Modelos Lineares Dinˆ amicos

A principal vantagem na utiliza¸c˜ao de modelos dinˆamicos para a modelagem de

fenˆomenos com estrutura temporal ´e a possibilidade de incorporar a incerteza associ-

ada `a passagem do tempo. Em determinado instante de tempo, um modelo descreve

uma forma de compreender um fenˆomeno, com outras poss´ıveis formas descritas atrav´es modelos alternativos. Por exemplo, considere que uma vari´avel resposta Y est´a relacio-

nada com uma covari´avel X da seguinte forma

Y = Xθ + ε, (3.1)

em que θ ´e um parˆametro desconhecido e ε um termo de erro aleat´orio. Suponha que a incerteza a priori sobre θ ´e expressa atrav´es de uma distribui¸c˜ao de probabilidade

p(θ). O modelo descrito em (3.1) ´e apenas localmente adequado no tempo. A natureza

dinˆamica do processo demanda tamb´em que a incerteza associada `a evolu¸c˜ao do tempo seja considerada. Frequentemente, torna-se necess´ario caracterizar θ a partir de uma

evolu¸c˜ao suave no tempo. Al´em disso, em algum instante futuro, a forma do modelo pode mudar, possivelmente envolvendo covari´aveis completamente diferentes. Tais aplica¸c˜oes t´ıpicas exigem a utiliza¸c˜ao de modelos dinˆamicos, em geral definidos como “sequˆencias de conjuntos de modelos”.

A classe de modelos dinˆamicos ´e bastante abrangente. A subclasse destes modelos mais conhecida ´e a dos modelos lineares dinˆamicos normais, referidos simplesmente por modelos lineares dinˆamicos (MLD), em que h´a a suposi¸c˜ao de normalidade da vari´avel resposta e dos parˆametros de evolu¸c˜ao ao longo do tempo. Nesta subse¸c˜ao, ser´a feita

uma breve revis˜ao de literatura sobre MLD. Para um estudo mais detalhado, veja West

e Harrison(1997).

Considere observa¸c˜oes de uma s´erie temporal Y1, Y2, . . . em que, para t = 1, 2, . . . ,

Yt ´e um vetor observacional de dimens˜ao (r × 1). Um MLD pode ser caracterizado

atrav´es de duas equa¸c˜oes da forma

Yt = F0tθt+ vt, vt ∼ N (0, Vt) (3.2a)

θt = Gtθt−1+ ωt, ωt∼ N (0, Wt), (3.2b)

em que, para t = 1, 2, . . . , tem-se que

• θt ´e um vetor p-dimensional denominado parˆametro de estado ou simplesmente

estado do modelo dinˆamico;

• Ft´e uma matriz de regress˜ao (p × r) cujos elementos s˜ao valores conhecidos; • Gt´e uma matriz p × p conhecida que descreve a evolu¸c˜ao temporal dos parˆametros

de estado;

• Vt´e uma matriz de covariˆancia r × r conhecida associada ao erro observacional vt; • Wt´e uma matriz de covariˆancia p × p conhecida associada ao erro de evolu¸c˜ao dos

parˆametros de estado ωt.

A equa¸c˜ao (3.2a) ´e denominada equa¸c˜ao de observa¸c˜ao e relaciona o vetor de ob- serva¸c˜oes Yt ao parˆametro de estado θt, enquanto que a equa¸c˜ao (3.2b) ´e denominada

equa¸c˜ao de sistema e ´e respons´avel pela evolu¸c˜ao dos parˆametros de estado atrav´es do tempo. Estas duas equa¸c˜oes podem ser reescritas, para t = 1, 2, . . . , da seguinte forma

Yt| θt ∼ N (F0tθt, Vt) (3.3a)

θt| θt−1 ∼ N (Gtθt−1, Wt). (3.3b)

O modelo descrito em (3.2) ´e completamente especificado atrav´es da qu´adrupla {F, G,V,W}te de uma distribui¸c˜ao a priori assumida para os parˆametros de estado. Devido `

a pr´opria estrutura markoviana do modelo, θt dado θt−1, para t = 1, 2, . . . , tem distri- bui¸c˜ao Normal, conforme se pode observar nas equa¸c˜oes (3.2b) e (3.3b). No entanto, ´e necess´ario especificar θ0. Denote por Dt = (D0, y1, . . . , yt) o conjunto de informa¸c˜oes dispon´ıveis at´e o instante de tempo t, para t = 1, 2, . . . , em que D0 denota o conjunto de informa¸c˜oes no instante inicial t = 0. Em outras palavras, D0 denota o conjunto de informa¸c˜oes a priori. A informa¸c˜ao a priori ´e quantificada em termos da m´edia e variˆancia de uma distribui¸c˜ao Normal para θ0, isto ´e,

θ0 | D0 ∼ N (m0, C0), (3.4)

em que m0 e C0 s˜ao, respectivamente, a m´edia e a variˆancia a priori da distribui¸c˜ao Normal para θ0 no instante t = 0. Assim, uma vez atribu´ıda a distribui¸c˜ao a priori para os parˆametros de estado, o modelo ´e completamente especificado.

Para o modelo descrito em (3.2), algumas suposi¸c˜oes s˜ao feitas. Primeiramente

assume-se que as observa¸c˜oes Yt s˜ao condicionalmente independentes dado θt, para t = 1, 2, . . . , assim como, para todo t 6= s, os erros observacionais vt e vs s˜ao inde- pendentes. Adicionalmente, os erros de evolu¸c˜ao ωt e ωs s˜ao independentes, e vt e ωs tamb´em s˜ao independentes.

Quando os elementos que comp˜oem a qu´adrupla {F, G, V, W}t s˜ao conhecidos, o

procedimento de inferˆencia sobre os parˆametros de estado nesta subclasse de modelos pode ser feito atrav´es de algoritmos sequenciais, como por exemplo, o Filtro de Kalman

Filtro de Kalman

O Filtro de Kalman refere-se a um conjunto de procedimentos recursivos para amos-

tragem em modelos dinˆamicos. Considere o modelo linear dinˆamico definido em 3.2

com {F, G, V, W}t conhecidos ∀ t = 1, 2, . . . . Os trˆes passos do Filtro de Kalman s˜ao descritos a seguir:

Para t = 1, 2, . . . fa¸ca:

1. Evolu¸c˜ao: Passagem de p(θt−1|Dt−1) para p(θt|Dt−1).

Denotando θt−1|Dt−1∼ N (mt−1, Ct−1), sabendo que θt| θt−1∼ N (Gtθt−1, Wt) e p(θt|Dt−1) =

Z

p(θt|θt−1)p(θt−1|Dt−1)dθt−1,

tem-se que, a priori, θt|Dt−1 ∼ N (at, Rt), com at= Gmt−1 e Rt= GtCt−1G0t+ Wt.

2. Previs˜ao: Obten¸c˜ao de p(Yt|Dt−1).

Como Yt|θt ∼ N (F0tθt, Vt), θt|Dt−1 ∼ N (at, Rt) e usando o fato de que p(Yt|Dt−1) =

Z

p(Yt|θt)p(θt|Dt−1)dθt,

tem-se que a distribui¸c˜ao preditiva Yt|Dt−1 ∼ N (ft, Qt), com ft = F0at e Qt = F0tRtFt+ Vt.

3. Atualiza¸c˜ao: Passagem de p(θt|Dt−1) para p(θt|Dt). Como Yt|Dt−1 ∼ N (ft, Qt), θt|Dt−1 ∼ N (at, Rt) e

p(θt|Dt) ∝ p(θt|Dt−1)p(Yt|Dt−1),

tem-se a distribui¸c˜ao a posteriori θt|Dt∼ N (mt, Ct), com mt = at+ RtFtQ−1t (Yt− ft) e Ct= Rt− RtFtQ−1t F0tRt.

Quando as matrizes Ft, Gt, Vte Wt n˜ao s˜ao conhecidas, n˜ao ´e poss´ıvel utilizar o Filtro de Kalman e a inferˆencia ´e feita atrav´es de m´etodos de simula¸c˜ao estoc´astica como, por

O algoritmo FFBS

O algoritmo FFBS foi proposto simultaneamente por Fr¨uhwirth-Schnatter (1994) e

Carter e Kohn (1994) para estima¸c˜ao dos parˆametros de estado em modelos lineares

dinˆamicos normais. A id´eia do m´etodo ´e amostrar todos os elementos do vetor de estados

em um passo de amostragem m´ultipla. Em um MLD, o passo Forward Filtering consiste

em calcular sequencialmente o primeiro e segundo momentos da distribui¸c˜ao a posteriori do parˆametro de estado θt, para t = 1, 2, . . . , T . Estes momentos s˜ao encontrados atrav´es do Filtro de Kalman. Neste caso, a distribui¸c˜ao a posteriori de θt´e exatamente conhecida.

Especificamente, θt segue uma distribui¸c˜ao Normal. O passo Backward Sampling do

algoritmo FFBS ´e baseado na decomposi¸c˜ao da distribui¸c˜ao a posteriori conjunta dos parˆametros de estado na forma

p(θ1, . . . , θT | DT) = p(θT | DT) T −1 Y

t=1

p(θt | θt+1, Dt). (3.5)

Pelo teorema de Bayes, para t = T − 1, . . . , 1, pode ser mostrado que

p(θt | θt+1, Dt) ∝ p(θt+1| θt, Dt)p(θt| Dt), (3.6)

em que θt| θt+1, Dt segue uma distribui¸c˜ao Normal com m´edia

m∗_t = mt+ CtG0t+1(Gt+1CtG0t+1+ Wt+1)−1(θt+1− Gt+1mt) (3.7) e variˆancia

C∗_t = Ct− CtG0t+1(Gt+1CtG0t+1+ Wt+1)−1Gt+1Ct, (3.8) em que mt e Ct s˜ao o primeiro e segundo momentos obtidos atrav´es do Filtro de Kal-

man. O primeiro momento m∗_t e o segundo momento C∗_t s˜ao denominados momentos

suavizados. Para o tempo T , tem-se que m∗_t = mt e C∗t = Ct.

O algoritmo FFBS tamb´em representa uma alternativa na amostragem do vetor de

estados em um modelo linear dinˆamico generalizado dentro do algoritmo MCMC.