O lógico em forma universal, em forma pura, expressa a necessidade interna do desenvolvimento dos processos históricos. No lógico se repete a sequência dos estágios históricos do desenvolvimento (DAVÍDOV, 1988, p. 64,
tradução nossa).
Neste capítulo apresentaremos as reflexões teóricas sobre o movimento conceitual de fração para subsidiar o modo de organização do ensino do fundamento da lógica dialética. Almejamos repensar o ensino de fração que promova o desenvolvimento do pensamento teórico nos estudantes, por meio de sua apropriação científica. Para tanto, elegemos os fundamentos da Teoria Histórico-Cultural, objetivados na proposição davydoviana. Isso porque a formação escolar dos estudantes atuais, em nosso país, é fortemente marcada por conteúdos e métodos oriundos da escola tradicional, que promovem o desenvolvimento do pensamento empírico. Para tanto, consideramos, como referência para a análise, o problema desencadeador da aprendizagem organizado de acordo com a história do conceito de fração (MOURA, 2015). O transformamos para sua forma geral, conforme segue:
Cordasmil
Cordasmil é um estirador de cordas encarregado pelo Faraó para medir os terrenos, que foram distribuídos aos súditos para o cultivo às margens do rio Nilo. Ele mede apenas a lateral dos terrenos, pois a medida de frente, que corresponde à margem do rio, é fixa. O que lhe interessa mesmo é o quanto o Nilo tem de terra cultivável às suas margens, pois os impostos serão cobrados tendo em vista esta porção de terra. Ao medir a lateral do terreno de Unopapiro, o estirador contou n cordas inteiras, mas percebeu que sobrava um tanto dessa lateral em que não cabia uma corda inteira. Sabendo que o Faraó exigirá uma representação da medida do terreno de Unopapiro, de que modo deverá proceder Cordasmil para transmitir, ao Faraó, a dimensão da lateral do terreno medido? Como proceder para representar a parte que não é uma corda inteira? Qual sua proposta para Cordasmil resolver este problema? Faça uma representação de uma situação que possa ter sido vivenciada por Cordasmil e ilustre a sua solução.
Conforme já mencionamos, nossa primeira resolução foi empírica. Dessa forma, depois de muitas tentativas encontramos as etapas do movimento de sistematização do conceito de fração. Segue as etapas: partimos do concreto ponto de partida (concreto caótico) na primeira ação de estudo, com o experimento objetal são revelamos os elementos que constituem a relação universal: unidade de medida básica (uma corda inteira), unidade de medida intermediária (fragmento da corda) e o total de unidades de medida intermediária (medida da lateral do terreno). A reescrita da história na sua forma geral possibilitou, desde a primeira ação, o movimento de redução do concreto ao abstrato até atingir a segunda ação de estudo (modelação objetal, gráfica e literal). No modelo literal alcançamos a abstração máxima. Na sequência, iniciamos o movimento de ascensão do abstrato ao concreto, na terceira ação de estudo, com a transformação da relação universal no modelo literal. Obtivemos o particular (relações) para resolver, na quarta ação de estudo, as tarefas particulares, cujos, os resultados destas formam o singular da pesquisa. A quinta e sexta ação está conectada, de tal modo que estão contempladas em todas as ações anteriores. Na primeira ação, verificando se os elementos que constituem a relação universal são verdadeiros, se não for, verificando qual o equívoco. Na segunda ação, verificando as passagens dos modelos, se os elementos estão presentes na reta numérica, no esquema de seta e no modelo literal. Na terceira ação, se as relações são verdadeiras ou estão equivocadas diante das operações realizadas para sofrer as transformações corretas. Na quarta, as ações de avaliação e controle estão presentes em uma tarefa particular, por meio da análise se há algum dado incorreto para sua resolução. As quatro primeiras ações contemplam o movimento de reprodução do conceito de fração produzido historicamente pela humanidade, por meio da unidade entre o lógico e o histórico (SILVEIRA, 2014).
Para a resolução matemática, fundamentamo-nos no movimento conceitual de fração apresentado na proposição davydoviana, no contexto das seis ações de estudo e em Caraça (1989). Durante a resolução, reproduzimos teoricamente o conceito de fração, por meio do procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto. Tal movimento possibilitou-nos revelar, abstrair e generalizar a relação universal do conceito de fração, ou seja, a relação que dá origem a qualquer número racional.
Partimos do pressuposto que o processo de redução do concreto ao abstrato tem como fio condutor a relação universal. A abstração essencial (máxima) expressa a relação universal, a base genética do todo. Segundo Davýdov (1982), a tarefa básica da análise consiste em eliminar as diferenças dentro do todo até a base única que as gera: à sua essência.
Ao separar os dados que constituem a relação universal por meio das sucessivas abstrações, é possível, no desenvolvimento teórico do pensamento, modelar a relação universal, a relação essencial. Sobre as abstrações, afirma Kopnin (1978, p. 159) que “são um novo degrau qualitativamente diverso no movimento do conhecimento”. Ainda de acordo com o mesmo autor, a essência das abstrações não é separar indícios aparentes dos objetos dados empiricamente, mas identificar as relações internas, sua essência.
De acordo com Kopnin (1978), no materialismo histórico dialético, o concreto é ponto de partida (caótico) e chegada (pensado) do processo do conhecimento de determinado objeto ou fenômeno. Entretanto, o processo, para alcançar o conhecimento em nível de concreto ponto de chegada (pensado), não é imediato, mas mediado por sucessivas abstrações:
o conhecimento não pode passar imediatamente do sensorial-concreto ao concreto pensado. Esse caminho, como todos os outros, é complexo e contraditório. Para atingir a concreticidade autêntica, o conhecimento perde temporariamente a concreticidade em geral e passa ao seu próprio oposto: ao abstrato (KOPNIN, 1978, p. 158).
Conforme Kopnin (1978), o concreto ponto de chegada (pensado) é o conhecimento enraizado, pois é a conexão das relações internas do objeto, da relação universal, nas dimensões geral, particular e singular. Em outras palavras, o concreto “é concreto porque é a síntese de múltiplas determinações” (MARX, 1999, p. 39).
Nesse processo, consideramos as transformações dos modelos para a reprodução do conceito, que inicia no sensorial, na experiência com o objeto, e segue ao racional, expresso no modelo literal. Assim, o conceito está contemplado nos modelos objetal, gráfico e literal. Nos diferentes modelos, expressamos a relação universal. Assim, constitui-se o meio para reflexão do movimento teórico do conceito de fração, que pertence aos números racionais.
Vamos iniciar com experimento objetal a fim de identificar os dados que constituem a relação universal do conceito de fração, tal como prevê a primeira ação de estudo.
De acordo com Davýdov (1988, p.182), “a primeira ação consiste na revelação pelos estudantes, dos dados que constituirão a relação essencial, universal, do conceito”. Em particular, no conceito de fração, os dados que constituem a relação universal são: unidade de medida básica, unidade de medida intermediária e o total de unidades de medidas intermediárias. Para Davídov (1988, p. 182, tradução nossa),
A primeira ação de estudo é a transformação dos dados da tarefa de estudo com a finalidade de revelar certa relação universal do objeto, que deve ser refletida no correspondente conceito teórico. É importante salientar que se trata da transformação orientada a um fim dos dados da tarefa da transformação orientada de certo objeto integrante. A peculiaridade desta relação consiste, por uma parte, o
aspecto real dos dados transformados e, por outra parte, atua como base genética e fonte de todas as peculiaridades do objeto integrante, quer dizer, constitui sua relação universal. A busca desta forma o conteúdo da análise mental, no qual, sua função de estudo aparece como o momento inicial do processo de formação de conceitos necessários. Ao mesmo tempo, devemos levar em conta que a ação do estudo examinada, cuja base se encontra na análise mental, tem que começar na forma de transformação dos dados do objeto da tarefa de estudo (esta ação mental se realiza, no começo, na forma objetal - sensorial).
De acordo com o estudo da proposição Davydoviana realizada no livro didático (ГОРБОВ et al., 2011) e livro de orientação do professor (ГОРБОВ et al., 2006), no experimento com o objeto de estudo surgem as transformações da unidade. A partir de uma unidade de medida (básica) derivam-se outras (unidade de medida intermediária e o total de unidades de medidas intermediárias). É durante a primeira ação de estudo que os estudantes realizam a transformação objetal, revelando as medidas, em que se destaca o caráter múltiplo da relação. Aqui, encontramos a terceira medida (unidade de medida intermediária), com a qual se pode estabelecer a relação múltipla das duas medidas iniciais, que necessitam de diferente comparação.
Na especificidade do problema de Cordasmil, o experimento objetal consiste na medição que gera a necessidade do número fracionário, uma vez que a unidade de medida básica não cabe um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida. Para tanto, será necessário dividi-la em partes iguais e utilizar uma destas partes na medição, como a unidade de medida intermediária.
Nesta etapa do desenvolvimento, a fração não é numérica, “pois a ênfase nesse momento se volta para a revelação do novo procedimento de medição” (FREITAS, 2016, p. 79). Portanto, consideremos o problema desencadeador apresentado por Moura (2015) na História: Sabendo que o Faraó exigirá uma representação da medida do terreno de Unopapiro, de que modo deverá proceder Cordasmil para transmitir, ao Faraó, a dimensão da lateral do terreno medido? Como proceder para representar a parte que não é uma corda inteira? Qual sua proposta para Cordasmil resolver este problema? Faça a representação de uma situação que possa ter sido vivenciada por Cordasmil e ilustre a sua solução. Supomos um terreno retangular e uma corda de qualquer medida (Ilustração 4, na página seguinte).
Ilustração 4 – Concreto ponto de partida
Corda
Fonte: elaboração do autor (2016).
Dificilmente caberá uma quantidade inteira de cordas na lateral do terreno. Como Cordasmil poderá proceder para efetuar a medição? Imaginemos a seguinte medição (Ilustração 5).
Ilustração 5 – Experimento Objetal: necessidade de divisão da unidade de medida básica
Fonte: elaboração do autor, 2016.
Considerando a corda como unidade de medida básica (1 unidade), o resultado não pode ser expresso por um número natural. Faz-se necessária outra unidade de medida: a unidade de medida intermediária6. Ela resulta de um fragmento da corda. Só assim será possível expressar a medição exata da lateral do terreno, conforme ilustração 6, na página seguinte.
6 Sobre o surgimento da unidade de medida intermediária ver em Freitas (2016).
Ilustração 6 – Experimento Objetal: revelação da unidade de medida intermediária
Fonte: elaboração do autor, 2016.
A partir da necessidade da medição procedemos a divisão da unidade de medida básica (uma corda inteira) para obtenção da unidade de medida intermediária: um fragmento da corda. Quanto ao procedimento de medição, o problema está resolvido. Basta dividir a unidade de medida básica em intermediárias. Assim, concluímos a primeira ação de estudo davydoviana, ao revelar os dados que constituem a relação universal do conceito de fração: unidade de medida básica (uma corda inteira); unidade de medida intermediária (fragmentos da corda, ou seja, uma fração da unidade de medida básica); e a grandeza a ser medida (lateral do terreno):
Uma corda inteira: (Unidade de medida básica); Fragmento da corda: (Unidade de medida intermediária);
Medida da lateral do terreno: (Total de unidades de medida intermediárias);
De acordo com Rosa (2012), a relação de multiplicidade e divisibilidade entre grandezas e , é a unidade entre a essência universal e seu resultado singular que são: números naturais, inteiros, racionais ou irracionais mediatizada pela unidade de medida. Se a unidade de medida se repetir um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida (lateral do terreno) o resultado da medição será um número inteiro. Entretanto, se não se repetir um número inteiro de vezes, será um número racional. Porém, se a unidade de medida for algo que não se pode medir em relação à grandeza a ser medida, o resultado será um número irracional.
Com base na tese de Rosa (2012), em síntese temos: primeiro se analisa as relações gerais e abstratas entre grandezas. Em seguida, é revelada a unidade de medida (particular), que faz a mediação entre a relação universal do conceito e um número (singular). Dessa
forma, surge a unidade de medida intermediária, capaz de medir a lateral do terreno de Unopapiro.
Na sequência damos início à segunda ação de estudo davydoviana. De acordo com Davídov (1988, p. 182, tradução nossa),
A segunda ação de estudo consiste na modelação na forma objetal, gráfica e literal da relação universal. É importante notar que os modelos de estudo são internamente elo essencial no processo de assimilação de conhecimentos teóricos e procedimentos de ação generalizada. Além disso, nem toda representação pode ser chamada de modelo de estudo, mas apenas a definição, precisamente, da relação universal de determinado objeto integral garante uma análise mais aprofundada. Uma vez que o modelo de estudo alguma relação universal é representada, encontrada e diferenciada no processo de transformação dos dados da tarefa, o conteúdo deste modelo define as características internas do objeto, não diretamente observáveis. O modelo de estudo como um produto de análise mental, nesse caso, pode ser um meio especial de atividade mental do homem.
É na segunda ação de estudo que ocorre a modelação da relação universal nas formas objetal, gráfica e literal. Nesta ação revela-se a interconexão entre os dados destacados na primeira ação, relativa ao conceito de fração. Dessa forma, na segunda ação de estudo, a relação entre os dados correspondentes ao conceito de fração será modelada e abstraída por meio de um sistema de símbolos, tais como: a reta numérica, esquema de setas e letras. O sistema de símbolos apresentados constituem os elementos mediadores entre a ação objetal e a mental.
Em relação ao problema desencadeador em análise, qual o valor das unidades de medida básica e intermediária? Quanto mede a lateral do terreno? Esses valores são desconhecidos. Trata-se da representação em seu caráter geral, conforme segue (Ilustração 7).
Ilustração 7 – Representação gráfica e literal
Fonte: elaboração do autor, 2016.
A C
De acordo com a ilustração 7, temos: Unidade de medida básica = C; Unidade de medida intermediária = E; Grandeza a ser medida = A.
Desconhecemos a medida A, uma vez que a unidade básica (C) não cabe uma quantidade de vezes inteira na lateral do terreno. A unidade de medida C torna-se insuficiente para determinar a medida da lateral do terreno. Por enquanto, é possível apenas estabelecer comparações entre esses valores em âmbito geral, com o auxílio dos símbolos de <, >, = ou ≠. Deste modo, com base no experimento objetal, é possível estabelecer as seguintes relações: E < C e C < A. Então, pela propriedade transitiva, temos: E < A. De modo análogo, C > E e A > C; por transitividade, temos: A > E. Com o símbolo de ≠, temos: E ≠ C, E ≠ A, e por transitividade, temos: C ≠ A. Porém, tais comparações, de caráter geral, não resolvem o problema Cordasmil. Ele precisa informar quanto vale exatamente a medida da lateral do terreno em relação à corda. Como proceder?
Cordasmil precisa determinar quantas vezes a unidade de medida intermediária cabe na unidade básica para, assim, determinar quantas vezes a unidade intermediária cabe na grandeza a ser medida. A resposta para esse questionamento ocorre no contexto da segunda ação de estudo, por meio da modelação da relação universal.
Os dados da tarefa são transformados de tal modo que se revele certa medida E, cuja adoção permite a determinação de quantas vezes a medida E se encaixa em A e C. Encontrar quantas vezes E cabe nas medidas A e C possibilita determinar a relação de divisibilidade e, consequentemente, a de multiplicidade:
Assim, .
Portanto, na especificidade da lateral do terreno, temos:
Isso ocorre porque o processo de medição (quantas vezes a unidade de medida cabe na grandeza) permite determinar a relação universal de multiplicidade e divisibilidade reproduzida no modelo para o conceito teórico de número (ROSA, 2012).
Analogamente, a partir das relações entre os valores E, C e A, é possível generalizar a relação universal do conceito de fração, na qual A = y expressa-se por:
(1)
No modelo o número p, que se localiza abaixo do traço fracionário, é o denominador. Este indica quantas vezes a unidade básica foi dividida em partes iguais. O número m, valor acima do traço fracionário, é o numerador. Trata-se da quantidade de partes tomadas da divisão da unidade básica. Ele representa o número de vezes que é necessário repetir o valor da parte com medida E na grandeza a ser medida (A). A linha de separação ou o traço entre o numerador e o denominador é denominado de barra.
Desse modo, representa o modelo literal da relação universal do conceito de fração. É a abstração máxima do pensamento, no movimento de redução do concreto ao abstrato.
Conforme o problema em análise, ao medir a lateral do terreno de Unopapiro, o estirador contou n cordas e constatou que sobrava uma parte em que não cabia uma corda inteira, esta está representada por x (Ilustração 8).
Ilustração 8 – Modelo gráfico (reta numérica) dos dados revelados no experimento
. . . . . .
Fonte: elaboração do autor (2016).
y n+1 x C 0 1 2 3 4 n-2 n-1 n A 01234 p-1 p 0 1 E
Onde: C – unidade de medida básica (C = 1 unidade);
E – unidade de medida intermediária (E = da unidade de medida básica);
A – Total de unidades de medida intermediária (A = y unidades de medida intermediária).
Assim, para determinar o resultado do processo de medição da lateral do terreno de medida A, fez-se necessária a construção da unidade de medida intermediária E, pois a unidade considerada básica C não é suficiente para determinar a medição exata da lateral do terreno.
De acordo com a Ilustração 8, n é o número total de cordas inteiras para medir a lateral do terreno. Porém, precisamos de outra unidade de medida para fazer a medição exata. Assim, adotamos como unidade de medida intermediária , e x é o fragmento da unidade de medida básica. Observe que n contém certo número de unidades de medida intermediária. A determinação do valor de x depende da quantidade k de unidades de medida intermediária que faltam para completar a medição da lateral do terreno. Desse modo, a medida da lateral do terreno é expressa por . Porém, o resultado da medição será um número racional, pois, em n e x, cabe certa quantidade de unidades de medida intermediária. Assim, o total de unidades medida intermediária é expresso por:
(2)
Esse modelo expressa a relação universal do problema em análise, que também é
válido para o conceito de fração, desde que .
Para melhor visualização, aumentamos a escala da unidade de medida básica, a fim, de explicitar a relação entre a unidade de medida intermediária e a unidade de medida básica. Na ilustração 9 procedemos a divisão da corda em p partes iguais.
Ilustração 9 – Divisão da unidade de medida básica
Fonte: elaboração do autor (2016). 0
C
1
Dessa forma, constata-se que a unidade de medida intermediária cabe p vezes na unidade de medida básica, conforme a ilustração 10:
Ilustração 10 – Relação entre a unidade de medida intermediária e a unidade de medida básica
Fonte: elaboração do autor (2016).
Assim, conclui-se que a unidade de medida básica C é composta por p vezes E. Mas, quantas vezes a unidade de medida intermediária cabe na grandeza a ser medida, ou seja, na medida da lateral do terreno. De acordo com (ГОРБОВ et al., 2006), a questão que norteia a solução é: como representar m vezes a quantidade que C se repete na grandeza em medição? Se recorrermos à reta numérica, contexto matemático para todos os números reais, é possível revelar o valor desconhecido m (Ilustração 11).
Ilustração 11 – Total de unidades de medida intermediárias contida na grandeza a ser medida
Fonte: elaboração do autor (2016).
Assim explicitamos, na reta numérica (Ilustração 11), quantas vezes C repete-se em A. Entretanto, para representar a quantidade m, consideramos a unidade de medida intermediária a fim de determinar quantas vezes a intermediária repete-se em A.
0 1 2 3 4 p-2 p-1 p
E E E E E E
Desse modo, é possível concluir que a unidade de medida intermediária cabe np + k =
m vezes na grandeza a ser medida, uma vez que a unidade de medida básica não é suficiente
para determinar o resultado exato da medição. Em outras palavras: a unidade de medida intermediária repete-se (np + k) vezes em A. Portanto, a unidade intermediária cabe m vezes em A, e k é o número de vezes que a unidade de medida intermediária cabe no fragmento da corda. Em síntese, temos (Ilustração 12, na página seguinte).
Ilustração 12 – Modelo do movimento entre os elementos que constituem a relação universal
C A p np + k = m E Fonte: elaboração do autor (2016).
Desse modo, na (ilustração 12), no esquema de setas7, explicitamos quantas vezes uma unidade cabe dentro da outra: a unidade de medida intermediária cabe p vezes na unidade de medida básica C, pois ; ainda, a unidade de medida intermediária cabe m vezes em