Na Se¸c˜ao 4.1 vimos um estudo de uma opera¸c˜ao mais restrita comparada ao pro- blema de transposi¸c˜ao, temos agora um estudo de uma opera¸c˜ao mais geral. Exis- tem diversas formas de generaliza¸c˜oes, algumas das quais tornam o problema de ordena¸c˜ao polinomial, alguns exemplos s˜ao opera¸c˜oes de double-cut-and-join [54] e de single-cut-or-join [32].
Alekseyev e Pevzner [1] propuseram uma generaliza¸c˜ao da opera¸c˜ao double-cut- and-join, chamando a opera¸c˜ao de multi corte, onde muito pouco se sabe sobre esta opera¸c˜ao. Propomos uma vers˜ao mais restrita desta ´ultima opera¸c˜ao de Alekseyev e Pevzner, a qual chamamos de multi quebra restrita. Apesar desta opera¸c˜ao ser uma restri¸c˜ao do multi corte, ainda ´e uma generaliza¸c˜ao da opera¸c˜ao de movimento de blocos, onde o problema de ordena¸c˜ao ´e polinomial [10], e das opera¸c˜oes de transposi¸c˜ao e de revers˜ao, problemas estes que s˜ao NP-completos [7, 8].
Uma opera¸c˜ao de k multi quebra restrita pode ser vista como uma revers˜ao num bloco de elementos tal que h´a no m´aximo k blocos internos de elementos n˜ao- revers´ıveis. Estudamos duas varia¸c˜oes deste problema: uma onde o k ´e fixo dado de entrada, e outra onde k ´e arbitr´ario. Al´em dos limites para distˆancias que mencio- namos na Se¸c˜ao 1.3, apresentamos a seguir os demais resultados obtidos sobre esta opera¸c˜ao.
4.2.1
Limites superiores, k = 1
Quando tratamos do problema onde k = 1, propomos um limite superior em fun¸c˜ao do n´umero de ciclos alg´ebricos, este limite ´e justo para algumas classes de per- muta¸c˜oes.
Permuta¸c˜oes podem ser representadas por cada elemento seguido por sua ima- gem. Por exemplo,{1, 2, 3}, (1 2 3) mapeia 1 em 2, 2 em 3, e 3 em 1, correspondendo a permuta¸c˜ao [0 2 3 1 4]. Esta representa¸c˜ao n˜ao ´e ´unica; (2 3 1) e (3 1 2) s˜ao equiva- lente. Permuta¸c˜oes s˜ao compostas por um ou mais ciclos alg´ebricos. Por exemplo, π = [0 8 5 1 3 2 7 6 4 9] = (1 8 4 3)(2 5)(6 7) possui 3 ciclos alg´ebricos. Denotamos pc(π) pelo n´umero de ciclos alg´ebricos de π.
Lema 4.11 Dada uma permuta¸c˜ao π com n elementos e pc(π) seu n´umero de ciclos alg´ebricos, d1rmb(π)≤ n − pc(π).
Mostramos que este limite ´e justo para a classe das permuta¸c˜oes de involu¸c˜oes estrelas. Uma permuta¸c˜ao involu¸c˜ao ´e tal que todos os ciclos alg´ebricos possuem tamanho at´e 2. Uma permuta¸c˜ao ´e involu¸c˜ao estrela se: cada elemento ´ımpar 2i + 1 est´a na posi¸c˜ao correta, para 1 ≤ i ≤ bn/2c, π2i+1 = 2i + 1; e todo os outros
elementos formam ciclos de tamanho 2, (a a0) tal que a0 > a + 2. Por exemplo
[0 9 6 3 8 5 2 7 4 1 10] ´e uma permuta¸c˜ao involu¸c˜ao estrela.
Teorema 4.12 Dada uma permuta¸c˜ao involu¸c˜ao estrela π, temos que d1rmb(π) = b(π)
4 .
Esquema da demonstra¸c˜ao. J´a que b(π)4 ´e um limite inferior (Teorema 1.7, p´agina 14),
mostramos que b(π)4 = n− pc(π).
Outro estudo que damos aten¸c˜ao ´e o de determinar o diˆametro. Ao considerar a opera¸c˜ao de revers˜ao, Hannenhalli e Pevzner [38] provaram que as permuta¸c˜oes Gollan s˜ao diametrais, cujo valor ´e n− 1. Isto devido ao limite inferior de n − 1 da opera¸c˜ao de revers˜ao das permuta¸c˜oes Gollan ser igual ao limite superior de n− 1 para ordenar qualquer permuta¸c˜ao por revers˜oes.
Defini¸c˜ao 4.13 [38] Uma permuta¸c˜ao Gollan de tamanho n ´e: • [0 3 1 5 2 7 4 · · · n−3 n−5 n−1 n−4 n n−2 n+1], se n ´e par; • [0 3 1 5 2 7 4 · · · n−6 n−2 n−5 n n−3 n−1 n+1], se n ´e ´ımpar.
Teorema 4.14 Dada uma permuta¸c˜ao Gollan π de tamanho n, temos que d1$(π) =
n 2
.
Esquema da demonstra¸c˜ao. Obtemos uma sequˆencia ordenante cujo n´umero de opera¸c˜oes ´e igual ao limite inferior do Teorema 1.9. Teorema 4.15 O diˆametro de 1$ ´e pelo menos n
2
.
Apresentamos tamb´em limites superiores somente em fun¸c˜ao de n. Lema 4.16 Dada uma permuta¸c˜ao π com n elementos, d1rmb(π)≤ 3n4.
Esquema da demonstra¸c˜ao. Mostramos estrat´egia recursiva no n´umero de elemen- tos da permuta¸c˜ao. Dada uma permuta¸c˜ao, conseguimos reduzir 3 elementos da
permuta¸c˜ao numa sequˆencia de 4 opera¸c˜oes.
Lema 4.17 Dada uma permuta¸c˜ao π com n elementos, d1rmb(π)≤ 2n3.
Esquema da demonstra¸c˜ao. Similar ao Lema 4.17, mostramos estrat´egia recursiva no n´umero de elementos da permuta¸c˜ao. Dada uma permuta¸c˜ao, conseguimos reduzir 2 elementos da permuta¸c˜ao numa sequˆencia de 3 opera¸c˜oes. Al´em dos limites superiores apresentados nos Lemas 4.16 e 4.17, implementamos um algoritmo exato de for¸ca bruta [13] para o c´alculo de distˆancia para todas as n! permuta¸c˜oes com n elementos. Verificamos que bn/2c ´e o valor do diˆametro para todo n≤ 11, conforme visto na Tabela 4.1.
Caso este limite debn/2c seja verdadeiro, teremos que as permuta¸c˜oes diametrais para 1$ s˜ao as permuta¸c˜oes Gollan, as mesmas diametrais para o problema do diˆametro de revers˜ao.
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D0(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D1(n) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
D2(n) 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4
Tabela 4.1: Valores do diˆametro Dk(n) para k = 0, 1 e 2, e n≤ 11.
4.2.2
Limites superiores, k arbitr´ario
Note que o n´umero de $ opera¸c˜oes poss´ıveis ´e exponencial, a seguir vemos que este valor ´e limitado por O(2n).
Lema 4.18 Toda permuta¸c˜ao de tamanho n, o n´umero de $ opera¸c˜oes poss´ıveis ´e O(2n).
Esquema da demonstra¸c˜ao. Obtemos a seguinte f´ormula recorrente no n´umero de poss´ıveis opera¸c˜oes para uma permuta¸c˜ao de tamanho n: T (n) = 2T (n− 1) − T (n − 2) + 2n
− 2, onde T (1) = 0 e T (2) = 1.
A seguir, temos o seguinte limite inferior logaritmico para o diˆametro de $. Teorema 4.19 O diˆametro de $ ´e D$(n) = Ω(log n).
Demonstra¸c˜ao. Dada uma permuta¸c˜ao, pelo Lemma 4.18, existem O(2n) per-
muta¸c˜oes com distˆancias iguais a 1. O n´umero de permuta¸c˜oes de tamanho n ´e n! ≈ 2n log n. Portanto, de uma permuta¸c˜ao, o n´umero de permuta¸c˜oes alcan¸c´aveis
por d opera¸c˜oes ´e no m´aximo 2nd, portanto o diˆametro ´e d≥ log n.
A seguir, temos um limite superior para o diˆametro de $. Teorema 4.20 O diˆametro de $ ´e D$(n) = O(log2n).
Esquema da demonstra¸c˜ao. Desenvolvemos estrat´egia recursiva que ordena uma permuta¸c˜ao qualquer com O(log2n) opera¸c˜oes de $.