(Norma Triangular): Uma norma triangular (t-norma) é um operador binário

𝑇 : [0, 1]2 _{→ [0, 1] que satisfaz}

1. Comutatividade: 𝑇 (𝑥, 𝑦) = 𝑇 (𝑦, 𝑥);

2. Associatividade: 𝑇 (𝑥, 𝑇 (𝑦, 𝑧)) = 𝑇 (𝑇 (𝑥, 𝑦), 𝑧);

3. Monotonicidade: Se 𝑥 ≤ 𝑧 e 𝑦 ≤ 𝑤 então 𝑇 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑇 (𝑧, 𝑤);

4. Elemento Neutro: 𝑇 (𝑥, 1) = 𝑥.

O axioma do elemento neutro também é conhecido como condição de fronteira, e este axioma é o que torna a interseção fuzzy compatível com a interseção clássica

14 Capítulo 2. Preliminares

A seguir é apresentado um conjunto de t-normas, muito presente na literatura

(KLEMENT, 2000;CALVO,2002; ALSINA,2006).

Exemplo 2.5

As seguintes funções são t-normas em [0, 1]

∙ Minimo 𝑇M(𝑎, 𝑏) = min(𝑎, 𝑏), ∙ Produto 𝑇P(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏, ∙ Lukasiewicz 𝑇L(𝑎, 𝑏) = max(0, 𝑎 + 𝑏 − 1),

∙ Fraca (Drastic Product)

𝑇D(𝑎, 𝑏) = ⎧ ⎨ ⎩ min(𝑎, 𝑏) se max(𝑎, 𝑏) = 1, 0 caso contrário. ∙ Einstein Product 𝑇E(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 2 − (𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏) ∙ Hamacher 𝑇H(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏

É possível estabelecer uma ordem entre as t-normas. Sejam 𝑇 e 𝑇′ duas t-normas quaisquer então

𝑇 ≤ 𝑇′ se para todo 𝑎, 𝑏 ∈ [0, 1], 𝑇 (𝑎, 𝑏) ≤ 𝑇′(𝑎, 𝑏).

Dessa forma, denota-se que 𝑇 é mais fraca que 𝑇′, ou de forma similar, que 𝑇′ é mais forte que 𝑇 . A 𝑇D é a t-norma mais fraca e 𝑇M é a t-norma mais forte. Portanto, para qualquer

t-norma 𝑇 a desigualdade 𝑇D ≤ 𝑇 ≤ 𝑇M vale. Além disso,

𝑇D ≤ 𝑇L ≤ 𝑇E≤ 𝑇P≤ 𝑇H ≤ 𝑇M.

A definição de união fuzzy, ou seja, uma função que calcula a união de conjuntos fuzzy e modela uma disjunção segue um padrão similar que uma interseção fuzzy. Essas funções são conhecidas como t-conormas, e são operações duais às t-normas. As mesmas propriedades consideradas para t-normas também valem, com a exceção para o elemento neutro. No caso da união, o elemento neutro é 0.

2.5. Relações Fuzzy 15

Definição 2.9: Uma conorma triangular (t-conorma) é um operador binário 𝑆 : [0, 1]2 _→

[0, 1] que satisfaz a monotonicidade, comutatividade, associatividade, e tem 0 como elemento neutro.

t-conormas são obtidas pela dualidade com respeito à negação fuzzy, ¬𝑎 = 1 − 𝑎. Dada uma t-norma T, 𝑆(𝑎, 𝑏) = ¬𝑇 (¬𝑎, ¬𝑏) é a t-conorma dual de 𝑇 .

2.5

Relações Fuzzy

A noção de relação possui um papel relevante em vários campos da matemática e, é importante para análise, compreensão e modelagem de muitos fenômenos do mundo real (BARROS; BASSANEZI,2010). Relações clássicas não conseguem expressar níveis intermediários de relacionamento entre dois objetos. Desse modo, a teoria fuzzy (ZADEH,

1978) é uma alternativa, pois permite estabelecer uma relação entre objetos com diferentes graus de pertinência.

Relembramos que uma relação é um conjunto formado pelo produto cartesiano de dois conjuntos. Uma relação fuzzy entre os conjuntos clássicos 𝐴 e 𝐵 é qualquer conjunto fuzzy sobre o universo 𝐴 × 𝐵. Dito isso, para qualquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵, o valor 𝑅(𝑎, 𝑏) é a força da conexão entre 𝑎 e 𝑏 por 𝑅.

Definição 2.10 (Relação (binária) Fuzzy (ZADEH, 1971)): Sejam A e B conjuntos fuzzy

sobre o universo 𝑈 e 𝑉 . Uma relação fuzzy entre 𝐴 e 𝐵 é qualquer subconjunto fuzzy de

𝐴×𝐵 = {((𝑥, 𝑦) max{𝜇𝐴(𝑥), 𝜇𝐵(𝑦)}) : 𝑥 ∈ 𝑈 e 𝑦 ∈ 𝑉 }

A operação do máximo na definição de relações fuzzy faz o papel da operação união entre conjuntos clássicos. Uma relação fuzzy entre conjuntos clássicos não vazios 𝐴 e 𝐵 é chamada de binária quando é realizada sobre o mesmo conjunto, 𝐴 = 𝐵. Elas possuem propriedades específicas e interessantes. Algumas dessas propriedades serão apresentadas aqui, e as provas e discussões podem ser encontradas em (FODOR; ROUBENS, 1994;

KLIR; YUAN,1995).

Definição 2.11 (Família de Relações Fuzzy (ZADEH, 1978)): Uma relação fuzzy binária

sobre um conjunto clássico 𝐴 ̸= ∅ é uma função 𝑅 : 𝐴 × 𝐴 → [0, 1]. A família de todas as relações fuzzy binárias em 𝐴 é denotado por 𝐹 𝑅(𝐴).

Todos os conceitos e operações aplicáveis à teoria de conjuntos fuzzy são aplicáveis a relações fuzzy. Uma operação bastante importante no campo da inferência é a composição de funções.

16 Capítulo 2. Preliminares

Definição 2.12 (Composições de Relações Fuzzy (ZADEH,1978)): Seja 𝑅 uma relação entre

𝐴 e 𝐵, e 𝑄 uma relação entre 𝐵 e 𝐶. A composição max-min de 𝑅 com 𝑄 é a seguinte relação fuzzy entre 𝐴 e 𝐶

𝑅 ∘ 𝑄 = {((𝑥, 𝑧), max

𝑦∈𝐵 min{𝜇𝑅(𝑥, 𝑦), 𝜇𝑄(𝑦, 𝑧)})|𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑧 ∈ 𝐶} (2.1) Do mesmo modo, a composição min-max de 𝑅 com 𝑄 é a seguinte relação fuzzy entre A e C

𝑅 ~ 𝑄 = {((𝑥, 𝑧), min

𝑦∈𝐵 max{𝜇𝑅(𝑥, 𝑦), 𝜇𝑄(𝑦, 𝑧)})|𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑧 ∈ 𝐶} (2.2)

Algumas propriedades básicas de relações binárias fuzzy são interpretações equiva- lentes a algumas propriedades de relações clássicas, veja (FODOR; ROUBENS,1994). Note que essas interpretações foram introduzidas por Zadeh (1971), considerando a t-norma do mínimo e a t-conorma do máximo. Sejam 𝑇 uma t-norma e 𝑆 uma t-conorma, a Tabela 1

apresenta algumas propriedades para uma relação fuzzy binária 𝑅 ∈ 𝐹 𝑅(𝐴).

Propriedade Definição

Reflexiva 𝑅(𝑎, 𝑎) = 1 para todo 𝑎 ∈ 𝐴, Irreflexiva 𝑅(𝑎, 𝑎) = 0 para todo 𝑎 ∈ 𝐴,

Simétrica 𝑅(𝑎, 𝑏) = 𝑅(𝑏, 𝑎) para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑇 -assimétrica 𝑇 (𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑎)) = 0 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

𝑇 -antissimétrica 𝑇 (𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑎)) = 0 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tal que 𝑎 ̸= 𝑏, Totalmente 𝑆-conectada 𝑆(𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑎)) = 1 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

𝑇 -conectada 𝑆(𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑎)) = 1 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tal que 𝑎 ̸= 𝑏, 𝑇 -transitiva 𝑇 (𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑐)) ≤ 𝑅(𝑎, 𝑐) para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, Negativamente 𝑆-transitiva 𝑆(𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑏, 𝑐)) ≥ 𝑅(𝑎, 𝑐) para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,

𝑇 -𝑆-Ferres 𝑇 (𝑅(𝑎, 𝑏), 𝑅(𝑐, 𝑑)) ≤ 𝑆(𝑅(𝑎, 𝑑), 𝑅(𝑐, 𝑏)) para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐴, 𝑇 -𝑆-semitransitiva 𝑇 (𝑅(𝑎, 𝑑), 𝑅(𝑑, 𝑏)) ≤ 𝑆(𝑅(𝑎, 𝑐), 𝑅(𝑐, 𝑏)) para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐴,

Tabela 1 – Algumas propriedades de relações fuzzy binárias.(FODOR; ROUBENS, 1994)

A preservação da T-transitividade durante o processo de agregação é fortemente ligada à relação de ordem entre as t-normas e ao princípio de dominância de um operador de agregação com respeito a uma t-norma que será abordado na próxima seção. Observe que se uma relação fuzzy 𝑅 é 𝑇 -transitiva então ela é 𝑇′-transitiva para qualquer t-norma 𝑇′ ≤ 𝑇 . Logo, se 𝑅 é min-transitiva então 𝑅 é T-transitiva para toda t-norma.

2.6

Agregação de Relações Fuzzy

O problema de combinar e agregar vários valores, geralmente numéricos, e produzir um único valor que seja consistente é comum em vários ramos do conhecimento. As técnicas

2.6. Agregação de Relações Fuzzy 17 da área fusão de informação oferecem soluções com mais qualidade (maior acurácia, maior relevância e menos redundância, menos incerteza) e mais compreensíveis sobre um evento adquirido por múltiplas fontes (NAKAMURA, 2007). Em aprendizagem por comitê, as técnicas de fusão são usadas para produzir soluções mais robustas (reduzir sensibilidade a ruídos e outliers), e aumentar a acurácia. As técnicas de fusão podem ser relacionadas às funções matemáticas, ou procedimentos que possuem essa capacidade de combinação.

Os operadores de agregação são tipicamente utilizadas em processos de fusão da informação. De um modo geral, elas combinam 𝑛 valores de um dado domínio e retornam um único valor de mesmo domínio. Por exemplo, se um operador de agregação opera sobre 𝑛 números complexos, então a resposta será outro número complexo. A ideia principal desse processo, é que o valor final represente de certa forma todos os valores de entrada. Por isso, a escolha ou definição de uma família de funções de agregação para uma tarefa específica é difícil, pois é altamente dependente do contexto (BELIAKOV, 2007). Dessa forma, cada aplicação pode exigir um conjunto específico de propriedades. Por outro lado, algumas propriedades surgem de forma natural. É razoável exigir que se todos os valores que dados a um operador de agregação estiverem no intervalo [𝑎, 𝑏], o valor final também deve estar neste intervalo. Outras propriedades são interessantes e são apresentadas a seguir.

Denotando esses operadores por 𝒜(de agregação), as propriedades básicas podem ser:

(A1) n-ária: Para todo 𝑛 > 1, 𝒜 : 𝐷𝑛_{→ 𝐷 para algum domínio 𝐷 .} (A2) Idempotência : 𝒜(𝑥, . . . , 𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥.

(A3) Monotonicidade: 𝒜(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ≤ 𝒜(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) se 𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖 .

(A4) Simétrica: Para qualquer uma das 𝑛 permutações 𝜋 sobre os elementos {1, . . . , 𝑛} o consenso se mantém 𝒜(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 𝒜(𝑥𝜋(1), . . . , 𝑥𝜋(𝑛)).

(A5) Internalidade: Para qualquer operador 𝒜, vale que min{𝑥1, . . . , 𝑥𝑛} ≤ 𝒜(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ≤ max{𝑥1, . . . , 𝑥𝑛}.

(A6) Associatividade: 𝒜(𝒜(𝒜(𝑥1, 𝑥2), 𝑥3), . . . , 𝑥𝑛) = 𝒜(𝑥1, 𝒜(𝑥2, . . . , 𝒜(𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛))) para todo 𝑥𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}. .

(A7) Condições de Fronteira: 𝒜(0, . . . , 0) = 0 e 𝒜(1, . . . , 1) = 1.

Definição 2.13 (Operador de Agregação): Seja 𝑛 ∈ N, 𝑛 ≥ 2. 𝒜 : [0, 1]𝑛 _{→ [0, 1] é um}

18 Capítulo 2. Preliminares

Os operadores de agregação foram definidos no intervalo [0, 1] mas podem ser modificados para agir sobre um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] ⊆ [−∞, ∞] ou para qualquer conjunto parcialmente ordenado e limitado (MESIAR; KOMORNÍKOVÁ, 2010).

Exemplo 2.6

Exemplos de alguns operadores de agregação.

∙ projeção 𝑃𝑘(𝑥1, . . . , 𝑥𝑘, . . . , 𝑥𝑛) = 𝑥𝑘, 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛}. ∙ média aritmética 𝑀 (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = 1 𝑛 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑥𝑖. ∙ mediana 𝑀 𝑒𝑑(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑠𝑘+ 𝑠𝑘+1 2 , para 𝑛 = 2𝑘 𝑠𝑘+1 para 𝑛 = 2𝑘 + 1

onde (𝑠1, . . . , 𝑠𝑛) é a sequência não decrescente (𝑠1 ≤ . . . ≤ 𝑠𝑛) dos valores de 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛. Ou seja, 𝑠𝑖 é o 𝑖-ésimo menor valor de (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛).

Métodos para agregar diferentes fontes de informação são ferramentas indispen- sáveis em vários campos do conhecimento. Tanto para o desenvolvimento teórico, por exemplo, em matemática e física, como também para aplicações em engenharia, ciências sociais e outros campos (BELIAKOV, 2007). Um significante número de operadores de agregação foram estudados e aplicados, por exemplo, a média aritmética, integrais de Choquet (GRABISCH, 1996), funções de mistura generalizadas (COSTA,2018), incluindo variações de t-normas/t-conormas.

No contexto de funções de agregação em aplicações reais é importante investigar quais propriedades são importantes para a escolha do operador. Já que em alguns contextos algumas propriedades fazem mais sentido do que em outros. Portanto, é pertinente também investigar quais propriedades dos membros a serem agregados devem ser preservados no resultado obtido pela função de agregação. Cada problema possui um domínio de aplicação específico, por exemplo, em problemas de agrupamento é comum utilizar a relação de similaridade ao invés da relação de proximidade para representar o grau de semelhança entre os objetos, e a partir disso realizar o processo de agregação. Neste caso, a agregação de relações de similaridades é feita através da agregação de relações fuzzy. A construção de relações de similaridade fuzzy têm sido bastante estudadas ao longo do tempo. Uma característica comum dessas propostas é que não há um consenso sobre qual transitividade é a mais adequada no contexto geral (HE, 2017).

2.6. Agregação de Relações Fuzzy 19 definida função de uma t-norma, conforme a Definição 2.14.