alternativas são equivalentes, conforme resultados numéricos iguais obtidos, fato já demonstrado analiticamente por CRUSE e RICHARDSON (1996).
As integrais fracamente singulares são calculadas seguindo os esquemas de integração apresentados no Capítulo 5, isto é, para elementos com aproximação linear tem-se a integração analítica e integração numérica de Gauss com mapeamento degenerado. Também foi avaliado o desempenho da integração direta de Hammer com uso de subelementos, processo este utilizado por NAKAGUMA (1979). Para elementos com aproximação quadrática, devido à inexistência de técnicas de integração analíticas, somente as técnicas numéricas são utilizadas.
Para o cálculo das integrais regulares utilizam-se somente técnicas numéricas, que são capazes de fornecer resultados com a precisão requerida, além da simplicidade e generalidade de sua aplicação. Estas integrais são calculadas pelo esquema de quadratura de Hammer ou de Gauss com mapeamento degenerado. Na alternativa em que as integrais fracamente singulares foram calculadas pelo esquema de Hammer, preservou-se este esquema no cálculo das integrais regulares. A mesma consideração é feita para o caso de integração de Gauss com mapeamento degenerado. Na alternativa de integração analítica das integrais fracamente singulares, optou-se por calcular as integrais regulares pelo esquema de Hammer, devido à sua simplicidade, sendo aplicada sempre a técnica de subelementação, seguindo o critério de subdivisão apresentado na Seção 5.1.
Além das técnicas descritas, que consideram o ponto de colocação no contorno, foi implementado um algoritmo alternativo em que os pontos de colocação são posicionados fora do domínio do problema, evitando-se assim qualquer tipo de singularidade nas integrais. A posição do ponto de colocação fora do domínio (ponto fora), é definida na direção da normal média dos elementos que compartilham o nó do contorno. A distância do ponto fora ao nó correspondente no contorno é definida por um parâmetro, denominado α, que multiplica a média dos lados do elemento. A FIG. 22 apresenta o esquema ilustrativo para elementos planos. No caso de elementos curvos, por simplificação, o valor do lado médio dos elementos foi determinado considerando-
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se retas que ligam os nós de vértice do elemento, não sendo calculados os comprimentos das linhas dos lados do elemento. As integrais regulares são calculadas numericamente pelos dois esquemas já citados.
FIGURA 22 – Posicionamento do ponto de colocação fora do domínio
No cálculo de tensões em pontos do contorno, são utilizados os resultados de deslocamentos e forças de superfície obtidas no processamento principal. Trata-se então de uma etapa de pós-processamento, onde nenhuma integração é efetuada. Os resultados das componentes de tensão são calculados em cada nó de cada elemento do contorno, segundo a teoria descrita na Seção 4.3, sendo apresentadas seguindo o sistema de coordenadas globais.
Na avaliação de resultados em pontos internos (etapa de pós-processamento), as integrais são regulares e as técnicas de quadratura numérica (Hammer com subelementos e Gauss com mapeamento degenerado) são empregadas. No caso particular de se considerar pontos muito próximos do contorno, pode ocorrer um comportamento quase singular do integrando, prejudicando assim a qualidade dos resultados. Na análise de deslocamentos, além da formulação clássica, que pode apresentar este tipo de perturbação nos resultados, considera-se também a formulação auto-regularizada da ISD que elimina este tipo de imprecisão, permitindo a análise de pontos internos tão próximos do contorno quanto desejado. Adota-se como ponto P da Eq. 34, o ponto nodal mais próximo do ponto interno a ser analisado.
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6.2 – Interface Gráfica
O programa GiD, utilizado como interface gráfica, funciona como um gerenciador do processamento (FIG. 23). Após os procedimentos de modelagem do sólido, geração de malha e entrada de alguns dados específicos para o programa, como por exemplo: escolha do algoritmo, quantidade de pontos a serem usados nas integrações e coordenadas de pontos internos; são gerados arquivos com dados de entrada para o programa implementado, que é acionado dentro do próprio ambiente do GiD. Durante o processamento o programa implementado, que trabalha como um subprograma (solver) do GiD, gera novos arquivos com os resultados obtidos. Estes arquivos de resultados são escritos de forma que possam ser reconhecidos e interpretados pelo pós- processador, que os representa graficamente com os recursos disponíveis. Informações mais detalhadas sobre o código do programa e a interação com o GiD são apresentadas no Anexo B.
FIGURA 23 – Interação entre o programa e a interface gráfica
6.3 – Fluxograma
Um fluxograma descrevendo a seqüência de funcionamento do programa implementado é apresentado na FIG. 24. O arquivo contendo dados de entrada é criado pelo pré- processador (ou editado, se desejado), e os arquivos com resultados são escritos como listagens organizadas e também em arquivos formatados de forma apropriada para interpretação do pós-processador. Caso seja necessário uma avaliação em pontos internos, pode-se fazer apenas um processamento parcial que utiliza um arquivo contendo todos os resultados obtidos no contorno.
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Fluxograma Básico
FIGURA 24 – Fluxograma básico do programa
Cálculo das integrais singulares usando o esquema de Hammer com
subelementação;
Cálculo de integrais singulares pelo método analítico (elementos planos);
Algoritmo com ponto de colocação fora do domínio e integração pelo
esquema de Hammer com subelementação;
Cálculo das integrais singulares usando mapeamento degenerado e esquema de Gauss padrão; Integrais regulares pelo
esquema de Hammer;
Cálculo das integrais singulares e regulares usando mapeamento degenerado e esquema de Gauss
padrão;
Algoritmo com ponto de colocação fora do domínio e quadratura de Gauss
com mapeamento degenerado;
Cálculo de deslocamentos usando a formulação padrão;
Cálculo de deslocamentos usando a formulação auto-regularizada;
Cálculo de tensões usando a formulação padrão; Leitura de dados
de entrada
Cálculo somente de pontos internos? Somente tensões
no contorno ? Leitura de arquivos com resultados do contorno SubRotina COLLOC Montagem do sistema. Não Sim Escreve resultados do contorno Cálculo de pontos internos Resolução do sistema de equações
Escreve resultados para pontos internos Cálculo de Tensões
em elementos do contorno
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Exemplos e Resultados Numéricos
Neste capítulo são apresentados exemplos analisados com o programa implementado, utilizando a formulação padrão do MEC no cálculo de valores incógnitos em pontos do contorno e pontos internos, e também a formulação baseada na ISD auto-regularizada no cálculo de deslocamentos de pontos internos. Em todos os exemplos são usados elementos de contorno triangulares isoparamétricos, com funções de forma lineares ou quadráticas (3 ou 6 nós), sendo as integrações numéricas efetuadas através dos algoritmos implementados para a técnica de Hammer com subelementos e de Gauss- Legendre com mapeamento degenerado. Para o caso de elementos triangulares lineares as integrais fracamente singulares são também calculadas analiticamente, através das equações apresentadas no Capítulo 5. As integrais fortemente singulares são calculadas indiretamente, utilizando-se o conceito de movimento de corpo rígido. Exceto especificado o contrário, na quadratura de Hammer são utilizados 13 pontos de integração para cada elemento (ou subelemento), e para quadratura de Gauss utilizam-se 8 pontos de integração em cada direção. A quantidade de pontos de integração utilizada no cálculo de cada elemento varia seletivamente em função destas quantidades inicialmente especificadas, de acordo com a distância do ponto de colocação ao elemento. Os resultados das análises via MEF foram obtidos utilizando-se o programa ANSYS, em sua versão 5.7.