual satisfaz a condi¸c˜ao de bem misturado (se as part´ıculas de um g´as escontram-se uniformemente
distribu´ıdas em uma camada, estas permanecem desta forma com o passar do tempo).
Esse coeficiente depende da PDF da velocidade turbulenta e ´e determinado a partir da equa¸c˜ao de Fokker-Planck para condi¸c˜oes estacion´arias.
O coeficiente estoc´astico b representa a difus˜ao turbulenta. O produto de b com a fun¸c˜ao aleat´oria ξ(t) representa as acelera¸c˜oes aleat´orias devido `as flutua¸c˜oes de press˜ao.
Diversos modelos de part´ıculas Lagrangeanos foram desenvolvidos a partir de diferen-tes t´ecnicas para solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Langevin. A seguir ´e feita uma breve revis˜ao de alguns deles.
Uhlenbeck e Ornstein [22] resolveram a equa¸c˜ao de Langevin para o caso de turbulˆencia estacion´aria e homogˆenea, considerando valores constantes para a e b.
Wilsonet al.[23] foram pioneiros no desenvolvimento de modelos de part´ıculas Lagran-geanos considerando a adi¸c˜ao de um termo de corre¸c˜ao, denominado corre¸c˜ao drift, com a finalidade de evitar o ac´umulo de part´ıculas em regi˜oes onde as variˆancias de velocidade s˜ao pequenas. Foi provado nesse estudo que quando a variˆancia da velocidade vertical muda com a altura, as trajet´orias das part´ıculas devem ser desviadas para valores mai-ores de variˆancia. Esta corre¸c˜ao conduziu a resultados melhmai-ores para as distribui¸c˜oes de concentra¸c˜ao em condi¸c˜oes de turbulˆencia n˜ao-homogˆenea, mas n˜ao apresentou melhora nos resultados de concentra¸c˜ao onde a restri¸c˜ao acima n˜ao foi satisfeita.
Legg e Raupach [24] propuseram um modelo com uma corre¸c˜ao drift diferente. Eles mostraram que quando existe um gradiente de variˆancia de velocidade vertical, a equa¸c˜ao de Langevin deve incluir um termo relativo `a for¸ca m´edia devido `a a¸c˜ao do gradiente de press˜ao m´edio sobre a part´ıcula.
Thomson [25] propˆos um modelo de part´ıculas Lagrangeano para o qual ´e prescrita uma forma para PDF da fun¸c˜ao aleat´oria dependente das condi¸c˜oes da turbulˆencia. Esta dependˆencia ´e tal que em um estado estacion´ario a PDF das part´ıculas ´e a mesma do ar.
Van Dopet al.[26] transformaram a equa¸c˜ao de Langevin na equa¸c˜ao de Fokker-Planck que ´e sua forma equivalente no referencial Euleriano. Eles determinaram os coeficientes da equa¸c˜ao de Langevin, relacionando o modelo de deslocamento aleat´orio com as equa¸c˜oes Eulerianas de conserva¸c˜ao de massa e de esp´ecies.
Carvalho et al. [27] desenvolveram o modelo de part´ıculas Lagrangeano ILS (Itera-tive Langevin Solution), baseado na solu¸c˜ao semi-anal´ıtica da equa¸c˜ao de Langevin pelo m´etodo de aproxima¸c˜oes sucessivas ou M´etodo Iterativo de Picard. Foram obtidas solu¸c˜oes para condi¸c˜oes de turbulˆencia Gaussiana e n˜ao-Gaussiana, considerando fun¸c˜oes densidade de probabilidade de Gauss, bi-gaussiana e Gram-Charlier. O modelo foi aplicado para
es-17 tudar a dispers˜ao de poluentes em todas as condi¸c˜oes de estabilidade atmosf´erica e em condi¸c˜oes de baixa velocidade do vento. As simula¸c˜oes realizadas mostraram que o modelo apresenta resultados compar´aveis aos obtidos por outros modelos, dentre eles, modelos eulerianos e gaussianos.
Mello [28] obteve uma solu¸c˜ao anal´ıtica para a equa¸c˜ao de Langevin utilizando um m´etodo para resolver equa¸c˜oes diferenciais n˜ao lineares sem o emprego de lineariza¸c˜ao, considerando as fun¸c˜oes densidade de probabilidade (PDF): Gaussiana, Bi-Gaussiana e Gram-Charlier. O M´etodo de Decomposi¸c˜ao de Adomian (ADM) foi empregado para a expans˜ao da solu¸c˜ao em s´eries de fun¸c˜oes e o termo n˜ao linear em s´eries de polinˆomios defi-nidos por Adomian. A partir da substitui¸c˜ao destas expans˜oes na equa¸c˜ao a ser resolvida, foi obtido um sistema linear recursivo, o qual foi resolvido analiticamente.