O SDH autˆonomo e erg´odico mais simples que pode ser derivado das equa¸c˜oes de campo da teoria de YM ´e aquele obtido da seguinte Hamiltoniana:
HF S = 1 2(p 2 1+ p22) + 1 2q 2 1q22 (4.90)
onde pj ´e o momentum canonicamente conjugado `a coordenada generalizada qj
(j = 1, 2). Essa fun¸c˜ao de Hamilton pode ser obtida a partir da Eq. (4.87) se supusermos que a coordenada generalizada q3 se anula identicamente: q3 = 0. Faze-
mos essa simplifica¸c˜ao para poder analisar a quest˜ao da ergodicidade na Mecˆanica Cl´assica de YM usando a t´ecnica da se¸c˜ao de Poincar´e. A Fig. 4.4 mostra o resul- tado da aplica¸c˜ao dessa t´ecnica ao SDH deriv´avel de (4.90) no caso em que a energia HF S = E do sistema ´e E = 1; vemos que a dinˆamica do sistema ´e erg´odica como
afirmamos. Perceba como o comportamento dinˆamico do campo de gauge SU(2) pode ser altamente irregular mesmo quando consideramos um caso particular bas- tante simples da teoria de YM.
O SDH deriv´avel de (4.90), apesar de erg´odico no sentido que definimos, n˜ao satisfaz uma das exigˆencias da formula¸c˜ao de Berdichevsky da MEC, a saber, o volume no espa¸co de fase encerrado por uma superf´ıcie de energia qualquer n˜ao ´e finito [32].
Essa ´e uma consequˆencia do fato de que o movimento do sistema no espa¸co de fase n˜ao est´a restrito a uma regi˜ao limitada do seu espa¸co de configura¸c˜ao, de maneira que a integral (3.5) diverge logaritmicamente. Esse SDH n˜ao admite, portanto, uma descri¸c˜ao estat´ıstica tal qual Berdichevsky e Alberti fizeram para o celebrado sistema de H´enon-Heiles [19, 20].
p1
q1
Figura 4.4: Se¸c˜ao de Poincar´e do SDH deriv´avel da Hamiltoniana (4.90) no caso em que HF S = E = 1.
Uma maneira de contornar essa dificuldade foi proposta por Bannur [7]. Ele consi- derou o SDH que pode ser derivado da Hamiltoniana
HB = 1 2(p 2 1+ p22) + 1 2q 2 1q22+1 − α 12 (q 4 1 + q24) (4.91)
onde α 14´e um parˆametro adimensional. Essa Hamiltoniana ´e tal que a fun¸c˜ao
de Hamilton obtida diretamente da teoria de YM, Eq. (4.90), ´e recobrada no limite α→ 1−. A introdu¸c˜ao de um termo envolvendo a quarta potˆencia das coordenadas generalizadas tem o efeito de regularizar a divergˆencia do volume (3.5) e a vantagem de tornar o sistema f´ısico original formalmente semelhante ao oscilador qu´artico, que n˜ao apenas admite uma descri¸c˜ao estat´ıstica como esta pode ser feita completamente de maneira anal´ıtica [2].
Apesar dessas qualidades, o modelo de Bannur n˜ao ´e obtido atrav´es de uma argu-
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menta¸c˜ao f´ısica. A ´unica justificativa para a introdu¸c˜ao do termo 1 − α
12 (q
4 1 + q24)
na Eq. (4.90) ´e a de que a contribui¸c˜ao deste ´e pequena em compara¸c˜ao com a dos demais no limite α → 1−. Al´em disso, esse artif´ıcio n˜ao muda o fato de que, para
os nossos prop´ositos, a Hamiltoniana (4.91) tem um problema quando α = 1. De um ponto de vista pr´atico, isso significa que o modelo proposto por Bannur se torna numericamente inst´avel `a medida que a dinˆamica deste ´e simulada com valores de α cada vez mais pr´oximos de 1. Sentimos, portanto, a necessidade de considerar um SDH deriv´avel de uma teoria cl´assica de gauge (dessa maneira, com forte motiva¸c˜ao f´ısica) e que n˜ao possui problemas quando analisado computacionalmente.
Cap´ıtulo 5
Termaliza¸c˜ao Ca´otica na Teoria de Yang-Mills-Higgs
5.1
Quebra Espontˆanea de Simetria
Em geral, n˜ao h´a raz˜ao para esperar que uma invariˆancia da Hamiltoniana de um sistema tamb´em seja uma invariˆancia do seu estado fundamental. Isso tem con- sequˆencias n˜ao-triviais se considerarmos sistemas que possuem extens˜ao espacial infinita. Um exemplo que ilustra essas ideias ´e o s´olido ferromagn´etico de Heisen- berg, uma rede infinita de dipolos magn´eticos com intera¸c˜oes entre primeiros vizinhos tais que estes tendem a se alinhar. Apesar da Hamiltoniana desse sistema ser rota- cionalmente invariante, o seu estado fundamental n˜ao ´e. Este ´e um estado em que cada um dos dipolos est´a alinhado numa dire¸c˜ao arbitr´aria. Al´em disso, o estado fundamental do s´olido de Heisenberg ´e infinitas vezes degenerado.
Um pequeno observador vivendo dentro de um tal s´olido no estado fundamental teria dificuldade para detectar a invariˆancia rotacional das “leis da Natureza”. To- dos os seus experimentos seriam corrompidos pelo campo magn´etico externo (de cuja influˆencia nenhum sistema f´ısico realista est´a realmente livre). Se o seu apa- rato interagisse fracamente com o campo externo, ele poderia detectar a invariˆancia rotacional como uma simetria aproximada. Se o seu aparato interagisse fortemente com o campo externo, ele poderia afirmar que n˜ao h´a simetria rotacional. Em qual- quer caso, ele n˜ao teria motivo para imaginar que a invariˆancia rotacional fosse uma simetria exata.
Al´em disso, o pequeno observador n˜ao seria capaz de detectar diretamente que o estado fundamental no qual ele se encontra ´e apenas uma realiza¸c˜ao de um estado infinitas vezes degenerado. Uma vez que ele possui extens˜ao espacial finita, o pe- queno observador pode mudar de uma vez a dire¸c˜ao de apenas um n´umero finito de dipolos magn´eticos. No entanto, para ir de um estado fundamental do s´olido para
outro, ele precisa mudar a dire¸c˜ao de um n´umero infinito de dipolos, uma tarefa imposs´ıvel para ele.
A princ´ıpio, n˜ao h´a nada nessa situa¸c˜ao que n˜ao pode ser generalizado para uma teoria de campos relativ´ıstica. A Hamiltoniana do s´olido de Heisenberg pode ser substitu´ıda pela Hamiltoniana de uma teoria de campos. A invariˆancia rotacional pode ser substitu´ıda por alguma simetria interna. O estado fundamental do s´olido ferromagn´etico pode ser substitu´ıdo pelo estado de v´acuo da teoria de campos. E, finalmente, o pequeno observador pode ser substitu´ıdo por n´os. Ou seja, conjectu- ramos que as leis da Natureza podem possuir simetrias que n˜ao se manifestam para n´os, pois o estado de mais baixa energia n˜ao ´e invariante sob as transforma¸c˜oes de simetria correspondentes. Quando isso acontecer, usaremos dizer que houve quebra espontˆanea de simetria.