Nessa seção, discutimos um parâmetro de permutações associado a um tipo particular de de- composição em ciclos. Os resultados e definições enunciados nessa seção encontram-se no trabalho de Meidanis e Dias [39], exceto pela introdução dos conceitos de “máximo divisor co- mum” entre permutações e “permutações primas” que são contribuições desse trabalho. Esses novos conceitos são prescindíveis no atual estágio de desenvolvimento do formalismo algé- brico, mas acreditamos que possam colaborar para a simplificação de notação a medida que o formalismo seja estendido.
3.3. Norma e Divisibilidade 41
Uma decomposição em k-ciclos de uma permutação π sobre E é uma representação de π como um produto de k-ciclos, não necessariamente disjuntos. Decomposições em 2-ciclos e em 3-ciclos têm um papel importante na busca de limitantes inferiores para distâncias de rearranjo no formalismo algébrico.
Lema 30. Toda permutação emS(E) possui uma decomposição em 2-ciclos.
Prova: Como qualquer permutação pode ser representada por um produto de ciclos disjuntos segundo a Proposição 27, iremos encontrar uma decomposição em 2-ciclos de um ciclo e uma permutação arbitrária pode ser composta pelas decomposições em 2-ciclos de seus ciclos. O ciclo (a1a2 . . . ar) pode ser reescrito como
(a1a2 . . . ar) = (a1ar)(a1ar−1) . . . (a1a3)(a1a2).
2 Há diversas maneiras de escrever uma permutação como um produto de 2-ciclos (veja o Exemplo 31). Uma decomposição em 2-ciclos mínima de uma permutação π sobre E contém o número mínimo de 2-ciclos cujo produto é π. Esse número mínimo de 2-ciclos é chamado de normade π e ele é denotado por kπk. Por exemplo, temos kιk = 0 e a norma de um 2-ciclo é 1. Exemplo 31. A permutaçãoπ = (7 2 8 1)(3 5 10)(6 4 9) sobre o conjunto E ={x ∈ Z | 1 ≤ x≤ 10} possui pelo menos duas representações distintas como produto de 2-ciclos:
(3 2)(7 2)(2 8)(8 1)(7 5)(3 7)(5 10)(6 4)(4 9) e
(7 1)(7 8)(7 2)(3 10)(3 5)(6 9)(6 4). Podemos deduzir dessas decomposições em 2-ciclos que kπk ≤ 7. Seguem algumas propriedades envolvendo a norma de permutações. Proposição 32. Para quaisquer permutaçõesα e β sobre E, temos:
1. kαk = 0 se e somente se α = ι 2. kα−1k = kαk
3. kβ · αk = kαk 4. kαβk ≤ kαk + kβk 5. kαβk = kβαk
Seja o(π, E) o número de órbitas da permutação π sobre E. Quando o conjunto E é conhe- cido pelo contexto, iremos chamá-lo apenas de o(π). Do mesmo modo, denotamos por no(π) o número de órbitas não triviais de π sobre E. O número de órbitas de tamanho par e o número de órbitas de tamanho ímpar de uma permutação π são respectivamente denotados por oeven(π) e oodd(π). Observe que a cardinalidade da decomposição em ciclos disjuntos da permutação π é no(π). Por exemplo, se π = (7 2 8 1)(3 5 10)(6 4 9) e E = {x ∈ Z | 1 ≤ x ≤ 12}, então o(π) = 5 e no(π) = 3.
O produto envolvendo um 2-ciclo (a b) e uma permutação β “separa” em órbitas distintas os elementos a e b. Meidanis e Dias [39] apresentam esse resultado sem demonstrá-lo. Fornecemos uma demonstração para esse resultado no Lema 33.
Lema 33. Dado um2-ciclo α = (a b) e uma permutação β ambos sobre E, temos b∈ orb(β, a) se e somente se
1. b 6∈ orb(αβ, a) e 2. b 6∈ orb(βα, a). Prova:
1. Se b ∈ orb(β, a) então b = βka para 0 < k < |orb(β, a)|. Como α é um 2-ciclo então αx = x para x 6= a e x 6= b em E. De b = βka obtemos β−1b = βk−1a. Fazendo as substituições adequadas
αββk−1a = αββ−1b = αb = a,
obtemos αββk−1a = a. Como βj+1a 6= a e βj+1a 6= b para 0 ≤ j ≤ k − 2 então αββja = βj+1a para 0≤ j ≤ k − 2. Logo os elementos βja para 0≤ j ≤ k − 1 e apenas esses elementos pertencem a uma mesma órbita em αβ. Portanto, se b ∈ orb(β, a) então b6∈ orb(αβ, a).
Por outro lado, suponha que temos b 6∈ orb(αβ, a). Temos ααβ = β pois α é um 2-ciclo. Além disso, substituindo adequadamente em
ααβ(αβ)−1a = αa = b, ou seja, colocando em outros termos, obtemos β(αβ)−1a = b.
Como ααβ = β então (ααβ)ka = βka para 0≤ k ≤ |orb(αβ, a)| − 1. Como (αβ)−1a = (αβ)ma para m = |orb(αβ, a)| − 1, então (αβ)−1a ∈ orb(β, a). Como β(αβ)−1a = b então b ∈ orb(β, a). Portanto, se b 6∈ orb(αβ, a) então b ∈ orb(β, a).
3.3. Norma e Divisibilidade 43
2. Se b ∈ orb(β, a) então a ∈ orb(β, b) e a = βkb para 0 < k <|orb(β, b)|. Como αa = b, αb = a e αx = x para x6= a e x 6= b então βαb = βa, βαa = βb e βαx = βx para x 6= a e x 6= b em E. De βj+1b6= a e βj+1b6= b para 0 ≤ j ≤ k − 2 obtemos βαβj+1b = βj+2b para 0 ≤ j ≤ k − 2. Como βαa = βb, βkb = a e βαβj+1b6= b para 0 ≤ j ≤ k − 2 então apenas os elementos βj+1b para 0≤ j ≤ k − 2 pertencem à órbita que contém a em βα e portanto b 6∈ orb(βα, a).
Por outro lado, se b 6∈ orb(βα, a), então de maneira semelhante ao item anterior, obtemos b∈ orb(β, a).
Portanto temos b ∈ orb(β, a) se e somente se b 6∈ orb(αβ, a) e b 6∈ orb(βα, a). 2 O valor da norma de uma permutação pode ser obtido por meio do tamanho do conjunto E e do número de órbitas da permutação. A Proposição 34 demonstrada por Meidanis e Dias [39] estabelece uma fórmula para se obter a norma de uma permutação sem ser necessário obter sua decomposição em 2-ciclos.
Proposição 34. Dada uma permutaçãoπ sobre E, temoskπk = |E| − o(π).
A norma do produto envolvendo duas permutações disjuntas é igual a soma das normas das permutações.
Proposição 35. Dadas duas permutaçõesα e β disjuntas sobre E temoskαβk = kαk + kβk. Uma permutação α divide uma permutação β, o que é denotado por α|β, quando kβα−1k = kβk − kαk. Dizemos também que α é um divisor de β.
Exemplo 36. Considere as seguintes permutações sobreE ={x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 7}: π = (1 6 4)(3 5 2)(0 7)
σ = (1 5 3)(0 2 6 4 7)
Um exemplo de decomposições em 2-ciclos mínimas dessas permutações são: π = (1 6 4)(3 5 2)(0 7) = (1 6)(6 4)(3 5)(5 2)(0 7)
σ = (1 5 3)(0 2 6 4 7) = (1 5)(5 3)(0 2)(2 6)(6 4)(4 7)
Além disso, dadas as permutações φ = (1 3) e θ = (6 7 0) sobre E, temos φ|σ, mas φ ∤ π. Temos ainda θ|σ, mas θ ∤ π.
Meidanis e Dias [39] que a relação de divisibilidade é uma relação de ordem, isto é, uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva.
1. α|α
2. se α|β e β|α, então α = β 3. se α|β e β|γ, então α|γ
A divisibilidade entre permutações tem uma característica semelhante à divisibilidade no conjunto dos números inteiros. Em ambos os conceitos existe a idéia de que o divisor “compõe” de algum modo o dividendo. Enquanto no caso de números inteiros o divisor é um fator em um produto de inteiros; no caso das permutações o divisor é uma permutação que compartilha algumas propriedades com o dividendo como a distribuição e ordem dos elementos entre as órbitas em ambas as permutações. Por exemplo, dada a permutação β = (a d b e c)(f g h) sobre E = {a, b, c, d, e, f, g, h} a permutação α = (a b c)(f g) sobre E é um divisor de β. A Proposição 38 lista algumas propriedades ajudam a determinar se uma permutação é um divisor de outra permutação.
Proposição 38. Para quaisquer permutaçõesα, β e γ sobre E, temos: 1. ι|α,
2. α|β se e somente se α−1|β−1, 3. α|β se e somente se γ · α|γ · β,
A divisibilidade entre duas permutações e o número de órbitas das duas se relacionam se- gundo a fórmula apresentada no Lema 39. O Lema 39 é importante pois oferece uma fórmula para a variação do número de órbitas do produto envolvento uma permutação e seu divisor em relação ao número de órbitas da permutação.
Lema 39. Dadas as permutaçõesα e β sobre E, se α|β então o(βα−1) = o(β) +kαk. Prova: Seα|β então
o(βα−1) =|E| − kβα−1k = |E| − (kβk − kαk) = |E| − (|E| − o(β)) + kαk = o(β) + kαk. Logo o(βα−1) = o(β) +kαk.
2 O ciclo α é um ciclo da permutação β, para α e β sobre E, quando α|β e não existe um ciclo γ distinto de α e β tal que α|γ e γ|β. Por exemplo, a permutação (3 5 2) é um ciclo de (1 6 4)(3 5 2)(0 7).
Dadas as permutações α e β sobre E, o máximo divisor comum de α e β, denotado por gcd(α, β), é o conjunto das permutações de maior norma que dividam α e β.
Exemplo 40. Considere as permutaçõesα = (1 5 3 6 4 2) e β = (1 4 5 3 6 2) sobre E ={x ∈ Z| 1 ≤ x ≤ 6}. O conjunto máximo divisor comum de α e β é gcd(α, β) = {(1 5 3 6 2)}.