A simplicidade dos modelos unidimensionais e os bons resultados obtidos nume- ricamente motivaram o desenvolvimento desses modelos para an´alise f´ısica e geome- tricamente n˜ao linear.
estruturas de concreto com modelos unidimensionais tem sido estudadas e desenvol- vidas, segundo duas vertentes principais: os modelos que usam rela¸c˜oes momento- curvatura, considerando se¸c˜oes transversais homogˆeneas, e os modelos que usam leis tens˜ao-deforma¸c˜ao, decompondo as se¸c˜oes transversais.
Nos modelos da primeira vertente, a an´alise n˜ao linear pode ser conduzida por meio de rela¸c˜oes momento-curvatura, v´alidas para as se¸c˜oes transversais, assim con- sideradas homogˆeneas. A necessidade de prescri¸c˜ao de rela¸c˜oes momento-curvatura representativas das diversas se¸c˜oes transversais do modelo ´e uma desvantagem con- sider´avel deste enfoque.
A an´alise n˜ao linear de estruturas de concreto armado, usando-se elementos uni- dimensionais, tamb´em pode ser feita pela decomposi¸c˜ao do dom´ınio da se¸c˜ao trans- versal. Esta t´ecnica apresenta diversas varia¸c˜oes, entretanto, partem do mesmo princ´ıpio: decompor a se¸c˜ao transversal da barra em subdom´ınios e computar a contribui¸c˜ao de cada subdom´ınio na rigidez do elemento finito (Figuras 2.1(a) e 2.1(b)). Esta estrat´egia permite uma generaliza¸c˜ao na formula¸c˜ao, de forma que se¸c˜oes transversais de geometrias diversas possam ser representadas, sem a necessi- dade de uma formula¸c˜ao espec´ıfica para cada tipo, o que n˜ao acontece ao se utilizar as rela¸c˜oes momento-curvatura. Al´em da generalidade geom´etrica, a decomposi- ¸c˜ao da se¸c˜ao permite atribuir materiais diferentes para cada subdom´ınio e avaliar separadamente o comportamento de cada material, podendo-se, assim, calcular a deteriora¸c˜ao da se¸c˜ao transversal (Figura 2.1(c)).
Dentre os trabalhos que tratam da an´alise da se¸c˜ao transversal por decomposi¸c˜ao pode-se citar os de Chaisomphob e Hansapinyo (1999), Izzuddin e Smith (2000), Iz- zuddin et al. (2002), Romero et al. (2002), Bratina et al. (2004), Fonseca (2006), Pi et al. (2007) e Dundar et al. (2008), que investigam as caracter´ısticas dos materiais (a¸co e concreto) atrav´es de leis tens˜ao-deforma¸c˜ao. Pode-se tamb´em investigar a de- teriora¸c˜ao do material utilizando-se de fun¸c˜oes de dano, como adotado nos trabalhos de Barbat et al. (1997) e Mata et al. (2007).
Figura 2.1: Se¸c˜ao transversal de concreto armado antes da fissura¸c˜ao
V´arias formas de decomposi¸c˜ao da se¸c˜ao transversal s˜ao encontradas na litera- tura. Cada t´ecnica apresenta um conjunto de hip´oteses segundo as quais o modelo ´e formulado.
A decomposi¸c˜ao da se¸c˜ao transversal por pequenas ´areas (Figura 2.1), como pro- posto por Chaisomphob e Hansapinyo (1999), Izzuddin e Smith (2000), Izzuddin et al. (2002), Romero et al. (2002) e Pi et al. (2007), trata cada subdivis˜ao como pontos de monitoramento da se¸c˜ao. Nestes pontos, podem ser controladas as defor- ma¸c˜oes, tens˜oes, deteriora¸c˜ao do material e as propriedades geom´etricas atribu´ıdas a cada pequeno subdom´ınio. A contribui¸c˜ao de cada ´area no comportamento da se¸c˜ao depende das premissas de cada formula¸c˜ao.
Bratina et al. (2004) utilizam uma subdivis˜ao em camadas trapezoidais (Figura 2.2) para representar o concreto e as barras de a¸co s˜ao tratadas como pequenas ´areas distribu´ıdas pela se¸c˜ao.
J´a Dundar et al. (2008) subdividem a se¸c˜ao em faixas paralelas `a linha neutra e considera o concreto como resistente somente `a compress˜ao enquanto o a¸co assume propriedades resistentes na tra¸c˜ao e compress˜ao. O processo de divis˜ao da se¸c˜ao em segmentos ´e feito de forma iterativa para se otimizar o n´umero de divis˜oes.
Uma forma mais sofisticada, embora mais custosa, de tratamento da se¸c˜ao de- composta ´e proposta por Barbat et al. (1997) e Mata et al. (2007). Neste caso, a se¸c˜ao ´e dividida em faixas ou em ´areas, sendo que cada subdivis˜ao ´e integrada segundo uma quadratura de Gauss, podendo-se variar o n´umero de pontos de integra¸c˜ao em cada subdom´ınio de modo que cada um destes pontos assuma propriedades de um material diferente (Figura 2.3). Com este procedimento ´e poss´ıvel representar a heterogeneidade de cada subdom´ınio de monitoramento.
Figura 2.3: Subdivis˜ao composta por diversos materiais.
Como em muitos trabalhos, usando a abordagem de decomposi¸c˜ao da se¸c˜ao trans- versal, Fonseca (2006) apresentou um modelo para elementos finitos unidimensionais de p´ortico espacial, segundo as teorias de Euler-Benoulli e Timoshenko.
O modelo considera que a aderˆencia ´e perfeita entre o a¸co e o concreto e que cada material possui uma lei tens˜ao-deforma¸c˜ao n˜ao linear, independentemente atribu´ıda a cada subdivis˜ao da se¸c˜ao. Partindo das rela¸c˜oes tens˜ao-deforma¸c˜ao normais e
tangenciais, pode-se escrever as equa¸c˜oes
σxx = Es(εxx)εxx , τxy = Gs(γxy)γxy e τxz = Gs(γxz)γxz , (2.1a,b,c)
para rela¸c˜oes secantes totais, e
dσxx = Et(εxx)dεxx, dτxy = Gt(γxy)dγxy e dτxz = Gt(γxz)dγxz, (2.2a,b,c)
para as rela¸c˜oes incrementais, sendo Es e Et os m´odulos de elasticidade longitu-
dinais secante e tangente, respectivamente, e Gs e Gt os m´odulos de elasticidade
transversais secante e tangente, respectivamente. ´E importante lembrar que tanto os m´odulos secantes quanto os tangentes s˜ao fun¸c˜oes das deforma¸c˜oes, como mos- trado nas equa¸c˜oes 2.1 e 2.2, e obtidos por leis constitutivas dos materiais, como mostrado na figura 2.4.
Figura 2.4: Leis constitutivas.
No processo incremental-iterativo de uma an´alise n˜ao linear, a convergˆencia ´e atingida quando h´a equil´ıbrio entre as for¸cas externas e as for¸cas internas. Para tanto, os esfor¸cos internos devem ser calculados. Conhecendo-se a distribui¸c˜ao das deforma¸c˜oes em cada se¸c˜ao transversal, as propriedades secantes e tangentes dos materiais podem ser obtidas (Figura 2.4). De posse das propriedades dos materiais, os esfor¸cos internos podem ser calculados pela integra¸c˜ao das tens˜oes ao longo da se¸c˜ao transversal, logo
N = Z
A
Vy = Z A τxy dA ; (2.3b) Vz = Z A τxz dA ; (2.3c) T = Z A (τxz· y − τxy · z) dA ; (2.3d) My = Z A σxx· z dA ; (2.3e) Mz = Z A−σ xx· y dA , (2.3f)
onde N ´e a for¸ca axial, Vy e Vz s˜ao os esfor¸cos cortantes, T ´e o momento de tor¸c˜ao
e My e Mz s˜ao os momentos fletores.
Para a se¸c˜ao decomposta em pequenas partes, o c´alculo dos esfor¸cos internos podem ser simplificados por um somat´orio. A figura 2.5 mostra a decomposi¸c˜ao da se¸c˜ao transversal em pequenos quadrados de ´areas conhecidas, podendo cada um deles ser composto por um tipo de material diferente.
Figura 2.5: Decomposi¸c˜ao da se¸c˜ao transversal.
O comportamento dos materiais que comp˜oem a se¸c˜ao ´e importante na discreti- za¸c˜ao, pois ir´a influenciar diretamente na contabiliza¸c˜ao dos esfor¸cos internos.
Diversas leis tens˜ao-deforma¸c˜ao s˜ao adotadas para a caracteriza¸c˜ao do compor- tamento n˜ao linear de cada material. Uma forma geral de tratamento ´e considerar tanto o concreto quanto o a¸co resistentes `a tra¸c˜ao e `a compress˜ao. Assim, efeitos como a fissura¸c˜ao e esmagamento do concreto e o escoamento do a¸co s˜ao detectados
durante a an´alise (Pi et al., 2007). Entretanto, nem todos os modelos consideram o a¸co e o concreto na tra¸c˜ao e compress˜ao.
Izzuddin e Smith (2000) e Izzuddin et al. (2002) usam uma lei parab´olica conju- gada a uma lei elastopl´astica para o concreto `a compress˜ao, omitindo a resistˆencia `a tra¸c˜ao. Para o a¸co, ´e adotada uma lei linear-el´astica.
A tra¸c˜ao do concreto tamb´em ´e desprezada por Dundar et al. (2008), que usam v´arias rela¸c˜oes para descrever o comportamento deste `a compress˜ao. O a¸co ´e tratado na tra¸c˜ao e compress˜ao por uma lei n˜ao linear composta por segmentos de reta.
No trabalho de Fonseca (2006), foram usadas leis tens˜ao-deforma¸c˜ao propostas por Carreira e Chu (1985, 1986) e Boone e Ingraffea (1987).
Al´em da descri¸c˜ao dos materiais atrav´es de leis tens˜ao-deforma¸c˜ao, alguns autores tratam o comportamento do material usando a teoria de dano (Faleiro et al. (2008), Mata et al. (2007), Barbat et al. (1997), Junior e Venturini (2007), dentre outros).