Uma vez entendido o conceito de probabilidade condicional passamos para um outro problema que normalmente confunde a mente at´e de pessoas que costumam trabalhar e tem certa facilidade em Matem´atica. O problema de quando saber que se deve usar a probabilidade condicional e iremos ilustrar isso atrav´es de duas situa¸c˜oes.
Suponha que uma mulher fa¸ca uma mamografia para saber se apresenta algum problema nas mamas. Suponha ainda que essa mulher n˜ao apresente qualquer sin- toma (assintom´atica) e possua mais de 40 anos. Para a surpresa dessa mulher, ela foi diagnosticada como tendo cˆancer de mama. O qu˜ao assustada essa mulher tem raz˜ao de estar, ou seja, qual a probabilidade de que ela realmente possua tal cˆancer haja vista que exames sempre apresentam uma margem de erro. Vamos para alguns dados que s˜ao relevantes: primeiramente esse exame apresenta um erro de 7% em seus resultados, ou seja, para cada 1000 exames, 70 deles mostram cˆancer quando ele n˜ao existe; em segundo lugar, a incidˆencia desse tipo de cˆancer entre mulheres assintom´aticas com mais de 40 anos ´e apenas de 0, 8%.
Se perguntarmos para uma pessoa leiga em probabilidade qual a chances que essa mulher tem de realmente estar com o cˆancer, provavelmente a resposta ser´a 93%, ou seja, retira-se os 7% de erros do exame e a segunda informa¸c˜ao sobre a incidˆencia real do cˆancer seria totalmente descartada pois n˜ao traria qualquer informa¸c˜ao sobre a mulher diagnosticada especificamente. Contudo o racioc´ınio n˜ao deve ser esse. Deve- mos pensar da seguinte maneira: suponha um grupo de 1000 mulheres nessa mesma situa¸c˜ao (assintom´aticas e com mais de 40 anos), desse grupo somente 8 mulheres (0, 8%) realmente apresentam a doen¸ca, entretanto outras 70 mulheres (7%) foram diagnosticadas de maneira errada com falsos positivos. Portanto, das 78 mulheres que foram diagnosticadas de maneira positiva `a doen¸ca citada, apenas 8 realmente pos- suem a doen¸ca, o que nos leva a uma probabilidade de 8
78 ou pouco mais de 10%. O que nos levou a pensar de maneira equivocada foi o fato da probabilidade em quest˜ao ser condicional, haja vista que j´a era sabido que o exame da mulher teve resultado positivo.
Exemplos parecidos podem ser vistos em exames de paternidade e exames anti- doping. Na verdade, qualquer exame apresenta um percentual de erro, seja devido a fatores t´ecnicos que beiram a coincidˆencia, seja por falhas humanas na manipula¸c˜ao e procedimento do exame, como contamina¸c˜oes, por exemplo. Nossa segunda situa¸c˜ao foi retirada de uma antiga coluna presente em uma revista americana chamada “Ask Marilyn” em que v´arias perguntas sobre os mais diversos temas eram enviados para Marilyn vos Savant e esta respondia em sua coluna. Certa vez foi enviado um pro- blema que tamb´em havia sido um quadro de um programa de audit´orios. Nesse quadro, existiam trˆes portas e atr´as de uma dessas trˆes portas havia um carro de
luxo (uma Ferrari por exemplo), atr´as das demais portas haviam prˆemios insignifi- cantes como uma galinha ou uma garrafa de vinho barata. O participante deveria inicialmente escolher uma das trˆes portas, em seguida o apresentador do quadro (que sabe atr´as de qual das portas est´a o carro), abre uma das portas n˜ao escolhidas pelo participante e que tamb´em n˜ao esteja com a Ferrari por tr´as. A seguir o participante deve escolher por permanecer com a porta escolhida inicialmente ou mudar para a outra porta que continua fechada na cl´assica pergunta “vocˆe quer continuar com a sua porta ou quer trocar para a outra”. Na minha opini˜ao como professor de Matem´atica que ensina a pouco mais de 12 anos eu afirmo que todos (ou quase todos) os alunos afirmam, sem pensar muito, que pouco importa se o participante mudar´a ou n˜ao sua porta escolhida, ao final, a chance dele receber a Ferrari ser´a 50%; eu afirmei quase todos pois sempre h´a aquele aluno que n˜ao deseja se manifesta em sala de aula por vergonha ou ainda aquele que j´a havia ouvido falar desse problema sem dar muita importˆancia mas que sabia que era melhor trocar de porta.
Mas afinal, quem est´a certo? ´E melhor permanecer na porta escolhida, trocar de porta ou independentemente da escolha feita a probabilidade ´e de 50%? A pergunta aparentemente simples nos d´a um resultado inesperado: o melhor a ser feito ´e sempre trocar de porta e eu me explico.
Imagine uma situa¸c˜ao em que as trˆes portas sejam 1, 2 e 3 e que a Ferrari esteja atr´as da porta 1. Caso o participante escolha a porta 1, o apresentador abrir´a uma das demais portas (2 ou 3) e, obviamente, se o participante trocar de porta nesse caso perder´a o prˆemio mais valioso. Entretanto, se o participante escolher inicialmente a porta 2 ou a porta 3, o apresentador abrir´a uma das portas que n˜ao possuem o carro e, para que o participante conquiste o prˆemio ´e necess´ario que ele mude de porta. Dessa forma, o problema acaba sendo mais um exemplo de probabilidade condicional onde a chance do participante conquistar o prˆemio ao trocar de porta ´e 2 3 e de conquistar sem trocar de porta ´e de apenas 1
3 (somente se ele houvesse escolhido inicialmente a porta correta). ´E claro que isso ´e uma explica¸c˜ao matem´atica para o caso, aconselhando o participante na tomada da decis˜ao. Nada impede de eu sofrer uma tentativa de agress˜ao ou homic´ıdio se S´ılvio Santos resolver fazer esse quadro em seu programa dominical e um participante perder uma Ferrari de meio milh˜ao de reais porque resolveu trocar de porta pois havia lido anteriormente essa minha
disserta¸c˜ao.