1
t
2t
30
n−
tn
1t
Z
1Z
2Z
3Zn
Figura 3.1: esboço dos pontos de ocorrência e tempo entre-chegadas.
Neste capítulo, são apresentados conceitos básicos sobre a teoria de tráfego de redes. Inicialmente são abordadas técnicas tradicionais de modelagem estocástica de tráfego, modelos estocásticos com dependência de curta duração. Em seguida é discutida a re- cente caracterização de tráfego em redes de comunicação como auto-similar, ou seja, como processos que tem como características principais as propriedades fractais de auto- similaridade e dependência temporal longa. Também discutem-se mapas caóticos que são usados na literatura para modelagem e predição de tráfego de redes de comunicações.
3.2 Modelos de Tráfego
Um tráfego simples consiste de chegadas únicas de entidades discretas (pacotes, men- sagens, células, bytes, etc.). Estas entidades são representadas internamente por estru- turas de dados (mensagens ou pacotes) com o formato de nido por um protocolo. As observações descrevem, por exemplo, os intervalos entre chegadas sucessivas de coman- dos de um usuário, mostrando o nível de comportamento do usuário. Podem também descrever os intervalos entre chegadas de pacotes ou os tamanhos dos pacotes de dados, mostrando o nível de comportamento da aplicação ou da rede (FROST; MELAMED, 1994).
Seja t a variável tempo. Suponha um certo experimento que começa em t = 0. Eventos (ou seja, resultados do experimento) de um tipo particular ocorrem aleatoriamente, o primeiro no instante T1, o segundo em T2 e assim por diante. Assim, pode-se entender Ti como uma variável aleatória que representa o instante em que o i-ésimo evento ocorre, e os valores ti que Ti (i = 1, 2, . . .) assume são chamados pontos de ocorrência (ver Figura 3.1).
Considera-se a seguinte de nição para a variável aleatória Zn
Zn = Tn− Tn−1, (3.1)
sendo T0 = 0. Assim, Zn representa o tempo entre o n-ésimo e o (n − 1)-ésimo eventos. A seqüência ordenada de variáveis aleatórias {Zn, n ≥ 1} é comumente conhecida como
3.2 Modelos de Tráfego 32
um Processo Entre-chegadas (Interarrival Process).
Se todas as variáveis aleatórias Zn são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d), então {Zn, n ≥ 1} é chamada de Processo de Renovação (Renewal Process) ou Processo Recorrente (Recurrent Process). A partir da Equação (3.1) pode-se notar que
Tn = Z1+ Z2+ · · · + Zn, (3.2)
em que Tn denota o tempo transcorrido do início até a ocorrência do n-ésimo evento. Deste modo, {Tn, n ≥ 0} é comumente chamado de Processo de Chegada (Arrival Process) (HSU, 1997).
De nição 1: Um processo aleatório {X(t), t ≥ 0} é dito ser um Processo de Con- tagem (Counting Process) se X(t) representa o número total de eventos que ocorreram no intervalo (0, t). A partir desta de nição, pode-se ver que para ser um processo de contagem, X(t) deve satisfazer as seguintes condições:
1. X(t) ≥ 0 e X(0) = 0;
2. X(t) é um número inteiro;
3. X(s) ≤ X(t), se s < t;
4. X(t) − X(s) é o número de eventos ocorridos no intervalo (s, t).
Uma realização típica de X(t) é mostrada na Figura 3.2. Esta gura pode representar, por exemplo, o número de clientes entrando em um banco. Toda vez que um cliente chega, um contador é incrementado. O instante de chegada do i-ésimo cliente é denotado ti. Visto que não se pode adivinhar ou determinar com precisão absoluta o instante que cada novo cliente chega, então a seqüência {t1, t2, . . . , tn}, representada simplesmente por {ti}, é uma seqüência de números aleatórios. Usando raciocínio semelhante, o número de clientes que chegam no intervalo (t0, t] é uma variável aleatória.
De nição 2 - Um processo de contagem X(t) possui incrementos independentes se o número de eventos que ocorrem em intervalos de tempo disjuntos (i.e. que não se sobrepõem) são independentes.
De nição 3 - Um processo de contagem X(t) possui incrementos estacionários se o número de eventos no intervalo (s + h, t + h), ou seja, X(t + h) − X(s + h), tem a mesma distribuição que o número de eventos no intervalo (s, t), ou seja, X(t)−X(s), para todo s < t e h > 0.
3.2 Modelos de Tráfego 33 00.42 2.22 3.21 9.51 17.31 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 tempo (minutos)
Realizacao tipica de um processo de contagem
Figura 3.2: realização típica de um processo de contagem.
Processos de renovação tem um longa história de aplicações, devido a sua relativa simplicidade matemática. A independência das variáveis signi ca que as observações no tempo t não dependem de qualquer observação do passado ou do futuro. Os processos de renovação não capturam a correlação de uma dada seqüencia. A importância de se detectar autocorrelações provém do fato de que esta função expressa dependências temporais (JAGERMAN et al., 1997).
A seguir são discutidos dois importantes casos de processos de tráfego de renovação: processos de Poisson e processos de Bernoulli (HSU, 1997).
3.2.1 Processos de Poisson
Um dos processos de contagem mais importantes é chamado de Processo de Poisson (ou Processo de Contagem de Poisson). Assim, um processo de contagem X(t) é dito ser um processo de Poisson com taxa de chegada (ou intensidade) λ > 0 se:
1. X(0) = 0;
2. X(t) tem incrementos independentes;
3. O número de eventos em qualquer intervalo de comprimento t obedece a uma dis- tribuição de probabilidade de Poisson com média λt, ou seja, para s, t > 0,
P [X(t + s) − X(s) = n] = e−λt(λt) n
3.2 Modelos de Tráfego 34
Segue da de nição anterior que um processo de Poisson tem incrementos estacionários e que
E[X(t)] = λt e Var[X(t)] = λt. (3.4)
Assim, o número esperado de eventos em um intervalo unitário (0, 1), ou qualquer outro intervalo de comprimento unitário, é apenas λ; daí, o nome taxa ou intensidade de chegada. A função de autocorrelação ρX(t, s) de um processo de Poisson X(t) com taxa λ é dada por
ρX(t, s) = λ min(t, s) + λ2ts. (3.5) Resumindo, um processo de Poisson nada mais é do que uma regra matemática que atribui probabilidades ao número de ocorrências de um evento. O único parâmetro que se precisa especi car no modelo de Poisson é o número médio de ocorrências em um intervalo unitário, ou seja, λ. Pode-se mostrar que em um processo de Poisson, os intervalos entre eventos sucessivos são variáveis aleatórias independentes e exponencialmente distribuídas. Desta forma, costuma-se também identi car o processo de Poisson como um processo de renovação com intervalos distribuídos exponencialmente.
Processos de Poisson são usados como modelos probabilísticos em uma ampla gama de aplicações nas mais diversas áreas, tais como número de chamadas telefônicas chegando em uma central em certo intervalo de tempo, número de erros tipográ cos em uma página de livro, número de clientes entrando em um banco durante um dado intervalo, número de pacotes que chegam em um servidor Web em certo período, número de acidentes em um cruzamento em uma semana, dentre outros. O modelo de Poisson é um dos mais usuais modelos de tráfego, com origem no advento da telefonia.
Na modelagem de tráfego de pacotes e conexões de chegadas estes são geralmente assumidos como processos de Poisson (FROST; MELAMED, 1994). Contudo, Paxson &
Floyd (1995) discutem algumas limitações dos processos de Poisson, e que estes são válidos somente para a modelagem da chegada de sessões do usuário (e.g. conexões TELNET e controle de conexões FTP); mas falham como modelos para outros processos de chegada WAN (Wide Area Network). Desta forma, processos de chegada de pacote da rede WAN são melhores modelados usando processos auto-similares.
Processos de Bernoulli são o equivalente discreto de Processos de Poisson. Jagerman et al. (1997) discutem que as ocorrências podem acontecer em algum fatia (slot) de tempo. A probabilidade de uma chegada em um slot de tempo é p, independente das outras