Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes diferenciais de primeira

primeira ordem 49

para

a) y(0) = 0, 2; b) y(0) = 1, 2.

3.5 Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes

diferenciais de primeira ordem

Antes de prosseguirmos com novos tipos de equa¸cões diferenciais e seus métodos de resolu¸cão vamos apresentar algumas aplica¸cões relevantes do que já vimos.

Modelo 4- Absor¸c˜ao de drogas

Um problema fundamental em Farmacologia é saber como cai a concentra¸cão de uma droga no sangue de um paciente. O conhecimento deste fato permite estabelecer a dosagem a ser ministrada e o intervalo de tempo de cada aplica¸cão. O modelo mais simples é obtido quando supomos que a taxa de varia¸cão da concentra¸cão é proporcional à concentra¸cão existente na corrente sangu´ınea em cada instante. Em termos matemáticos, se C = C(t) é a concentra¸cão de droga no sangue, então seu decaimento é dado por:

dt = −kC (3.24)

onde k > 0 ´e uma constante determinada experimentalmente e depende do medicamento utilizado.

Suponhamos que seja ministrada uma dose inicial igual a C0, absorvida

pelo sangue instantaneamente. Salientamos que o tempo de absor¸cão da droga é geralmente muito pequeno se comparado com o tempo entre as aplica¸cões das doses.

A solu¸c˜ao de 3.24 ´e dada por:

C(t) = C0e−kt

Suponhamos que depois de um tempo T uma segunda dose, de mesma quantidade C0, seja administrada. Teremos ent˜ao,

C(t) = C0e−kt se 0 ≤ t < T

C(T₋) = C0e−kT :quantidade de droga no sangue imediatamente antes da 2 a

dose

C(T+) = C0e−kT + C0 :quantidade de droga no sangue imediatamente depois da2 a

dose

Assim, C(T+) passa a ser a concentra¸c˜ao (inicial) de droga que come¸ca a

decair ap´os o tempo T . Portanto, para T ≤ t, teremos:

Figura 3.10: A droga decai exponencialmente em cada intervalo entre as aplica¸c˜oes

Continuando o tratamento, administrando outra dose de concentra¸c˜ao C0

no instante 2T ,teremos:

C(2T−) = C0(1 + e−kT)e−kT

C(2T+) = C0(1 + e−kT)e−kT + C0 = C0(1 + e−kT + e−2kT)

C(t) = C0(1 + e−kT + e−2kT)e−k(t−2T ) se 2T ≤ t

Depois da n-ésima aplica¸cão, a quantidade de droga no sangue será C(nT+) = C0(1 + e−kT)e−kT + C0 = C0(1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT)

C(t) = C0(1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT)e−k(t−nT ) se nT ≤ t

As expressões acima estabelecem as concentra¸cões de droga administrada periodicamente. Observamos que a expressão

(1 + e−kT + e−2kT + ... + e−nkT)

é a soma de uma progressão geométrica de (n + 1) termos, com o primeiro termo igual a 1 e a razão igual a e−kT_{. Logo, podemos escrever}

C(nT+) = C01 − e

−(n+1)kT

1 − e−kT

Desta forma, se o tratamento for por tempo ilimitado, ou seja, com n muito grande, podemos estabelecer o n´ıvel de satura¸c˜ao da droga

Cs = lim n→∞C0 1 − e−(n+1)kT 1 − e−kT = C0 1 − e−kT (3.25)

3.5 Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes diferenciais de

primeira ordem 51

Figura 3.11: Satura¸c˜ao no organismo de uma droga

Exerc´ıcios 3.3 (a) Conhecidos os valores de C0 e de Cs, determine o

intervalo de aplica¸c˜ao T ;

(b) Calcule a dosagem C0 quando s˜ao conhecidos Cs e T ;

um tempo T ´e administrada uma dose de concentra¸c˜ao C∗_{, de modo que}

a concentra¸cão retorna ao n´ıvel inicial, mostre que para este tratamento periódico é necessário que

C∗ _{= C}

s(1 − e−kT) = C0

(d) Se a primeira dose é C0, a segunda é C₂0, a nésima é C_n0, então como

devem ser os intervalos de tempo de administra¸c˜ao da droga para que se atinja o mesmo n´ıvel de satura¸c˜ao com dosagens iguais?

Modelo 4 - Dinˆamica populacional

Modelo Malthusiano

Seja P o número de indiv´ıduos em uma popula¸cão animal ou vegetal. Este número é dependente do tempo e assim podemos escrever

Na realidade, P (t) assume somente valores inteiros sendo pois uma fun¸cão discreta de t. Entretanto, quando o número de indiv´ıduos é sufi- cientemente grande, P (t) pode ser aproximado por uma fun¸cão cont´ınua, variando continuamente no tempo.

Admitimos que a propor¸cão de indiv´ıduos reprodutores permanece constante durante o crescimento da popula¸cão. Admitimos também que as taxas de fertilidade n e de mortalidade m sejam constantes. Estas hipóteses são real´ısticas em uma popula¸cão grande que varia em condi¸cões ideais, isto é, quando todos os fatores inibidores do crescimento estão ausentes (a espécie tem recursos ilimitados e não interage com competidores ou predadores).

Temos que α = n−m (coeficiente de natalidade menos o de mortalidade) ´e a taxa de crescimento espec´ıfico da popula¸c˜ao P (t), aqui considerada constante. Assim,

P (t + 1) − P (t)

P (t) = n − m = α. (3.27)

Esta formula¸cão matemática indica que a varia¸cão relativa da popula¸cão é constante ou, em outras palavras, que a varia¸cão da popula¸cão é propor-

cional à própria popula¸cão em cada per´ıodo de tempo.

O modelo discreto (tempo discreto) de Malthus ´e dado por

P (t + 1) − P (t) = αP (t). (3.28) Considerando dada a popula¸cão inicial P (0) = P0, a solu¸cão de (3.28) é

obtida por recorrˆencia da express˜ao:

Pt+1= (1 + α)Pt

P (0) = P0 (3.29)

ou seja,

Pt= (α + 1)tP0 (cf. equa¸c˜ao 1.4) (3.30)

Assim, dados dois censos P0 e Pt, a taxa de crescimento demogr´afico em

t anos ´e obtida de (3.30), fazendo

(α + 1)t= Pt/P0 ⇒ α = t

r Pt

P0 − 1

(3.31) Por exemplo, se a popula¸c˜ao do Brasil de 1940 era P0 = 41.236.351 e,

dez anos depois, P10= 51.944.397, ent˜ao a taxa de crescimento populacional

m´edia (relativa), entre 1940 e 1950 foi de:

α = 10r 51944397

3.5 Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes diferenciais de

primeira ordem 53

ou, aproximadamente, 2,3% ao ano.

Se consideramos as popula¸cões entre os censos de 1940 e 1991 quando a popula¸cão era de 146.825.475 habitantes, α é dada por

α = 51r 146825475

41236351 − 1 = 0, 0252131, o que nos permite afirmar que a popula¸c˜ao brasileira cresceu a uma taxa m´edia de, aproximadamente, 2,5% ao ano nestes 51 anos.

Lembrando que Pt = (1 + α)tP0 pode ser escrito na forma exponencial

Pt = P0eln(1+α)t (3.32)

Podemos comparar a solu¸c˜ao do Modelo de Malthus discreto (2.29) com a solu¸c˜ao do o modelo cont´ınuo correspondente, considerando que

dt = lim∆t→0

P (t + ∆t) − P (t) ∆t

e que P (t + ∆t) − P (t) = βP (t)∆t (modelo discreto). Assim, podemos escrever o modelo cont´ınuo por:

( dP

dt = βP (t) P (0) = P0

(3.33)

cuja solu¸c˜ao ´e dada por

P (t) = P0eβt

Portanto, os modelos discreto (com taxa α) e cont´ınuo (com taxa β) forne- cem a mesma solu¸c˜ao quando β = ln(1 + α).

Se considerarmos o modelo Malthusiano para projetar a popula¸c˜ao brasileira, teremos α = 0, 0252131 para o modelo discreto e β = 0, 0249 para o cont´ınuo.

A equa¸c˜ao

P (t) = 41, 236e0,0249t (3.34)

fornece a popula¸c˜ao (em milh˜oes de habitantes) em cada ano t (veja Tabela 3.1)

Per´ıodo Censo demog. mod. discreto mod. cont´ınuo 1940 41,236 41,236 41,570 1950 51,944 52,896 53,698 1960 70,992 67,851 69,365 1970 93,139 87,036 89,602 1980 119,003 111,645 115,744 1991 146,825 146,822 153,389 1996 156,804 166,288∗ _174,335

Tabela 3.1: Proje¸cão de crescimento exponecial da popula¸cão brasileira(em milhões de habitantes)

Observa¸c˜ao:

Se ajustarmos o valor de β, usando os dados dos censos de 1940 a 1991, obtemos

β = 0, 0256 e a curva ajustada ´e

P (t) = 41, 57e0,0256t (3.35)

Tanto a expressão (3.34) como a (3.35) dão uma proje¸cão para 1996 su- pervalorizada (veja Tabela 3.1) o que demonstra que considerar a taxa de crescimento média constante não é uma boa estratégia neste caso, pois a popula¸cão irá aumentar indefinidamente, o que é irreal.

Modelo Log´ıstico cont´ınuo (Verhurst)

Se observamos a Tabela (3.1) vemos claramente que entre censos conse- cutivos, a partir de 1950 as taxas de crescimento relativo tendem a diminuir com o tempo. O primeiro modelo que atende à varia¸cão da taxa de crescimento (ou razão intr´ınseca do crescimento populacional) foi formulado pelo matemático belga Pierre F. Verhurst em 1837. O Modelo de Verhurst supõe que uma popula¸cão, vivendo num determinado meio, deverá crescer até um

limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar. A equa¸cão in-

corpora a queda de crescimento da popula¸c˜ao que deve estar sujeita a um fator inibidor de proporcionalidade. Este modelo teve um impacto maior quando, no in´ıcio do s´eculo XX, os pesquisadores americanos R. Pearl e L. Reed utilizaram-no para projetar a demografia americana ([1], pp.86-87).

O modelo de Verhurst é, essencialmente, o modelo de Malthus modifi- cado, considerando a taxa de crescimento como sendo proporcional à popula¸cão em cada instante. Assim

3.5 Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem 55 dP dt = β(P )P (3.36) com β(P ) = r P∞− P P_∞

, r > 0 e P∞ sendo o valor limite da popula¸c˜ao.

Desta forma f (P ) tende a zero quando P → P∞.

Explicitando β(P ) na equa¸c˜ao (3.36), e supondo que P (0) = P0 seja

dado, temos o modelo cl´assico de Verhurst ou modelo log´ıstico:    dP dt = rP 1 −_PP ∞ P (0) = P0, r > 0 (3.37)

Observamos que P (t) ≡ 0 e P (t) ≡ P∞são solu¸cões da equa¸cão diferen-

cial dada em (3.37). A solu¸cão anal´ıtica de (3.37) é obtida por integra¸cão após a separa¸cão das variáveis, isto é,

Z _dP

P (1 − P/P∞)

= Z

rdt;

Usando a t´ecnica das fra¸c˜oes parciais para resolver a integral do 1o _membro,

obtemos Z dP P (1 − P/P∞) = Z ₁ P + 1/P∞ 1 − P/P∞ dp = ln |P | − ln 1 − P P_∞ Logo, ln P (t) 1 − P (t)/P∞ = rt + c

Usando a condi¸c˜ao inicial P (0) = P0, podemos determinar o valor da cons-

tante de integra¸c˜ao c: c = ln P0 1 − P0 P∞ = ln P0P∞ P_∞_{− P}0 Portanto ln P (t)P∞ P_∞_{− P (t)} = rt + ln P0P∞ P_∞_{− P}0 ou seja,

ln P (P_∞_{− P}0) P0(P∞− P ) = rt ⇒ P P∞− P = P0 P∞− P0 ert Explicitando P (t), temos P (t) = P∞ (P∞ P0 − 1)e −rt_{+ 1} = P_∞P0 (P∞− P0)e−rt+ P0 (3.38)

A curva P (t) ´e denominada log´ıstica (fig. 3.12) e, de sua express˜ao (3.39), podemos observar que

a) Se P0 < P∞ ent˜ao P0 < P (t) < P∞ e P (t) tende a P∞, crescendo. Neste

caso a equa¸c˜ao (??) mostra claramente que dP dt > 0;

b) Se P0 > P∞ ent˜ao P (t) tende a P∞, decrescendo (verifique que, neste

caso, dP dt < 0);

c) Da equa¸c˜ao (3.37) temos que dP

dt = rP − r P2

P_∞ ou seja, dP

dt , como fun¸cão de P , é uma parábola com concavidade voltada para baixo (veja fig. 3.12) e cujas ra´ızes P = 0 e P = P∞ são os pontos

de equil´ıbrio ou solu¸c˜oes de equil´ıbrio da equa¸c˜ao diferencial (3.37), pois dP

dt = 0 nestes pontos.

d) Como r > 0, temos que dP

dt é crescente se 0 < P (t) < P_∞ 2 e decres- cente se P∞ 2 < P (t) < P∞. O valor máximo de dP dt , relativamente a P , é atingido quando P = P∞

2 , isto é, quando a popula¸cão for igual à metade da popula¸cão limite.

e) Se considerarmos em (3.38), P (t) = P∞

2 , podemos determinar o instante tm em que a popula¸cão atinge a máxima varia¸cão:

P∞ 2 = P0P∞ (P_∞_{− P}0)e−rt+ P0 ⇒ ert= P∞− P0 P0 e portanto tm = 1 rln P_∞_{− P}0 P0 , (3.39)

3.5 Modelos Matem´aticos com equa¸c˜oes diferenciais de

primeira ordem 57

Figura 3.12: Curva log´ıstica

considerando que P0 <

P_∞ 2 . Assim, para t = tm temos:

i) P (tm) = P_∞ 2 (3.40) ii) dP dt |t=tm = r P_∞ 2 1 − P∞/2 P∞ = r 4P∞ > 0 (3.41) iii) d 2_P dt2 |t=tm = r dP dt − 2r P_∞P dP dt = r dP dt 1 − 2_PP ∞ P =P∞₂ = 0

logo t = tm ´e um ponto de inflex˜ao de P (t). Desta forma,

.Se P0 =

P∞

2 ⇒ tm = 0

.Se P∞

2 < P0 < P∞ ⇒ a curva n˜ao tem ponto de inflex˜ao. Modelo 5- Resfriamento de um corpo

Se um corpo de temperatura T , que não possui internamente nenhuma fonte de calor, é deixado em um meio ambiente com temperatura Ta, então

Assim, se T < Ta o corpo se aquecerá e, caso contrário, irá se esfriar.

A temperatura do corpo, considerada uniforme, ´e uma fun¸c˜ao do tempo T = Pa e, pode-se verificar que quanto maior for o valor de |T − Ta| mais

rápida será a varia¸cão de Pa. Newton evidenciou este fato enunciando a Lei

de Resfriamento: ”A taxa de varia¸c˜ao da temperatura de um corpo (sem

fonte externa) ´e proporcional `a diferen¸ca entre sua temperatura e a do meio ambiente”.

A formula¸cão desta Lei em termos matemáticos é a equa¸cão homogênea: _dT

dt = −κ(T − Ta)

T (0) = T0 (3.42)

onde, κ > 0 pois se T < Ta, dT_dt > 0 e se T > Ta, dT_dt < 0.

Observamos que T (t) = Ta ´e a solu¸c˜ao de equil´ıbrio de 3.42 e significa

que se a temperatura de um corpo é igual à do meio ambiente, então ela não irá variar.

A solu¸c˜ao de 3.42 ´e obtida, considerando dT (T − Ta) = −κdt ⇐⇒ Z dT (T − Ta) = Z −κdt

Integrando ambos os membros, teremos

ln |(T − Ta)| = −κt + C

ou seja,

T (t) = Ta+ Ke−κt , K constante real

Usando T (0) = T0, obtemos K = T0− Ta. Logo, a solu¸c˜ao do problema de

Cauchy 3.42 ´e dada por:

T (t) = Ta+ (T0− Ta)e−κt (3.43)

Observamos que, neste modelo matemático, a temperatura do corpo ”atinge”a temperatuta ambiente somente no limite em que t → +∞; entretanto, na realidade,a temperatura ambiente é atingida sempre num tempo finito! Este fato pode dar a impressão que o modelo não se presta para si- mular situa¸cões reais de estabilidade; entretanto em termos de modelagem matemática t → +∞ deve ser interpretado por: ”t assume valores rela-

tivamente grandes comparados com a evolu¸c˜ao das vari´aveis”. Podemos

denotar por t_∞ o tempo necessário para que o corpo atinja 99% da temperatura ambiente. Em termos numéricos isto significa que, se o êrro relativo for de 1% ou menos, podemos considerar T (t) como sendo praticamente Ta.

3.6 Equa¸cão com separa¸cão de variáveis 59

No documento equacoes diferenciais ordinrias rodney (páginas 49-59)