Momento 3 – Noções de álgebra e geometria

A terceira Atividade, desenvolvida no experimento didático formativo, foi trabalhar noções de álgebra e geometria destinadasa compor o quadro conceitual necessário para a internalização do teorema de Tales.Essa atividade foi desenvolvida no laboratório de informática da escola. Os alunos foram distribuídos junto aos computadores existentes.

Por noções de geometria, no tocante ao teorema de Tales, estamos nos referindo a: aos conceitos intuitivos de ponto, reta e plano; a ideia do que seja um segmento de reta e sua medida; ao conceito de retas paralelas, transversais; a conceito do que seja um feixe de retas paralelas. Por noções de álgebra, no tocante ao teorema de Tales estamos nos referindo a:operações elementares de adição, subtração, multiplicação e divisão; capacidade de resolver uma equação do primeiro ou segundo grau.

O professor inicioua aula dizendo que naquele dia não usaria o Geogebra, porque precisavam,inicialmente, realizar uma rápida pesquisa na internet, em5 minutos, para cada tema, procurando conceitos derazão e proporção, bem como dois exemplos de cada.Uma aluna disse: "não precisa pesquisar na internet, razão é divisão".

O professor falouque inicialmente concorda com ela, mas queele gostaria queela procurasse na internet mais coisas a respeito.Ao longo do experimento, procuramos orientar o professorna diversificação da mediação e empenhamos ao máximo na mediação através da linguagemoral e também escrita. Cultivamos um ambiente no qual o aluno era motivado a falar e escrever o seu pensamento. Se, em algum momento, o aluno seexpressava com termos

não próprios da linguagem matemática, de forma paciente fomos introduzindo o vocabulário matemático apropriado. Na razão (fração) 2/3, por exemplo, o aluno dizia que “a parte de cimaé 2”;o professor fazia a correção verbalizando que o numerador é 2. Para reforçar a linguagem correta, já dava outro exemplo: “na fração 4/7, quatro sétimos, o numerador é quatro e o denominador é 7”. Enquanto isso foramsurgindoindagações entre algumas duplas: "olha você viu isso? "esse conceito aqui está mais claro do que esse que você achou"; "cara, escala e velocidade é razão"

O professor retomou, perguntando se já erapossível colher as respostas e exemplos da turma, ao que a turma respondeu que sim.

A aluna iniciou a sua fala:- "realmente razão é divisão. Uma dupla de meninas passa a ler o conceito de razão que elas encontraram: "razão é divisão”. Outra dupla de alunas pediua palavra e leuum conceito de razão tirado de internet: “Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b diferente de 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. Como exemplo elas citam 20/25 = 4/5 e 25/20= 5/4.”

O professor usou para dar um exemploa quantidade de rapazes, moças e do conjunto de alunos participantes do experimento. Qual é a razão entre rapazes e alunos. A turma respondeu que: 4 homens para 13 alunos (homens mais mulheres) e disseque é: 4/13.

Na sequência o professor perguntou: Qual é a razão entre o número de meninos pelo número de meninas? A resposta da turma é imediata: a razão é4 homens/9 mulheres, 4/9 = aproximadamente 0,44.

Continuando, o professor disse que a razão não é nada mais que a divisão de dois números, no qual o segundo, o denominador tem que ser diferente de 0. Aproveitando a ocasião, ele mostrou o motivo da impossibilidade da divisão por zero.

Uma dupla de alunas começoua ler o conceito de proporção: "proporção é a igualdade de duas razões e explica que, para ser proporção, o resultado das duas razões tem que ser o mesmo". Como exemplo de proporção a dupla apresentou: 3/4 =6/8.

Ao usar a expressão conceito, temos como base os estudos de Libâneo (2011), que o define como:

Conceito – conceito é uma representação mental de um objeto real no nosso pensamento que se forma por meio de abstrações, a partir de características, atributos, propriedades, comuns a uma classe de objetos e fenômenos em suas relações, num sistema de conceitos. Os conceitos gerais ultrapassam o âmbito da percepção imediata. (LIBÂNEO, 2011, não paginado)

Nesse sentido, razão e proporção são conceitos matemáticos históricos, que constituem entre outros a rede conceitual do teorema de Tales.

Na sequência uma dupla de alunos disse: "professor a gente pode multiplicar cruzado." O professor chama a atenção para essefato, e informouque essa é justamente a propriedade fundamental das proporções, e aproveitouo exemplo de proporção que estava escrito no quadro:3/5 = 9/15e mostra que ao multiplicar os "meios" 5 por 9 =45, apresenta o mesmo resultado de multiplicar os "extremos" 3 por 15 =45.

Como estava planejado no experimento, o professor passoupara fazer uma exposiçãosobre razão e proporção e a propriedade fundamental das proporções, usando uma linguagem matemática.Nossa ideia foi usar a internet para iniciar o processo de pesquisa sobre razão e proporção, aproveitando a diversidade, interatividadee plasticidade que se pode usufruir pelo seu uso, mas levando a discussão para o campo do conceito científico e com uma linguagem matemática construída para fazer uma passagem gradual da linguagem inicial do aluno para uma linguagem matemática. Nossopropósitofoi levar o aluno a se apropriar dessa linguagem, para que pudesse entender e se expressar matematicamente usando, também, essa linguagem. Estávamos (e estamos) empenhados em fazer valer a ideia do ensino desenvolvimental de que o papel da escola é levar o aluno a se apropriar do conhecimento científico.

Durante essa exposição, o professor chamou a atenção para algumas modalidades de razões usadas pela Física: velocidade e aceleração médias e na matemática: o conceito de escala.Após constatar que os alunos não tinham mais dúvidas sobre razão e proporção, o professor solicitou que eles pesquisassem na internet sobre os seguintes tópicos de geometria: ponto, reta, plano, retas, retas paralelas, retas concorrentes, retas transversais, feixe de retas paralelas e segmentos de reta.

Enquanto o professor concediatempo para os alunos pesquisar, ele saiu andando pelo laboratório na tentativa de tirar as dúvidas que os alunos iamlevantando. Um aluno disseque ponto, reta, plano, retassão chamados de conceitos intuitivos da Geometria Euclidiana.

Uma aluna perguntouqual é a diferença entre reta transversal e perpendicular. O professor explicouque duas retas são perpendiculares quando formam um ângulo de 90 gruas entre si. Já duas retas para ser transversal em relação a uma outra ou a um feixe de retas, basta simplesmente cortar essa reta ou esse feixe não importando com a medida de um ângulo formado.

A uma dupla foiperguntado o que acharam sobre retas. A resposta foi: que uma reta é constituída de infinitos pontos alinhados. Outra dupla fala: “a reta é formada por infinitos

pontos que estão alinhados, os quais são ilimitados nos dois sentidos. Quando construímos uma reta devemos representá-la com letra minúscula do nosso alfabeto".Aproveitando o momento, o professor disse para os alunos que ponto, reta e plano são para a matemática “conceitos primitivos” da geometria euclidiana.A dupla seguinte já começa falando sobre retas paralelas: "retas paralelas são retas que nunca vão se encontrar, ou seja,elas não têm nenhum ponto em comum.”

Dando sequência, o professor solicitouque uma determinada aluna falassesobre feixe de retas paralelas. A aluna disse: “um feixe de paralelasé formado por 3 ou mais paralelas”.

Para terminar, o professor provocou: Está faltando as retas coincidentes. Um aluno disse que: retas coincidentes são retas que estão uma sobre a outra, seria comose estivesse uma reta em cima da outra;elas são chamadas de coincidentes pelo fato de todos os seus pontos serem comuns, coincidentes.

Ao terminar a descrição e análise desse momento lembremos que o nosso propósito inicial eraconduzir de uma forma processual para que o aluno amplie o seu entendimento sobre a rede conceitual relativa ao teorema de Tales. A rede conceitual em questão abarcava tanto álgebra como geometria.

No momento seguinte do experimento, continuamos no trabalho no sentido de alargar essa base conceitual, O aluno,por meio das atividades I e II, vai partir de um problema concreto, no caso cada uma dessas atividades, para concluir os conceitos de razão e proporção. Ou seja, o aluno sairá de um problema concreto e decorrente dessa atividade e concluirá os conceitos científicos de razão e proporção.