A NORMALIDADE DOS RETORNOS

Na busca de precificar o valor de um opção derivada de um ativo adjacente, como uma ação-objeto, é necessário de alguma forma estimar o valor esperado deste ativo no futuro. E para isso os diversos modelos existentes assumem a existência de uma distribuição de probabilidades para o valor da ação, e portanto para seu retorno. Atribuindo-se probabilidades aos possíveis valores do preço da ação (S), é possível estimar o valor esperado do seu retorno.

Conforme apresentado no final do capítulo 2, o desenvolvimento dos modelos de precificação realizado por Black, Scholes e Merton assumem distribuição Lognormal para os preços das ações (S) e, portanto, distribuição Normal para os retornos das ações.

Entretanto, uma diversidade de estudos empíricos a respeito dos retornos de diversos ativos tem mostrado que um grande movimento no preço da ação são mais prováveis de acontecer do que aqueles indicados na curva de distribuição Normal. Ou seja, o histograma dos retornos observados exibe uma forma deslocada da curva normal que na estatística se denomina leptocurtose. Tal fato leva a conclusão de que as frequências dos retornos próximos ao valor médio e também de altos retornos são maiores do que os previstos na pela distribuição Normal dos retornos assumida por Black e Scholes.

Seguindo uma das propostas desta pesquisa, para melhor evidenciar esta questão, na figura 1 é apresentado o gráfico em barras com a distribuição de frequências dos retornos diários das ações VALE5 no período de Janeiro de 2007 a Dezembro de 2010. Na mesma figura tem-se também a curva que representa uma distribuição Normal para a média e desvio padrão apurados no período para os retornos da mesma ação. As linhas pontilhadas representam a média e o desvio padrão da distribuição Normal. Desta forma, pode-se avaliar

qualitativamente se a premissa de normalidade da série de retornos do ativo procede. Na Figura 2 o Histrograma é transformado na estimativa da curva de densidade (“kernel” da distribuição23) dos retornos da VALE5, e mais uma vez plotado contra a curva de distribuição Normal correspondente à média e variância dos retornos.

Outra forma comum para avaliar qualitativamente a aproximação de uma Normal é desenvolver um “Q-Q Plot”24, onde pode-se ver facilmente se os dados coletados se ajustam à distribuição Normal (linha reta). Na figura 3 é apresentado o “Q-Q Plot” dos retornos da VALE5.

Pelas figuras 1, 2 e 3 pode-se perceber qualitativamente que a distribuição dos retornos da ação preferencial da Vale não segue uma distribuição Normal.

E finalmente, para um referencial mais quantitativo da questão, serão realizados dois testes estatísticos: Jarque-Bera e Lilliefors para avaliar a hipótese nula de que a série de retornos segue uma distribuição Normal. Na Tabela 2 são apresentados os resultados dos testes.

Teste Hipótese Nula

(Não Rejeita/Rejeitada)

P-Value Stat Valores

Críticos

Liliefors Rejeita 0.0001 0.0626 0.0288

Jarque-Bera Rejeita 0.0010 532.49 5.9300

Tabela 1 – Resultados do teste de Normalidade Lilliefors

De acordo com o resultado dos testes de hipótese nula de normalidade para os retornos da ação da Vale, para um nível de 95% de certeza, tem-se uma clara rejeição da mesma.

Portanto, é evidente que os retornos não seguem uma distribuição Normal e, portanto, os preços da ação-objeto (VALE5) no período em questão não são lognormalmente distribuídos.

Dando sequência na análise, na Tabela 2 são apresentadas algumas estatísticas da série de retornos da VALE5 no período de Janeiro de 2007 a Dezembro de 2010:

23 _{Em estatística, o “kernel” estimado de uma densidade é um modo não-paramétrico de estimar a função de}

densidade de probabilidades de uma variável aleatória. Trata-se de um problema fundamental de “alisamento” dos dados, onde inferências a respeito da população são feitas, baseado numa amostra finita de dados.

24 _{Um “Q-Q Plot” é um gráfico da quantis de duas distribuições um contra a outra. O padrão de pontos no}

Estatística Valor Média 0.0006 Mediana 0.0018 Desvio Padrão 0.0290 Máximo 0.1257 Mínimo -0.1687 Curtose 6.5826 Assimetria -0.1773

Tabela 2 – Estatísticas da Distribuição dos Retornos da VALE5

Pelas estatísticas da Tabela 2 e os gráficos das Figuras 1, 2 e 3, observa-se os seguintes comportamentos para a série de distribuição dos Retornos:

− Possui uma “calda mais gorda” que a distribuição Normal25. Isso implica que a probabilidade de grande variações nos preços do ativo (grandes quedas e altas) são maiores do aquelas descritas numa distribuição Normal. O que está de acordo com outros estudos empíricos realizados26. Pelo gráfico da Figura 3 pode-se observar claramente este comportamento, onde a partir de um certo valor de retorno, digamos ± 3% (eixo y), as probabilidades indicadas pela Normal são menores que as observadas empiricamente.

− Observa-se leptocurtose. Uma medida de “leptocurcidade” é o coeficiente de curtose27 que se torna assintoticamente igual a 3 para distribuição Normal i.i.d. Para a distribuição dos retornos da VALE5, este coeficiente é muito maior que 3 (vide Tabela 2), o que é um comportamento comum a outras séries de retornos de ativos financeiros. Com relação ao formato de distribuição de probabilidades, uma distribuição leptocúrtica tem um pico mais acentuado em torno da média, ou seja, uma menor probabilidade de uma variável com distribuição Normal de valores próximos da média, e caldas mais gordas, isto é, uma maior probabilidade de valores extremos que o de uma variável normalmente distribuída. Tais observações empíricas indicam que maior parte da variância dos retornos se deve

25

Mais precisamente a curva tem uma redução a zero mais lentamente do que a razão 9*stuvv da Normal.

26

Turner e Weigel (1990 e 1992) examinaram retornos do S&P 500 de 1928 a 1990 e encontraram que a ocorrência de quedas bruscas acima de 3 desvios padrões é cerca de 3 vezes mais frequentes que uma distribuição Normal preveria. Jackwerth e Rubinstein (1995) analisando a probabilidade da queda observada no S&P 500 no ano de 1987 (“crash” de 1987) concluem “mesmo que alguém tivesse vivido por 20 bilhões de anos do Universo e e experimentando isso 20 bilhões de vezes ....a chance de que tal declínio acontecesse pelo menos um única vez neste período é quase impossível” (tradução livre da publicação “Recovering Probability Distribution from Contemporaneous Security Prices”.

a desvios extremos raros, e não devido a desvios de tamanhos mais moderados que acontecem com maior frequência.

− No período em questão, as probabilidades de alta são maiores que as probabilidades de baixa. Enquanto 53% das observações representam retornos positivos, 47% representam retornos negativos.

− Observa-se assimetria negativa, ou seja, a calda da distribuição no lado esquerdo é “mais longa” indicando que a maior magnitude das quedas tendem a uma probabilidade maior de ocorrência vis-avis a contra-partida de uma alta, embora grande parte da massa da distribuição de retornos concentre-se do lado positivo. Portanto, no período observa-se uma maior ocorrência de retornos positivos, entranto, uma grande queda dos preços é mais provável do que uma grande alta dos preços (o que pode ser comprovado pelo Máximo e Mínimo da Tabela 2).

Figura 1 – Distribuição dos Retornos da VALE 5 de Janeiro/2007 a Dezembro/2010 frente a Normal

-0.20 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Histograma dos Retornos VALE5 versus Normal (Janeiro/2007 a Dezembro/2010)

Distribuição Freq Retornos VALE5 Distribuição Normal x mean x std

Figura 2 – Estimativa do Kernel de densidade das distribuição de probabilidade dos Retornos da Vale

Figura 3 – “Q-Q Plot” entre as Distribuição dos Retornos da VALE 5 frente a Normal