a) Desenhe setas que representem os vectores ?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä @ ? ?, e ? ? ?. b) Por que razão a notação Ä Ä Ä? ? ? poderia ser ambígua e por que razão ela não o é?
c) O que serão os vectores EG GF EG FGÄ Ä e Ä Ä?
Se resolveu o exercício anterior então já descobriu a regra prática para determinar gráficamente a soma de dois vectores: Parte-se dum ponto arbitrário E do espaço, desenha-se, com a origem nesse ponto, uma seta representando um dos dois vectores e desenha-se em seguida uma seta representando o outro vector, com a origem na extremidade da primeira seta; o vector soma pode serF representado por uma seta com origem no ponto de partida e com extremidadeE na extremidade da segunda seta.G
Figura 33 Dito de outro modo:
P 30. Dados três pontos , e , tem-se sempreE F G EF FG œ EGÄ Ä Ä.
O facto de se utilizar o sinal para a composição de translações conduz a que seja conveniente uma notação a condizer para a transformação identidade. Uma vez que se trata da translação que somada com qualquer outra tem essa outra como resultado, é natural dar-lhe também o nome de vector zero, e notá-la
! +
Ä
(qual é o nome que damos ao número que, somado com qualquer número dá +?). O vector é assim a translação que transforma cada ponto nele mesmo, ouÄ! seja, podemos escrever, para cada ponto , E ! œ EEÄ Ä. A translação inversa de uma dada translação também merece um nome especial quando estamos aÄ? utilizar a notação vectorial: uma vez que se trata do vector que somado com dáÄ? a tranformação identidade, ou seja, o vector , é natural chamar-lhe o Ä! vector simétrico de e representá-lo por Ä? ?Ä (se é um número, que nome damos ao+ número que somado com dá o número ?). Repare-se que a interpretação de+ ! ?Ä como translação inversa de , mostra que, se Ä? Ä? œ EFÄ, então ? œ FEÄ Ä, em particular, se representarmos graficamente o vector por uma seta, o vector Ä? ?Ä pode ser representado pela seta que se obtém trocando a origem com a extremi- dade.
Destacamos a seguir algumas das propriedades fundamentais da adição de vectores que temos estado a referir:
P 31. (Propriedades da adição de vectores)
a) Ä? Ð@ AÑ œ Ð? @ Ñ AÄ Ä Ä Ä Ä (propriedade associativa) .19 b) Ä Ä? @ œ @ ?Ä Ä (propriedade comutativa).
c) Ä? ! œ ? !Ä Ä ( é elemento neutro).Ä
d) Ä? Ð? Ñ œ !Ä Ä (o vector tem simétrico Ä? ? ÑÄ.
As propriedades precedentes exprimem o facto de os vectores (translações) do espaço constituirem um grupo comutativo.
Apesar de a intuição geométrica, que nos conduziu à noção de vector, ser algo de extremamente fecundo e que nunca devemos abandonar, é útil reparar que há propriedades dos vectores que podemos deduzir utilizando apenas as que atrás foram referidas, sem termos que nos lembrar do que são de facto os vectores. Neste momento damos apenas um exemplo:
P 32. Dados dois vectores e , existe um único vector tal queÄ Ä? @ ÄB
? B œ @ B
Ä Ä Ä, a saber o vector Ä Äœ @ Ð? Ñ. Por razões que se prevêmÄ facilmente, para esta solução única da equação ? B œ @Ä Ä Ä é usada a
notação :Ä Ä@ ?
@ ? œ @ Ð? Ñ
Ä Ä Ä Ä .
Comecemos por justificar que não pode haver mais que uma solução para a equação, e fazemo-lo mostrando que, se Ä Ä? B œ @Ä, então Ä ÄB œ @ Ð? ÑÄ. Para isso, reparamos que, a partir da hipótese Ä Ä? B œ @Ä, podemos inferir
? B Ð? Ñ œ @ Ð? Ñ
Ä Ä Ä Ä Ä ,
donde, utilizando as propriedades comutativa e associativa, ? Ð? Ñ B œ @ Ð? Ñ Ä Ä Ä Ä Ä ! B œ @ Ð? Ñ Ä Ä Ä Ä B œ @ Ð? Ñ Ä Ä Ä .
O leitor mais desatento, poderia pensar que a demonstração estava terminada. Repare-se que isso não é assim. O que nós provámos é, que, se houvesse solução, ela teria que ser Ä@ Ð? ÑÄ; poderia acontecer que não houvesse solução… É claro que o que falta é muito fácil de estabelecer: Já sabemos qual é o candidato a solução e tudo o que temos que verificar é que se tem, de facto
? Ð@ Ð? ÑÑ œ ? Ð? Ñ @ œ ! @ œ @
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä.
Na prática, quando queremos determinar a diferença Ä Ä@ ? de dois vectores tanto podemos utilizar o resultado que nos diz que essa diferença pode ser obtida somando com Ä@ ?Ä como determinar, por exemplo por um método gráfico, um vector que somado com dê .Ä? Ä@
Exercício 33. Partindo dos vectores Ä Ä? e @ na figura 33, na página 45, determine graficamente, de dois modos distintos uma seta que represente o vector ß Ä Ä@ ? Þ Exercício 34. Justifique, utilizando as propriedades da soma de vectores, a seguinte propriedade geométrica: Dados quatro pontos , , e tais queE F Ew Fw EE œ FFÄw Äw, tem-se também EF œ E F ÞÄ Äw w
Fazendo uma figura, descubra qual o significado geométrico da propriedade precedente.20
Sugestão: Escreva o vector EFÄw de duas maneiras diferentes como soma de dois vectores.
Para o comprimento de um vector também é usual utilizar a seguinte notação: Usamos a notação m? mÄ para designar o comprimento do vector ,Ä? comprimento esse a que se dá também o nome de norma de .Ä?
Há outra coisa muito importante que se pode fazer com os vectores, além de os somar ou subtrair, e de determinar os respectivos simétricos. Trata-se da multiplicação de um vector por um número real. Consideremos então um vector
? + + ?
Ä e um número real e expliquemos o que é o vector Ä.
É cómodo começar por examinar o caso em que é o vector . Nesse caso,Ä? Ä! qualquer que seja o número real definimos + + ! œ !Ä Ä. Do mesmo modo, quando + é o número real , definimos, para cada vector , ! Ä Ä? ! ? œ !Ä.
A partir de agora supomos que Ä? Á !Ä, de modo que faça sentido pensar na direcção do vector . Quando Ä? + !, o vector + ?Ä é, por definição, um vector com a mesma direcção e sentido que mas com um comprimento igual aoÄ? comprimento de multiplicado por . Em termos de translação, o vector Ä? + + ?Ä transforma um ponto num ponto E Eww obtido do seguinte modo: Considera-se o ponto obtido por transformação de a partir de ; o ponto Ew E Ä? Eww está na recta EEw, para o mesmo lado que relativamente a e a uma distância de igual àEw E E distância de a multiplicada por (na figura a seguir ilustramos o caso emE Ew +
20A vantagem da justificação algébrica é que ela não necessita de tratar separadamente
certos casos particulares, como aquele em que todos os pontos estão sobre uma mesma recta.
que ).+ œ $ #
Figura 34
Se quisermos ser cuidadosos, temos que nos assegurar de que a definição do produto + ?Ä apresentada anteriormente não depende do ponto utilizado. O queE temos que explicar é a razão por que, se partíssemos doutro ponto ,F transformado em por meio do vector e se construíssemos o ponto Fw Ä? , Fww do mesmo modo que o ponto Eww foi construído, então o vector que transforma emE Eww é o mesmo que transforma em F Fww. Se pensarmos no que está em jogo, concluímos facilmente que esse facto é uma consequência simples da proprie- dade 27, enunciada na página 41.
A definição do produto + ?Ä, no caso em que + ! é análoga, a diferença estando em que o sentido do vector vem trocado e o comprimento deste vem multiplicado por (na figura a seguir ilustramos o caso em que l+l + œ "#)
Figura 35
Retomando as propriedades utilizadas na definição do produto de um vector por um número real, podemos dizer
P 33. Quaisquer que sejam o vector ?Ä e o número real , tem-se+ m+ ? m œ l+lm? mÄ Ä .
Exercício 35. Na figura seguinte , e são os vértices dum triângulo e é oE F G Q