Defini¸c˜ao 3.2.1 Um inteiro p > 1 diz-se primo se os seus ´unicos divisores positivos s˜ao 1 e o pr´oprio p.
Deduz-se facilmente que qualquer inteiro n > 1 ´e divis´ıvel por algum primo. Al´em disso, o ´ultimo corol´ario da sec¸c˜ao anterior tem como consequˆencia a seguinte
Proposi¸c˜ao 3.2.2 Dados a1, a2, . . . , an ∈ Z e p primo,
p | a1a2. . . an =⇒ ∃i : p | ai.
Teorema 3.2.3 (Euclides) : O conjunto dos n´umeros primos ´e infinito.
Seja de facto p1, p2, · · · , pmum qualquer conjunto finito de primos (por exemplo, os primeiros m primos); o n´umero
N = p1p2· · · pm+ 1
ou ´e primo ou tem que ter um factor primo p; se p ∈ {p1, p2, · · · , pm} ent˜ao p dividiria o produto p1p2· · · pm e ent˜ao teria que dividir 1, o que ´e imposs´ıvel. Em qualquer caso verificamos que N tem um factor primo diferente de qualquer um dos pi.
Teorema 3.2.4 Teorema Fundamental da Aritm´etica
Para cada inteiro n > 1, existem primos p1, p2, . . . , pr, tais que n = p1p2. . . pr
e essa factoriza¸c˜ao ´e ´unica a menos de permuta¸c˜ao dos factores.
Demonstra¸c˜ao 3.2.5 A demonstra¸c˜ao deste Teorema pode ser feita por uma aplica¸c˜ao do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita (Forte) e das propriedades deduzidas anteriormente:
n = 1 ´e o produto do conjunto vazio de primos (tal como a soma de um conjunto vazio de n´umeros ´e igual a zero...) e n = 2 ´e primo; dado n > 2, suponhamos, como hip´otese de indu¸c˜ao, que todo o natural menor que n tem uma factoriza¸c˜ao ´unica em factores primos.
Se n ´e primo tem evidentemente uma factoriza¸c˜ao ´unica; caso contr´ario, podemos factorizar n = n1n2 com 1 < n1, n2< n; por hip´otese de indu¸c˜ao, n1 e n2 tˆem ambos factoriza¸c˜ao ´unica
e portanto n tem claramente uma factoriza¸c˜ao em factores primos n = p1p2· · · pmp01p02· · · p0l Para vermos que essa factoriza¸c˜ao ´e ´unica notamos que se
n = p1p2· · · ps= q1q2· · · qt
s˜ao duas factoriza¸c˜oes em factores primos, ent˜ao p1, por ser primo, divide for¸cosamente um dos factores qi, que podemos supor, renumerando os factores, ser q1; mas como este ´e primo, os seus ´unicos divisores (positivos) s˜ao 1 e q1 e portanto p1= q1.
Cancelando esse factor obtemos
n p1 = p2· · · ps= q2· · · qt e como n p1 ´
e menor que n, tem factoriza¸c˜ao ´unica em factores primos, ou seja s = t e os qi coincidem com os pi, a menos de uma permuta¸c˜ao dos factores. Mas ent˜ao o mesmo acontece com as factoriza¸c˜oes de n.
Se designarmos por Pk a sucess˜ao crescente de todos os n´umeros primos, P1 = 2, P2 = 3, · · · , podemos escrever a factoriza¸c˜ao de n como
n =Y
k≥1
Pik
k
onde os expoentes ik satisfazem a condi¸c˜ao de serem 0 excepto para um n´umero finito de casos, com a conven¸c˜ao de que o produto de um n´umero infinito de 1 ´e 1 (`a semelhan¸ca do que se passa com a soma de um n´umero infinito de termos iguais a zero). Qualquer sucess˜ao ik que satisfa¸ca as condi¸c˜oes
ik ≥ 0∀k ≥ 1, ∃m : ik= 0∀k > m
corresponde a uma factoriza¸c˜ao de um natural positivo e temos portanto uma bijec¸c˜ao entre o conjunto dos naturais positivos e o conjunto das sucess˜oes que satisfazem aquelas condi¸c˜oes, e o produto de dois naturais corresponde, por essa bijec¸c˜ao, `a soma das sucess˜oes respectivas: se
n =Y k≥1 Pik k , m =Y k≥1 Pjk k ent˜ao nm =Y k≥1 Pik+jk k
A rela¸c˜ao de divisibilidade n | m traduz-se em ik ≤ jk, ∀k e, do mesmo modo, mdc(n, m) =Y k≥1 Pmin{ik,jk} k , mmc(n, m) = Y k≥1 Pmax{ik,jk} k
onde mmc(n, m) designa o menor m´ultiplo comum dos dois naturais n e m.
Observa¸c˜ao 3.2.6 O Teorema Fundamental da Aritm´etica pode parecer evidente, de tal modo as pro-priedades dos n´umeros inteiros est˜ao enraizadas na nossa mente. O seu alcance, e a sua dependencia da validade do Lema da Divis˜ao, s˜ao melhor compreendidos se estudarmos a aritm´etica de outros conjuntos. Um bom exemplo ´e o dos n´umeros da forma
a + b√
3.2.1 N´umeros perfeitos
O que se segue ´e um exemplo de aplica¸c˜ao das no¸c˜oes de divisibilidade e de factoriza¸c˜ao em factores primos a um problema cl´assico da aritm´etica dos inteiros:
Um n´umero natural n diz-se um n´umero perfeito se igualar a soma dos seus divisores pr´oprios n = X
d|n∧1≤d<n
d
Por exemplo 6 ´e perfeito uma vez que 1 + 2 + 3 = 6, enquanto que 12 n˜ao ´e perfeito j´a que 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 6= 12
Uma formula¸c˜ao equivalente ´e que n ´e perfeito se
2n = X
d|n∧1≤d
d
A letra grega sigma ´e usada para designar esta fun¸c˜ao: σ(n) =P
d|n∧1≤dd. Euclides demonstrou o seguinte
Teorema 3.2.7 Se N = 2n−1(2n− 1) e 2n− 1 ´e primo, ent˜ao N ´e perfeito.
Demonstra¸c˜ao 3.2.8 Como consequˆencia do Teorema Fundamental da Aritm´etica, os divisores positivos de N s˜ao
1, 2, · · · 2n−1, (2n− 1) , 2 (2n− 1) , · · · , 2n−1(2n− 1) A soma destes divisores d´a
n−1 X k=0 2k+ (2n− 1) n−1 X k=0 2k= 2n n−1 X k=0 2k= por aplica¸c˜ao da f´ormula da soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica
= 2n(2n− 1) = 2N
Conv´em notar que para que 2n− 1 seja primo ´e condi¸c˜ao necess´aria que o pr´oprio n seja primo; de facto, se n = kj com 1 < k, j ent˜ao temos a factoriza¸c˜ao
2n− 1 = 2k− 1 2k(j−1)+ 2k(j−2)+ · · · + 2k+ 1= 2k− 1 j−1 X i=0 2ki Essa condi¸c˜ao no entanto n˜ao ´e suficiente; o primeiro exemplo ´e n = 11:
211− 1 = 2047 = 23 × 89
Teorema 3.2.9 Se N ´e um n´umero perfeito par ent˜ao existe um primo n tal que N = 2n−1(2n− 1) e 2n−1 ´
e primo.
Demonstra¸c˜ao 3.2.10 Suponhamos que N ´e perfeito e que temos N = 2n−1F em que F ´e ´ımpar. Os divisores positivos de N s˜ao os n´umeros da forma 2kd em que 0 ≤ k ≤ n − 1 e d | F . Se
S =X
d|F
d
for a soma dos divisores positivos de F , podemos calcular a soma dos divisores positivos de N como
n−1
X
k=0
2kS = (2n− 1) S Como N ´e perfeito temos
2N = 2nF = (2n− 1) S e portanto S = 2 nF 2n− 1 = F + F 2n− 1 Conclui-se que F
2n− 1 ´e um inteiro e portanto um divisor de F ; por outro lado F
2n− 1 = S − F ´
e a soma de todos os divisores positivos de F menores que F ; mas isso implica que F
2n− 1 ´e o ´unico divisor positivo de F menor que F e portanto tem que ser F
2n− 1 = 1. Portanto
N = 2n−1(2n− 1) Como F = 2n− 1 n˜ao tem mais divisores ´e porque ´e primo.
Continua em aberto, entre muitos outros relacionados com este, o problema de saber se existem n´umeros perfeitos ´ımpares.
Observa¸c˜ao 3.2.11 Os n´umeros da forma 2n− 1 com n primo designam-se por n´umeros de Mersenne, em homenagem ao matem´atico e te´ologo francˆes Marin Mersenne (1588-1648), e os primos dessa forma s˜ao os primos de Mersenne. A investiga¸c˜ao sobre estes n´umeros continua activa e em Setembro de 2008 foi descoberto o maior primo de Mersenne conhecido at´e agora:
243112609− 1