Nem só de clássicos vive a Teoria dos Jogos

Figura 2.31: Descendência

Em todos os exemplos e situações tratadas estava atendendo-se alguma necessidade (desejo, vontade, etc) e lembrando-se que a economia estuda a relação entre recursos e nossas necessi- dades (que segundo a economia são innitas), logo desta perspectiva é que a Teoria dos Jogos apresentada é denominada Teorica Econômica dos Jogos, também chamada de Teoria Clássica dos Jogos, onde procura-se estabelecer métodos matemáticos para a maximização do retorno (ganho ou pagamento). Entretanto, esta não é a única vertente da Teoria dos Jogos, pode-se dizer que a mesma possui diversos lhos, sendo uma grande disciplina dentro da Matemática Aplicada que inuencia e é inuenciada pela Investigação Operacional, Economia, Teoria de Controle, Ciência da Computação, Psicologia, Biologia e Sociologia (para citar algumas disci- plinas). Podendo ser classicada em mais três sub-categorias principais :

1. Teoria Combinatória dos Jogos;

2. Teoria dos Jogos Dinâmica (ou Diferencial);

3. Outros tópicos em Teoria dos Jogos. Aqui abarca os temas que são derivados a partir dos três outros ramos. Exemplos incluem, mas não estão limitados a :

(i) Teoria dos Jogos Evolucionária, que tenta modelar a evolução como competição entre as espécies;

(ii) Jogos Duais, em que os jogadores podem escolher a partir de um número innito de estratégias, mas o tempo não é um fator;

(iii) Teoria dos Jogos Experimental, onde as pessoas são estudados para determinar ver- dadeiramente a precisão dos modelos da Teoria dos Jogos clássica.

A Teoria dos Jogos Combinatória centra-se em jogos de duas pessoas, onde os jogadores alternam-se nas jogadas, não considera os ditos jogos de azar, ou seja, não incorpora nenhum tipo de aleatoriedade, não admitindo a existência de acasos, muito menos a possibilidade de incertezas. Seu objetivo é determinar a melhor jogada. É usada para investigar jogos como xadrez, damas ou Go. De todos os ramos, Combinatória é o menos diretamente relacionado com cenários da vida real. Para tornar mais palpálvel sua utilização vejamos um exemplo.

Figura 2.32: Jogo da Eliminação

Seja um jogo de eliminação jogado com uma imagem como a da gura 30. Chamaremos os dois jogadores de A e B. o jogador A mover signica a exclusão de qualquer borda azul, juntamente com quaisquer arestas (sejam azuis ou vermelhas) que não estejam ligadas à terra (que é a linha pontilhada na gura), e B mover é a exclusão de uma borda vermelha, juntamente com quaisquer arestas que não estejam ligadas à terra. Muito em breve, um dos jogadores vai descobrir que ele não pode se mover, porque não existem arestas da sua cor no que resta da imagem, ou simplesmente na sua vez de jogar não há mais imagem, e o primeiro preso dessa forma é o perdedor. Bem, o que pode-se fazer sobre isso? Para nós, incipientes no jogo, provavelmente fosse uma boa idéia parar, sentar e analisar algumas jogadas em primeiro lugar, para se certicar de que compreendemos muito bem as regras do jogo. Supondo que o jogador A pode mover-se em primeiro lugar, e apagar o pé esquerdo da menina, mas isto deixaria o resto do corpo apoiado sobre a perna direita que está em contato com a terra e B, venceria o jogo, anal poderia apagar toda a garota simplesmente deletando a perna direita, pois as demais arestas não possuem mais contato com a terra, e A não teria mais nenhuma aresta para apagar. Não parecendo ser então um bom começo para A. Todavia, há outras arestas que realmente podem desaparecer e ainda manter a menina em contato com a terra, A poderia usar seu primeiro movimento para remover o braço da menina, quando o resto do seu braço e a maçã também desapareceriam, e desta forma as demais arestas ainda teriam as duas pernas em contato com a terra. Agora, que aparentemente, entendemos as regras, e queremos ganhar, pensar na gura 32 pode ser um pouco difícil para os principiantes, então vamos olhar para gura 33.

Na qual as arestas azuis e vermelhas estão separadas em peças que não podem interagir. Claramente a menina pertence a A, em certo sentido, e o menino a B, e os dois jogadores vão alternadamente excluir bordas de suas pessoas. Desde que a menina que tem mais bordas, A pode sobreviver mais tempo do que B, e pode, portanto, ganhar, não importa quem começa. Na verdade, uma vez que a menina tem 14 arestas (bordas) e o menino 11, o jogador A termina com pelo menos 14-11 = 3 movimentos de vantagem (reposição).

Figura 2.34: Cosme e Damião Unicolor

Na gura 34, os nossos personagens serão denominadas por nós de Cosme e Damião, pois semelhante a gemêos são muito parecidos, mas não são extamente iguais, as imagens possuem o mesmo número de arestas cada uma, de modo que A, possui 19 − 19 = 0 movimentos de vantagem. O que isto signica? Se A começa, e ambos os jogadores jogam de forma sensata, eliminando arestas de cima para baixo, os movimentos serão alternados A, B, A, B, até que cada jogador fez 19 jogadas, e será a vez de A se mover quando nenhuma aresta permanece. Então, se A começa, perde, e da mesma forma B começa, perde. Então, nesta posição inicial, ou posição zero, quem começa perde.

Figura 2.35: Cosme e Damião Multicolor

Na gura 35, trocamos algumas arestas de modo que ambos, agora, possuem algumas arestas de cada cor. Mas dado que obtivemos o novo Cosme e o novo Damião trocando exatamente uma aresta azul com uma vermelha, nenhum jogador parece ter qualquer vantagem. É a gura 35 ainda uma posição zero no mesmo sentido que quem começa é quem perde? Sim, pois o segundo jogador a mover pode copiar qualquer um dos movimentos de seu oponente, simplesmente cortando a borda correspondente do outro gêmeo. Se ele faz isso durante todo o jogo, tem a certeza de ganhar, porque ele nunca cará sem um movimento disponível. Dentro da Teoria dos Jogos combinatória, este comportamento de "copiar" o comportamento do adversário é denominada estratégia dos gemêos, de cópia ou Cosme e Damião. Portanto, apresentamos uma pequena amostra das idéias desenvolvidas em Teoria dos Jogos combinatória.

A Teoria dos Jogos Dinâmica ou Diferencial Foca na análise dos jogos em que os jogado- res devem tomar decisões ao longo do tempo e essas decisões afetam o resultado no próximo momento no tempo. Assentado-se, conforme o nome sugere, em equações diferenciais para modelar o comportamento dos jogadores ao longo do tempo. Sendo utilizada para ajudar a otimizar o comportamento dos veículos não tripulados, ou no futebol, um torpedo perseguindo um navio, um míssil de intercepção de uma aeronave, um artilheiro que protege um alvo contra um invasor, são modelos típicos de jogos diferenciais. Os jogadores fazem as suas decisões por meio da escolha dos valores de certas variáveis de controle. Estas, por sua vez, governam os valores de algumas outras quantidades chamadas variáveis de estado. E, por sua vez, estas últimas são tais que, se os seus valores são conhecidos, em qualquer instante, o estado atual do jogo é totalmente determinado deste modo. Para ser claro, vamos declarar este conceito em três formas equivalentes. As variáveis de estado devem desfrutar das propriedades :

1. Os seus valores devem ser conhecidos no início, a m de determinar a resultado de um jogo;

2. Elas são exatamente os valores que são relevantes a cada instante a um jogador na tomada de decisões sobre a forma de jogar;

3. Se um jogador teve de ser substituído durante um jogo, as informações que são necessários para retomar o jogo são apenas os valores atuais das variáveis de estado.

Os valores atuais das variáveis de estado são sempre conhecidos por ambos os jogadores; assim, trata-se apenas jogos com informações completas. Sendo essa talvez a maior limitação na teoria, especialmente no domínio da estratégia militar.

As variáveis de estado devem ser quantidades (para ambos os lados) que sejam indicativas do estado atual das coisas relevantes para o modelo selecionado, que deve necessariamente ser uma versão simplicada da realidade. Estas irão incluir itens como número de homens, aviões, tanques, navios e outras munições, possivelmente subdivididos por imputação a diferentes se- tores ou por classicação em diferentes tipos, o número de quilometros avançados por uma frente, e assim por diante. No capitulo 1 mencionamos a situação da perseguição naval, estão lembrados, ela enquadra-se bem no objeto de estudo da teoria dinâmica. Vamos generalizar denominando de jogo da perseguição onde temos o Caçador e a Presa. Assim, sejam dois indivíduos um caçador C e uma presa P, cada um deles se movendo com velocidade constante vC e vP. O caçador deseja minimizar o tempo de captura. Por outro lado, a presa tem em

vista impedir de ser alcançado, se possvel, ou, ao menos, maximizar o tempo de captura. Uma forma de avaliarmos a performance de cada um dos jogadores é estabelecermos uma função de pagamento. O jogo começando no instante digamos t = 5. Se o caçador alcança a presa em t= 16, obtém digamos uma recompensa de t = 11, se não alcança obtém uma recompensa de t = 0. De forma geral, a função de ganho pode ser indicado por Gt0(t) = t − t0. Onde, obviamente o caçador tentará minimizar e a presa maximizar. Todavia, a noção de alcançar ou capturar é vaga, para precisar, podemos denir captura por coincidência, quando estão na mesma posição, ou tambem posssível que seja, baseada em proximidade, quer dizer quando a distância entre eles seja menor que um certo valor. De qualquer maneira, observa-se que o problema envolve a maximização ou minimização de uma função, sendo este problema muito bem tratado através da análise diferencial. Por ser assunto além do escopo deste trabalho encerramos neste ponto a discussão sobre este tópico da Teoria dos Jogos, os interessados podem encontrar nas referências obras que tratam do assunto de forma mais abrangente e detalhada.

Outros Tópicos, a diversidade de aplicações da Teoria dos Jogos é impressionante, mas inegavelmente a que chama mais a atenção é a relacionada com aplicações biologicas, que seja a denominada Teoria dos Jogos Evolutiva. No capitulo 1, tivemos a oportunidade apresentar um

exemplo extraído de Darwin, antes mesmo da teoria existir formalmente, os seus argumentos já eram presentes. Duas características inovadoras distingue a teoria jogos evolutiva da teoria clássica dos jogos. Na teoria evolucionária, organismos (os jogadores) herdam, em vez de escolher suas estratégias e as recompensas determinam diretamente a dinâmica que regem mudanças temporais nas frequências de estratégia, em termos da teoria clássica, determinam as estratégias mistas. O marco fundamental da teoria evolutiva foi o livro Evolution and theory of Games publicado em 1982, por John Maynard Smith (1920-2004), biológo, professor emérito da Universidade de Sussex. Um jogo evolucionário enquadra-se dentro do domínio da evolução darwiniana. Como a teoria clássica, a teoria evolutiva tem jogadores, estratégias, conjuntos de estratégia, e retornos. Os jogadores são os organismos individuais, em qualquer nível de organização biológica que manifesta pagamentos/retornos separados e estratégias distintas. Sob o ponto de vista da herança mendeliana, genes individuais não podem ser os jogadores, porque as suas recompensas esperadas são a mesmas que a de todo o organismo. No entanto, quando se estuda as consequências evolutivas de fenômenos como a unidade da meiose, genes individuais podem ser jogadores e ter retornos "pessoais" divergentes de outros genes dentro do organismo. Da mesma forma, como simbioses (por exemplo, líquens) ou estruturas sociais (insetos sociais) podem não ser jogadores individuais, os organismos individuais podem deixar de ser jogadores separados. A relação simbiótica resultante ou supra-organismo pode se tornar o jogador que manifesta a estratégia e recebe a recompensa. Na verdade, a presença ou ausência de um objetivo individual dentro de uma rede social forte pode fornecer os melhores meios para denir e separar sistemas sociais que são altamente despótico (indivíduos retem objetivos pessoais e estratégias dentro de um contexto social) versus o eu social. Por exemplo, a busca e a exploração de recursos alimentares das formigas apoia a noção de um supra-organismo. Formigas parecem subordinar completamente quaisquer objetivos individuais para o bem do grupo. Por outro lado, a busca e a exploração de recursos alimentares das hienas demonstra agendas individuais dentro de um grupo social coeso. Com os jogos evolutivos, pode-se atribuir estratégias e pagamentos para a colônia de formigas, enquanto atribui-se estratégias e pagamentos para as hienas individualmente dentro de um bando. Dependendo das circunstâncias, os jogadores que possuem estratégias e pagamentos podem ser uma colônia de formigas, uma hiena individual ou uma célula.

Um questionamento natural é como pensar em racionalidade para seres irracionais ou mesmo para genes. Esta questão implica em uma mudança de paradigma, que nas palavras de Maynard signicam que :

"... a hipótese central da Teoria dos Jogos clássica é que os jogadores irão se comportar de forma racional, e de acordo com algum critério de auto-interesse. Tal suposição seria claramente absurda em um contexto evolutivo. Em vez disso, o critério de racionalidade é substituído pela dinâmica e estabilidade populacional, e o critério de auto-interesse pela aptidão/adaptabilidade darwiniana. "(Smith, John Maynard, Evolution and Theory of Games, 1982, Cambridge University Press, pag. 02)

Na teoria clássica dos jogos, os jogadores têm um conjunto de estratégia a partir do qual escolhem estratégias particulares. Na teoria evolutiva, espécies têm conjuntos de estratégia, que são as variantes genotípicas, dos quais os indivíduos herdam uma ou outra variante (talvez mutante), que, em seguida, utilizam (jogam) em suas interações estratégicas. Este raciocínio estende-se muito bem para o tratamento de cultura na sociedade humana. Nós dizemos que a sociedade tem a estratégia denida (o conjunto de formas culturais alternativos), e os indivíduos herdam ou escolhem entre elas. Para ilustrar as idéias apresentadas seguem exemplos extraídos da literatura :

um osso, tão mais simples (e comum em outras espécies) em vez desse complicado processo hidráulico, com sangue sendo bombeado em alta pressão? A utilidade  o objetivo de um jogador, lembra?  para os seres vivos é a propagação de seus genes. Machos em todos os contextos biológicos têm uma inclinação maior para trapacear no jogo do sexo, por uma questão de economia : óvulos são raros, espermatozóides são abundantes. Machos simplesmente não perdem nada  ou perdem muito pouco  sendo promíscuos : copulando com o maior número possível de fêmeas, eles maximizam as chances de propagar os próprios genes. O esperma gasto é rapidamente substituído. Fêmeas, ao contrário, têm muito a perder se entregarem seus preciosos óvulos para qualquer um fecundar. Perdem tempo e energia  se gerarem crias doentes, por exemplo. Perdem também a possibilidade de gerar outras crias no período da gestação. O conito de interesses é evidente no jogo do sexo. Enquanto os machos aprenderam formas mais elaboradas de propaganda enganosa  prometer e não cumprir, aparentar sem ser , as fêmeas tornaram-se progressivamente melhores na detecção dessas fraudes e reagiram utilizando sua arma mais letal : negando a cópula. Isso forçou a mudança de comportamento dos machos. Eles tiveram que se provar verdadeiramente dignos de copular com determinada fêmea. É aí que entra  sem duplo sentido  a ereção. Por meio dela, o macho está dizendo : Pode copular comigo, eu sou saudável. Não corro risco de gerar crias doentes. Machos doentes não têm ereção. É impossível trapacear nesse campo. Um pênis ácido não pode ngir estar ereto. Assim como as emoções, outro equipamento humano, mostra com clareza o que as palavras poderiam tentar esconder."(Superinteressante, edição 175, Abril de 2002, disponível em http ://super.abril.com.br/ciencia/tudo-esta-em-jogo, acessado em 24 de junho de 2016)

"Em um universo onde o aumento da desordem é uma lei física, organismos comple- xos (incluindo os seres humanos e, mais amplamente falando, organizações sociais) podem persistir somente se eles se comportam de uma forma que tende a aumentar a sua pro- babilidade de sobreviver e reproduzir-se. Assim, um argumento de seleção evolucionária sugere que os indivíduos tendem a maximizar o valor esperado de alguma medida de so- brevivência geral e aptidão reprodutiva "(Myerson, Roger B., Game Theory : Analysis of Conit, Harvard University Press, 1991)