Pode-se definir brevemente o M´etodo de Elementos Finitos Generalizados como uma estrat´egia de ampliar o espa¸co de solu¸c˜ao do MEF atrav´es da adi¸c˜ao de fun¸c˜oes especiais `a base de aproxima¸c˜ao convencional, definida como uma parti¸c˜ao da unidade, possibilitando a insers˜ao de qualquer informa¸c˜ao que reflita o conhecimento pr´evio da forma da solu¸c˜ao do PVC como, por exemplo, fun¸c˜oes singulares obtidas de expans˜oes assint´oticas locais da solu¸c˜ao exata nas vizinhan¸cas de um ponto, etc. Com isso, o poder de aproxima¸c˜ao proporcionado pelas fun¸c˜oes de enriquecimento ´e inclu´ıdo no espa¸co de fun¸c˜oes gerado pelo m´etodo, apesar de manter a infra-estrutura b´asica dos c´odigos de elementos finitos, o que consiste numa grande vantagem.
Um PVC, conforme Oden e Reddy (1976), pode ser enunciado da seguinte forma: encontrar u ∈ H tal que
Au = f em Ω
Bku = gk sobre ∂Ω, com 0 ≤ k ≤ m − 1
(3.1)
em que H ´e um espa¸co de Hilbert, Ω ´e um sub-conjunto aberto em Rn, de contorno suave ∂Ω, A ´e um operador linear diferencial de ordem 2m, {Bk}m−1k=0 s˜ao operadores lineares
diferenciais sobre o contorno, enquanto que f e gk s˜ao fun¸c˜oes prescritas.
A solu¸c˜ao aproximada do PVC deve ser procurada em sub-espa¸cos X de dimens˜ao finita, de tal maneira que se tenha X ⊂ H quando se usa o procedimento de Galerkin (Oden e Reddy, 1976). Assim, o m´erito de um m´etodo num´erico se deve `a qualidade do sub-espa¸co X gerado.
Para tanto, o dom´ınio em an´alise Ω ´e discretizado por um conjunto de pontos nodais indicado por Qnnos = {x1, x2, . . . , xnnos}, xj ∈ Ω. Para delimitar a regi˜ao de influˆencia de
cada n´o xj define-se o suporte ou vizinhan¸ca como nuvem nodal, designada por wj. No
ˆ
ambito dos m´etodos sem malha, a nuvem ´e formada, em essˆencia, pelos pontos do espa¸co no qual se situa o dom´ınio, cuja distˆancia ao n´o ´e definida como sendo igual ou inferior a um dado raio rj, que ´e a medida de referˆencia. Em suma, escreve-se
ωj =
n
x ∈ Rn : kx − xjkRn ≤ rj
o
(3.2) onde x ∈ Rn indica um ponto qualquer do espa¸co Rn. A distribui¸c˜ao de pontos e nuvens
3.2 No¸c˜ao de aproxima¸c˜ao local da solu¸c˜ao 23
´e tal que a uni˜ao de todas as nuvens resultar´a na regi˜ao χnnos que dever´a conter o dom´ınio
Ω e seu contorno Γ, regi˜ao esta caracterizada como
χnnos =
nnos
[
j=1
ωj, χnnos ⊃ Ω (3.3)
sendo que Ω inclui o interior e o contorno da regi˜ao Ω.
Por exemplo, sob a ´otica do MEF, uma aproxima¸c˜aou(x) para o campo de desloca-e mentos u(x) pode ser escrita na forma:
e
u(x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) + · · · + αiϕi(x) + · · · + αnϕn(x) (3.4)
onde ϕi(x), com i = 1, · · · , n s˜ao denominadas fun¸c˜oes de forma e devem ter regularidade
suficiente para que as integrais presentes na forma fraca do problema possam existir. Ainda, outra importante caracter´ıstica ´e que, geralmente, as fun¸c˜oes de forma tˆem valor unit´ario no n´o correspondente e nulo nos outros n´os, de forma que as constantes αi
coincidam com valores discretos da fun¸c˜ao eu(x) nos pontos nodais.
Como mencionado anteriormente, pela considera¸c˜ao de que as nuvens nodais podem ser consideradas como sendo os conjuntos de elementos finitos adjacentes aos pontos nodais xj, no MEFG as fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao t´ıpicas do MEF passam a ser interpretadas como
PU. Assim, o enriquecimento `a maneira do M´etodo de Nuvens hp permite que esse espa¸co seja ampliado pela multiplica¸c˜ao da fun¸c˜ao base de cada n´o xj por um novo conjunto de
fun¸c˜oes de enriquecimento linearmente independentes.
Os crit´erios que definem uma parti¸c˜ao da unidade s˜ao bastante restritivos e, por isso, s˜ao relaxados nas interpreta¸c˜oes realizadas para o M´etodo de Nuvens, o MEFG e o MEF. ´
E importante ressaltar que uma fun¸c˜ao C0p(Ω) ´e cont´ınua at´e a ordem p no interior de Ω e ter´a derivadas nulas de ordem 0 at´e p no contorno de Ω, caracter´ıstica esta que garantir´a que a fun¸c˜ao resultante da combina¸c˜ao da PU para um conjunto de nuvens ter´a continuidade Cp.
Em problemas bidimensionais, por exemplo, pode-se considerar como PU as fun¸c˜oes de forma lagrangeanas bilineares, que apresentam apenas a continuidade C0
0(ωj). Al´em
disso, neste caso, as primeiras derivadas com rela¸c˜ao `as dire¸c˜oes coordenadas x e y n˜ao se anulam em todos os pontos do contorno da nuvem de um n´o, al´em de n˜ao serem cont´ınuas nas interfaces interelementos no interior da referida nuvem. Assim, tamb´em est´a claro que se para uma ordem q < p, a derivada de ordem q da fun¸c˜ao PU for n˜ao nula no contorno da
nuvem, a fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao resultante da combina¸c˜ao de duas ou mais nuvens ter´a sua derivada de ordem q descont´ınua. Ainda, as fun¸c˜oes lagrangeanas de ordem superior podem inclusive assumir valores negativos em regi˜oes do suporte, contrariando o terceiro crit´erio (Barros, 2002).
Ao seu m´erito, a ´ultima dentre aquelas propriedades (p´ag. 21) ´e, na verdade, uma garantia de que todo o dom´ınio seja aproximado. No MEF e MEFG, a discretiza¸c˜ao em elementos finitos cobre todo o dom´ınio, assegurando a verifica¸c˜ao desta propriedade. J´a no M´etodo das Nuvens e MGLE ocorre uma sobreposi¸c˜ao das nuvens, que deve ser tal que a cobertura formada n˜ao deixe pontos do dom´ınio sem pertencer a nenhuma nuvem. Para ilustra¸c˜ao, consideremos uma fun¸c˜ao u definida no dom´ınio Ω ∈ R (Figura 1). Construi-se uma cobertura aberta TN do dom´ınio Ω consistindo de N suportes ωj (nuvens)
com centros em xj , j = 1, 2, . . . , N , onde N ´e igual ao n´umero de n´os
TN = n ωj oN j=1 Ω ⊂ N [ j=1 ωj (3.5) Seja uei
j uma aproxima¸c˜ao local de u que pertence a um espa¸co local Xj(ωj) definido
no suporte ωj, tal que Xj(ωj) = span{Lij}i∈(j), onde (j), j = 1, 2, . . . , N , ´e um conjunto
de ´ındices que fazem referˆencia ao n´umero de fun¸c˜oes de enriquecimento para cada n´o, e Lij denota uma fun¸c˜ao de enriquecimento i associada ao n´o xj.
Figura 1: Fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao local da solu¸c˜ao.
A proposta b´asica do MEFG ´e que cada espa¸co Xj(ωj), j = 1, 2, . . . , N , possa ser