e segunda equações em (1.5) com respeito aveu, respectivamente, segue que
a seguinte noção de função harmônica:
Definição 1.1.14 SejamΩ ⊂ Kum aberto e f : Ω → Kuma funçãoK−diferenciável em Ωdada por f(z) = a(u,v) +kb(u,v). Então dizemos que f é uma função harmônica em Ωse ela possui derivadas contínuas até a segunda ordem e satisfaz, emΩ, a equação de Laplace:
∆f := fuu+fvv=0. (1.23)
A próxima Proposição1.1.13fornece uma outra expressão para o operador de Laplace:
Proposição 1.1.13 O operador de Laplace pode ser reescrito, em termos dos operadores complexos ou para-complexos, como
Demonstração:Usando os operadores em (1.9), temos:
4∂
1.2 Noções de Superfícies de Riemann e de Lorentz
Nesta seção, trataremos de conceitos tais como métricas Riemanniana e Lorentziana, varie-dades Riemannianas e Lorentzianas e superfícies de Riemann e de Lorentz, com a finalidade de enunciar teoremas de existência de coordenadas isotérmicas complexas e para-complexas, bem como o teorema de uniformização para o caso de superfície de Riemann.
Começamos com algumas noções que podem ser encontradas em [Wei11]. Suponha queVé um espaço vetorial de dimensãonsobreR. Uma forma bilinear simétricaβ:V×V→Ré
(i) positiva (respectivamente, negativa) definida se, e só se,w~ ,~0 implicaβ ~w, ~w>0 (respec-tivamente,β ~w, ~w<0), para todow~ ∈V,
(ii) não-degenerada se, e só se,β ~w,~z=0, para todo~z∈Vimplica quew~ =~0, (iii) indefinida se, e só se, existemw,~~ z∈Vcomβ ~w, ~w>0 eβ ~z,~z<0.
Uma forma bilinear simétrica não-degenerada é dita um produto escalar. Para um produto escalar indefinido convém definir o seguinte:
Definição 1.2.1 (Caráter ou Tipo Causal) Sejaβum produto escalar indefinido em V. Um vetorw~ ∈V não nulo é de
(i) tipo espaço seβ ~w, ~w>0;
(ii) tipo tempo seβ ~w, ~w<0;
(iii) tipo luz seβ ~w, ~w=0.
Observação 1.2.1 O vetor nulo~0é considerado ser de tipo espaço.
Antes de introduzir o conceito de métrica, é necessário definir superfícies abstratas e variedades diferenciáveis, com base em [CL18]:
Definição 1.2.2 (Superfície abstrata) Uma superfície abstrata é um conjunto M munido de uma coleção U ={xα : Uα ⊆R2 → xα(Uα) ⊆ M | α∈ A} de parametrizações abstratas (ou seja, aplicações injetoras definidas em abertos deR2) satisfazendo as seguintes condições:
(i) S
α∈Axα(Uα)=M;
(ii) Dadosα, β∈A,x−β1◦xαé uma aplicação de classeCkentre abertosR2(no domínio adequado), sempre que xα(Uα)∩xβ
Uβ ,∅;
(iii) U é maximal em relação a (ii), isto é, se y : V → y(V) ⊆ M é uma parametrização abstrata satisfazendo(ii), então y∈ U.
A coleçãoU é chamada um atlas (maximal) de M.
Observação 1.2.2 Sendo U um aberto deRnem vez deR2, temos o que se chama de variedade diferenciável de dimensão n e classeCk.
Uma métricagem uma variedadeMn-dimensionalC∞atribui um produto escalarβ= gpem TpM, para todop ∈M, de modo que gW~, ~Z
(p) =gpW~p, ~Zp
define uma funçãoC∞emM, para todo parW, ~~ Zde campos de vetores emM. Dizemos que uma métricagé
(i) positiva (respectivamente, negativa) definida se, e só se, gp é positiva (respectivamente, negativa) definida, para todop∈M;
(ii) indefinida se, e só se,gpé indefinida, para todop∈M.
Definição 1.2.3 Uma métrica g em M é dita Riemanniana se é positiva definida e Lorentziana se toda base ortonormal de TpM contém exatamente um vetor tipo tempo, para todo p∈M.
Definição 1.2.4 Uma variedade M com uma métrica Riemanniana (respectivamente, Lorentziana) g é dita uma variedade Riemanniana (respectivamente, Lorentziana).
As definições de superfícies de Riemann e de Lorentz são mais abstratas do que as definições de variedades Riemanniana e Lorentziana, porém são usadas para conferir um certo rigor ao introduzir parâmetros isotérmicos e para verificar a validade de Teoremas de Uniformização.
Dizemos que duas métricasge ˜gsão conformemente equivalentes se existe uma funçãoλ2>0 de classeC1tal que g=λ2g. Neste caso, denotamos˜ g∼g. Fazendo uso desse conceito, podemos˜ definir superfícies de Riemann e de Lorentz como:
Definição 1.2.5 (Superfície de Riemann) Uma superfície orientada S munida com o conjunto [g] de todas as métricas conformemente equivalentes a uma métrica Riemanniana g fixa em S é dita uma superfície de Riemann.
Definição 1.2.6 (Superfície de Lorentz) Uma superfície orientada S munida com o conjunto[h]de todas as métricas conformemente equivalentes a uma métrica Lorentziana h fixa em S é dita uma superfície de Lorentz.
No caso de uma superfície de Riemann, temos o Teorema1.2.1 de existência de parâmetros isotérmicos cuja demonstração encontra-se na página 317 da referência [Spi99].
Teorema 1.2.1 (Existência de parâmetros isotérmicos em uma superfície de Riemann) Seja uma métrica Riemanniana h·,·i em uma vizinhança V de 0 ∈ R2 cujas componentes gi j com respeito ao sis-tema de coordenadas usual emR2são reais analíticas. Então existe um sistema de coordenadas isotérmicas parah·,·iem uma vizinhança de0.
Por outro lado, no caso de uma superfície de Lorentz, a construção de parâmetros isotérmicos é um pouco diferente. Primeiro, [Wei11] prova o Lema1.2.1, que garante a existência de coordenadas nulas e, a partir delas, introduz parâmetros isotérmicos.
Definição 1.2.7 Sejam S uma superfície tipo tempo emL3 com uma métrica lorentziana h e p ∈ S um ponto qualquer. Dizemos que as coordenadas locais x,y são coordenadas nulas próprias definidas em torno de p se
* ∂
∂x, ∂
∂x +
L
=0e
* ∂
∂y, ∂
∂y +
L
=0, com ∂
∂x e ∂
∂y campos vetoriais não nulos e a métrica, em termos dessas coordernadas, se escreve como h=2Bdxdy, para alguma função B>0.
Lema 1.2.1 Sejam S uma superfície tipo tempo emL3 com uma métrica lorentziana h e p∈ S um ponto qualquer. Então, existem coordenadas nulas próprias x,y definidas em torno de p tais que, em termos dessas coordenadas, a métrica lorentziana se escreve como h=2Bdxdy, para alguma função B>0.
O seguinte Teorema 1.2.2 resolve o problema de introduzir parâmetros isotérmicos para-complexos em uma superfície de Lorentz. No entanto, [Wei11] o propõe na forma de exercício que, a propósito, é resolvido por [CO18].
Teorema 1.2.2 (Existência de parâmetros isotérmicos em uma superfície de Lorentz) Sejam uma superfície S com uma métrica lorentziana h e p ∈ S um ponto qualquer. Então existem coordenadas isotérmicas para-complexas u,v tais que, em termos dessas coordenadas, h é conformemente equivalente a du2−dv2
.
Demonstração:Definau:=x+yev:=x−y. Com isso, du:=dx+dye dv:=dx−dy. Daí, dxdy=du+dv
2
du−dv 2
= 1 4
du2−dv2 . Portanto, utilizando o Lema1.2.1, segue queh=2Bdxdy= 1
2B
du2−dv2
, para alguma função B>0.
O Teorema de Uniformização1.2.3a seguir, cuja demonstração encontra-se em [Ber58] a partir da página 143, será necessário na demonstração do Teorema2.1.2de Representação de Enneper para os casos de uma superfície mínima euclidiana e de uma superfície máxima lorentziana. Antes, convém mencionar que uma esfera de Riemann é uma esfera euclidiana unitária, isto é, o conjunto dos pontos x ∈ E3 tais que|x| = 1, com a estrutura conforme definida por um par de aplicações F1:x= 2u1
|w|2+1, 2u2
|w|2+1,|w|2−1
|w|2+1
!
,w=u1+iu2eF2 :x= 2 ˜u1
|w˜|2+1, −2 ˜u2
|w˜|2+1,1− |w˜|2
|w˜|2+1
!
, ˜w=u˜1+iu˜2. A aplicaçãoF1é dita projeção estereográfica do ponto (0,0,1) e sua imagem é a esfera inteira menos este ponto. A aplicaçãoF−11é dada explicitamente porF−11:w= x1+ix2
1−x3 eF−11◦F2é simplesmente w=1/w, uma aplicação conforme de 0˜ <|w˜|<∞em 0<|w|<∞, ver [Oss13].
Teorema 1.2.3 (Uniformização)Toda superfície de Riemann simplesmente conexa é conformemente equi-valente a um disco unitário, ao plano complexo ou à esfera de Riemann.
Observação 1.2.3 Apesar de toda superfície de Lorentz simplesmente conexa ser difeomorfa ao plano, existem infinitas superfícies de Lorentz simplesmente conexas e conformemente distintas, ver a referência [Wei11].