A participação de Sofia durante a unidade de ensino apresenta contornos seme- lhantes à sua participação habitual, na aula de Matemática, desde o início do ano lecti- vo. É uma aluna que se empenha na maior parte das aulas, mas que não intervém de um modo exuberante nas discussões gerais, mantendo uma postura marcada pela timidez. Em seguida, saliento alguns momentos que viveu nestas aulas que me parecem signifi- cativos no seu percurso, tendo em conta o contributo que poderão ter dado na evolução das estratégias de exploração que utiliza e no uso da linguagem algébrica. É de notar que, em algumas das tarefas resolvidas na aula, Sofia trabalha com outros colegas, prin- cipalmente com Laura, aluna de aproveitamento irregular, que oscila entre os níveis satisfatório e fraco.
Exploração de situações que envolvem variáveis
A estratégia adoptada preferencialmente por Sofia, na primeira entrevista, na caracterização de uma figura próxima ou distante, é o uso da covariação. Esta aborda- gem, mais eficaz no primeiro caso do que no segundo, é também aquela que Sofia e Laura adoptam inicialmente, na resolução da primeira tarefa, “Voo em V”. Perante uma nova sequência um pouco mais complexa do que a da primeira entrevista, por não exis- tir uma relação de proporcionalidade directa entre o número de pontos de cada figura e a ordem, Sofia e a colega identificam imediatamente um aumento de dois pontos, de figu- ra para figura. Acrescentando dois pontos à figura anterior, as alunas constroem a sequência, por recorrência, e conseguem caracterizar as 5.ª e 6.ª figuras, tal como lhes é pedido. É na caracterização da 100.ª figura que as alunas vão um pouco mais além. O facto de esta sequência estar associada a uma representação geométrica é determinante, uma vez que é a divisão da figura em três partes que sustenta o raciocínio desenvolvido na caracterização da figura distante:
Figura 6. Tarefa 1 – Questão 1. 2. – Sofia e Laura.
Nesta resposta é visível o paralelismo que estabelecem entre as primeiras figuras que analisam e a 100.ª. Este raciocínio permite-lhes compreender o modo como devem proceder para caracterizar qualquer figura da sequência:
Figura 7. Tarefa 1 – Questão 1. 4. – Sofia e Laura.
É possível observar que embora não explicitem completamente que o número de pontos de cada um dos lados da figura coincide sempre com a sua ordem, tal como evi- denciam em respostas anteriores, as alunas revelam ter compreendido a situação, uma vez que explicam, em cada passo, o significado dos valores obtidos: (i) o número total
de pontos dos lados, quando multiplicam o valor inicial por dois; e (ii) o número total de pontos existentes na figura, quando acrescentam um ao número anterior.
Quando questionadas sobre a existência de uma figura com 135 pontos, as alu- nas optam por inserir um esquema na sua explicação, que mostra o modo como decom- põem a figura e dá sentido à realização das operações inversas, pela ordem inversa. Mais uma vez, o papel da representação geométrica é determinante enquanto suporte do raciocínio:
Figura 8. Tarefa 1 – Questão 1. 3. – Sofia e Laura.
Na tarefa 2, “Observando a variação”, as alunas lidam com sequências diversas. Em apenas algumas delas são constantes as diferenças entre termos consecutivos. Ini- ciam a sua resolução, novamente, pela análise da covariação. Reparando que as diferen- ças nem sempre são constantes, procuram outro tipo de regularidades e reconhecem que em algumas das sequências, como na das potências de base 5, existe uma razão constan- te entre dois termos consecutivos. Estas sequências, ao contrário das incluídas na 1.ª tarefa, não estão associadas representações geométricas. As primeiras observações das alunas centram-se nas relações aritméticas entre os diversos termos da sequência, dado que a ordem que diz respeito a cada um deles é um elemento menos visível. O preen- chimento de tabelas, para cada uma das sequências, constitui uma nova orientação para as alunas, que começam a procurar relações entre as várias ordens e os termos corres- pondentes.
Na fase inicial da sua resolução, perante a sequência das potências de base dois (2, 4, 8, 16, …, …, 128, …), as alunas reparam que devem multiplicar cada termo por 2 para obterem o termo seguinte. Depois de terem preenchido as tabelas apercebem-se, em relação à sequência que contém os cubos perfeitos (1, 8, 27, 64, …), que cada termo se pode obter a partir da ordem fazendo multiplicações. Assim, escrevem, por exemplo, que 8 = 2 x 2 x 2, 27 = 3 x 3 x 3 ou 64 = 4 x 4 x 4, isto é, 64 = 43. Esta alteração no foco de atenção parece ter sido importante porque lhes permite passar, progressivamente, de uma estratégia mais natural de uso da covariação, para o uso da correspondência que,
em certos casos, se revela mais poderosa. Torna-se mais evidente para as alunas a pos- sibilidade de identificar relações entre variáveis distintas: no caso das sequências, entre a ordem e o termo respectivo; no caso geral das funções, entre os objectos e as imagens. Nas restantes tarefas da proposta pedagógica, Sofia recorre ao uso da correspon- dência quando vê vantagem na sua utilização, nomeadamente quando o conhecimento desta relação facilita a generalização da relação funcional. Continua, no entanto, a não perder de vista a covariação, interpretando-a no contexto de cada situação. Este facto é visível no teste de avaliação, a propósito de uma situação sobre a evolução do compri- mento do cabelo de um rapaz, nos seis meses que se seguiram ao corte. Neste caso, a relação entre as variáveis é linear, embora não exista proporcionalidade directa entre o número de meses e o comprimento do cabelo, em centímetros. Quando Sofia tenta res- ponder à questão sobre qual o número de meses que passou desde o corte inicial do cabelo, quando o seu comprimento é de 19,8 cm, utiliza a expressão geral a que chegou anteriormente, C = 3 + 1,4x. A equação que formula constitui um instrumento que lhe permite chegar rapidamente à solução do problema:
Figura 9. Teste de avaliação – Questão 5. – Sofia.
A análise que faz da covariação, na sua resposta, evidencia o facto de compreen- der o modo como essa variação se dá no contexto concreto da situação em estudo, dan- do sentido ao valor encontrado através da resolução da equação. A aluna reconhece a importância do valor 1,4 no contexto, interpretando-o como o comprimento que o cabe- lo cresce por cada mês, em centímetros.
Uso da linguagem algébrica
Sofia e Laura conseguem resolver integralmente a primeira tarefa da proposta pedagógica incluindo as questões que exigem um maior grau de abstracção, como a caracterização de uma figura distante e a formulação de uma regra geral. No entanto expressam esta generalização com recurso à linguagem corrente, o que é natural nesta primeira fase em que trabalham autonomamente. Como seria de esperar, o recurso à
linguagem algébrica como instrumento que permite expressar generalizações não surge de modo espontâneo. A discussão geral desta tarefa constitui um momento importante na construção colectiva desta potencialidade da simbologia. Sofia é, nesta fase, uma das alunas que partilha algumas dúvidas relativas ao significado dos símbolos. Aperceben- do-se do poder que estes lhe conferem na resolução de problemas, adopta-os progressi- vamente. Na parte final da unidade de ensino, a utilização da linguagem algébrica é já uma prática corrente que adopta nas diversas tarefas. A sua preocupação em explicitar sempre o significado de cada uma das letras utilizadas permite-lhe lidar com as expres- sões de um modo significativo. Esta preocupação é visível, nomeadamente, na tarefa 5, “Gasóleo em promoção: 2ª Parte”, quer quando lida com casos concretos, quer quando procede a generalizações:
Figura 10. Tarefa 5 – Caso concreto – Sofia e Laura. Figura 11. Tarefa 5 – Generalização – Sofia e Laura. A preocupação em não perder o significado dos símbolos permite a Sofia lidar com eles com compreensão. Na primeira ficha de avaliação intermédia, Sofia e Laura mostram compreender o significado das expressões algébricas que envolvem x, mesmo quando este não se encontra em representação da ordem da figura na sequência, tal como se foi tornando habitual em algumas tarefas. Na sequência apresentada, o número de cubos cinzentos é o quádruplo da ordem da figura, o que poderia levar as alunas a associá-lo à expressão 4x. No entanto, nesta questão, pede-se que considerem x enquan- to representante do número total de cubos em cada bloco. As alunas cometem um erro inicial por terem contado apenas 4 blocos brancos, que subtraem do total, mas quando concretizam o seu raciocínio, apercebem-se disso e reformulam a sua resposta:
Para além da utilização de letras que desempenham o papel de incógnitas, na resolução de problemas e equações do 1.º grau, durante a unidade de ensino Sofia vive experiências que envolvem outras interpretações da linguagem algébrica. A partir das primeiras tarefas, a aluna parece reagir bem à utilização da simbologia, enquanto ins- trumento de generalização. O estudo do subtema Funções proporciona-lhe também a utilização da letra como variável.
Ao contrário do que sucede na primeira entrevista, em que revela um receio generalizado de arriscar na exploração das situações propostas, durante a concretização da proposta pedagógica, Sofia mostra um bom desempenho, mesmo em tarefas mais abertas, experimentando, conjecturando e procurando obter maior convicção para essas conjecturas. Esta situação de maior à vontade poderá estar relacionada com a sua cola- boração com Laura em algumas tarefas. Por outro lado, a segurança dada por um maior distanciamento relativamente à figura do professor, diminuindo o receio de falhar, podem ter sido aspectos determinantes neste desempenho. Em alguns momentos da uni- dade de ensino e em algumas das resoluções apresentadas, a aluna também revela difi- culdades e desempenhos menos conseguidos, como é natural num processo de aprendi- zagem. Contudo, de um modo geral, procura melhorar sempre a qualidade do que faz.