Na literatura, foram propostos diversos modelos, tanto paramétricos quanto não- paramétricos, para a análise dos dados do TA. Este estudo não tem como foco métodos não-paramétricos, mas alguns exemplos desse tipo de abordagem estão disponíveis em Wahrendorf, Mahon e Schumacher (1985), Simpson e Margolin (1986) e em Simpson e Margolin (1990).
Todos os modelos apresentados nesta seção, vistos mais detalhadamente, são pa- ramétricos e foram baseados em Eckardt e Haynes (1977). Estes autores observaram o número de colônias mutantes de levedura formado após a exposição das unidades expe- rimentais (placas de Petri, contendo meio de cultura mínimo e UFCs) a diferentes níveis de radiação ultravioleta (UV). Baseando-se nessas observações, propuseram um modelo mecanicista, descrito a seguir em termos de probabilidade e estatística.
Seja M uma variável aleatória latente com distribuição exponencial, descrevendo a sensibilidade das UFCs à mutação por UV. Suponha também que o parâmetro dessa distribuição seja u, uma constante positiva relacionada ao potencial mutagêncico da UV. Assim, a probabilidade de ocorrer mutação em uma UFC qualquer, exposta a uma dose específica xi, pode ser escrita como
P (M 6 xi) =
Z xi
0
ue−utdt = 1 − e−uxi = F (x
i), (2)
uma vez que ocorre mutação se, e apenas se, a sensibilidade M for menor ou igual à dose de exposição xi.
Seja, agora, D outra variável aleatória latente com distribuição exponencial, descre- vendo a tolerância das UFCs à morte por UV. Suponha também que o parâmetro dessa distribuição seja v, uma constante positiva relacionada ao potencial letal da UV. Assim, a probabilidade de não ocorrer morte de uma UFC qualquer exposta a uma dose específica xi pode ser escrita como
P (D > xi) = 1 −
Z xi
0
ve−vtdt = e−vxi = ¯G(x
i), (3)
visto que ocorre sobrevivência se, e apenas se, a tolerância D for maior que a dose de exposição xi.
Supondo, por fim, que os processos de mutação e de morte sejam independentes e que a sobrevivência seja a mesma para mutantes e não-mutantes, então a probabilidade de se efetivamente detectar um mutante na i-ésima dose xi é dada pela probabilidade
conjunta de ocorrer a mutação e de que o mutante sobreviva; das equações (2) e (3), isto é obtido por:
pi = F (xi) · ¯G(xi) = (1 − e−uxi)e−vxi. (4)
Fazendo uso desse resultado, Eckardt e Haynes (1977) finalmente propuseram que o número de revertentes observados em uma placa na i-ésima dose é uma variável com distribuição de Poisson, Yi, com média µi = m∗pi, em que m∗ é o número inicial de UFCs
na placa – geralmente, m∗ = 108.
Todos os modelos baseados na equação (4), supondo diferentes funções para os termos das exponenciais e diferentes distribuições para o componente aleatório (CA), são apresentados a seguir e estão resumidos na Tabela 2 (p. 34). Estudos básicos sobre a forma de cada preditor podem ser encontradas no Apêndice A. Note que esses modelos não admitem explicitamente a interação entre os níveis do SAM S9 e as doses, uma questão já levantada por Weinstein e Lewinson (1978), que fizeram a análise dos dados do teste de Ames considerando um delineamento inteiramente casualizado, em esquema de tratamentos fatorial, e um modelo linear simples.
Modelo de Margolin. Após a publicação de Eckardt e Haynes (1977), os autores Margolin, Kaplan e Zeiger (1981) propuseram o seguinte preditor para a média da variável resposta do TA:
ηi = m(1 − e−(β
∗
0+β1∗xi))e−γxi, (5)
em que m = g(m∗) é o número inicial de UFCs na escala da função de ligação g(·), β∗ 0 é o
parâmetro associado ao número de revertentes espontâneos, β∗
1 é o parâmetro de interesse
associado à mutagenicidade e γ é a taxa na qual ocorre o decaimento exponencial devido à toxicidade, tal que β∗
0, β1∗ e γ ≥ 0. Posteriormente, em Kim e Margolin (1999), foi
disponibilizado um software para o ajuste de um modelo com esse preditor, além de uma revisão acerca da modelagem estatística dos dados do TA.
Modelo de Myers. O preditor proposto por Myers et al. (1981) para a média de revertentes é baseada na equação (5), em que F (xi) = 1 − e−(β
∗
0+β1∗xi) é aproximada pela série de Taylor de primeira ordem ao redor de xi = −β0∗/β
∗ 1, ou seja, ηi = m(1 − e−(β ∗ 0+β ∗ 1xi))e−γxi, ≈ m(β0∗+ β1∗xi)e−γxi. Então, fazendo mβ∗ k = βk, k = {0, 1}, tem-se: ηi = (β0+ β1xi)e−γxi, (6)
em que β0é o número de revertentes espontâneos, β1é o parâmetro de interesse associado à
mutagenicidade e γ é a taxa na qual ocorre o decaimento exponencial devido à toxicidade, tal que β0, β1 e γ ≥ 0. Os autores não especificaram, entretanto, a distribuição da variável
resposta, mas, devido à presença de superdispersão, definiram a função de variância como sendo V (µ) = aµb, em que a, b > 0. A estimação proposta pelos autores foi obtida por
mínimos quadrados ponderados e os códigos para tal estão disponíveis em Myers et al. (1981).
Modelo de Stead. Os autores Stead et al. (1981) não consideraram superdispersão e supuseram simplesmente distribuição Poisson para as contagens obtidas nos dados do TA, mas consideraram um parâmetro a mais na equação (6), ou seja:
ηi = (β0+ β1xβi2)e
−γxi, (7)
em que β0 é o número de revertentes espontâneos, β1 e β2 são os parâmetros de interesse
à toxicidade, tal que β0, β1 e γ ≥ 0, e β2 ≥ 1. Note que se β2 = 1na equação (7), então
o modelo se reduz àquele da equação (6). A estimação proposta pelos autores foi realizada por meio de uma modificação do método de Gauss-Newton, para a qual um software foi posteriormente disponibilizado por Claxton et al. (1995).
Modelo de Bernstein. A proposta de Bernstein et al. (1982) para análise dos dados do TA é a mais simplista dentre as vistas até aqui. Os autores supõem que, para doses suficientemente baixas, a toxicidade não ocorre, de forma que um preditor adequado para a média da variável resposta na dose i seja dado por:
ηi = β0+ β1xi, (8)
em que β0 é o número de revertentes espontâneos e β1é o parâmetro de interesse associado
à mutagenicidade, tal que β0 e β1 ≥ 0. Para tratar da eventual superdispersão, os autores
propuseram que a variável resposta tivesse uma distribuição de Poisson generalizada (PG), como em Consul e Jain (1973), e uma função de variância dada por V (µ) = aµb, em que
a, b > 0. Apesar das facilidades de se trabalhar com esse modelo em qualquer plataforma estatística, há um software disponível em Claxton et al. (1995).
Modelo de Breslow. O preditor para média da variável resposta proposto por Breslow (1984), que permite linearização, é dado por:
ηi = eβ0(xi + δ)β1e−γxi, (9)
em que β0 é proporcional ao número de revertentes espontâneos, β1 é o parâmetro de
interesse associado à mutagenicidade, γ é a taxa na qual ocorre o decaimento exponencial devido à toxicidade e δ é um valor positivo arbitrário, usualmente escolhido como sendo o valor da menor dose não-nula, satisfazendo β0, β1, e γ ≥ 0, e δ > 0. O autor
realizou a estimação dos parâmetros desse modelo via máxima quase-verossimilhança (McCULLAGH; NELDER, 1989), especificando apenas a função de variância V (µ) = µ(1 + cµ), e forneceu um código em GLIM (BAKER; NELDER, 1978) para que esse ajuste fosse realizado.
Modelo de Krewski. O modelo proposto por Krewski et al. (1993) para a média de revertentes é uma generalização da equação (6), como segue:
ηi = (β0+ β1xi)e−γx
α
i, (10)
em que β0é o número de revertentes espontâneos, β1é o parâmetro de interesse associado à
mutagenicidade e γ é a taxa na qual ocorre o decaimento exponencial devido à toxicidade, tal que β0, β1 e γ ≥ 0, e α ≥ 1. Os autores não especificaram a distribuição de Y ,
mas, devido à possibilidade de haver superdispersão, utilizaram duas funções de variância V1(µ) = aµb e V2(µ) = µ(1 + cµ), em que a, b, c > 0. Note que se α = 1, então o
modelo se reduz àquele da equação (6). Além disso, α não é um parâmetro, mas uma potência arbitrária — Krewski et al. (1993) fizeram a opção por α = 2. A estimação proposta pelos autores foi obtida por máxima quase-verossimilhança (WEDDERBURN, 1974) e um software para o ajuste foi posteriormente disponibilizado por Leroux e Krewski (1993).
Todos as referências feitas neste trabalho ao conjunto de propostas da literatura, constantes nesta seção (2.2), para a análise dos dados do TA serão chamadas de “tradici- onais”, “modelos tradicionais”, “preditores tradicionais” ou outro termo similar.
Tabela 2 - Modelos propostos para análise dos dados provenientes do Teste de Ames (modelos tradicionais). O preditor de cada modelo é obtido pelo produto da variável offset, da
acumulada F , que descreve a ação mutagênica, e da sobrevivência ¯G, denotando a
ação tóxica. ˆL e V (µ) são, respectivamente, a função de verossimilhança ou quase- verossimilhança e a função de variância adotadas por cada autor: BN-2 se refere à distribuição binomial negativa tipo-2, QP se refere à quase-Poisson e P à Poisson
Modelo Offset F G¯ Lˆ V (µ) Margolin m 1 − e−(β0+β1x) e−γx BN-2 µ(1 + µκ−1) Myers 1 β0+ β1x e−γx QP φµτ Krewski 1 β0+ β1x e−γx α QP φµτ Breslow 1 eβ0(x + δ)β1 e−γx QP µ(1 + µκ−1) Bernstein 1 β0+ β1x 1 QP φµτ Stead 1 β0+ β1xβ2 e−γx P µ