versalidade do modelo de Ising bidimensional. Isso se deve ao fato de que modelos de não equilíbrio com simetria de inversão pertencem à mesma classe de universalidade do modelo de Ising (GRINSTEIN et al., 1985).
Outro ponto importante, que foi previamente estudado, corresponde ao efeito de uma anisotropia na probabilidade de inversão, sobre o comportamento crítico do modelo do voto da maioria. Santos e Teixeira (1995) mostraram que a introdução da anisotropia não altera a classe de universalidade do modelo. Eles consideraram um modelo no qual a probabilidade de inversão de um spin depende apenas de dois de seus vizinhos (versão unidimensional) com uma probabilidade α e dos quatro vizinhos (versão bidimensional) com probabilidade (1 −α).
Tabela 4.2: Expoentes críticos do modelo do voto da maioria com ruído na rede quadradaa,
na rede aleatóriab, e do modelo de Isingc.
β/ν γ/ν 1/ν D
Ising 0.125 1.75 1 2
Rede Quadrada Regular 0.125 ± 0.005 1.73 ± 0.05 1.01 ± 0.05 2 hki = 4 0.242(6) 0.515(6) 0.51(3) 1.02(2) GA hki = 10 0.259(1) 0.502(5) 0.46(1) 1.00(1) hki = 20 0.255(4) 0.503(2) 0.50(2) 1.01(1)
a:(OLIVEIRA, 1992), b:(PEREIRA; MOREIRA, 2005), c:(ONSAGER, 1944)
Com relação aos expoentes do grafo aleatório foi observado uma pequena dependên- cia na conectividade média hki, para maiores detalhes ver referências (PEREIRA; MO- REIRA, 2005; PEREIRA, 2005). No entanto verifica-se que para todos os valores de hki, levando-se em consideração as incertezas associadas, a relação de hiper-escala é satis- feita com D = 1.0.
4.3 Nossos Resultados
4.3.1 Magnetização
Uma das formas de analisar a existência da transição de fase do modelo (ordem- desordem) é através do parâmetro de ordem MN(q) como descrito na Seção 3.2. A Fi-
gura 4.1 mostra o comportamento do parâmetro de ordem do sistema em função do parâ- metro de ruído, obtido das simulações em grafos aleatórios com hki = 4 e quatro diferentes
4.3 Nossos Resultados 34 M N (q ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 q 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 N=1000 N=1750 N=2500 N=5000 0,4 q 0,22
Figura 4.1: Magnetização em função do ruído para b = 0.1, no grafo aleatório com hki = 4 e quatro diferentes valores de N. No detalhe mostramos a dependência de MN com o
tamanho do sistema na região crítica.
valores de N, no caso particular b = 0.1. É possível observar que o parâmetro de ordem apresenta uma variação com N e q mais acentuada na região crítica, em torno de 0.2, mos- trada no detalhe da figura. Esse comportamento indica a ocorrência de uma transição do tipo “ordem-desordem” de segunda ordem. Antes da transição as curvas são praticamente superpostas, apresentando uma dependência com N apenas na região crítica e após a mesma. Nesta região, a magnetização assume valores decrescentes com o tamanho do sistema e possui uma tendência a zero no limite termodinâmico (N →∞).
A dependência do parâmetro de ordem com a fração b de indivíduos com ausência de ruído, é mostrada na Figura 4.2. Os dados para MN(q) foram obtidos em grafos com conec-
tividade média igual a quatro, N = 2500 e com diversos valores de b. Do comportamento das curvas, podemos ver que em todos os valores de b estudados temos a ocorrência de uma transição ordem-desordem no sistema. Também observamos, que o valor onde a transição ocorre é uma função crescente de b, ou seja, quanto maior a fração de sítios com ausência de ruído, maior é o valor do ruído médio necessário parar levar o sistema do estado ordenado para o estado desordenado.
4.3 Nossos Resultados 35 M N (q ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 q 0 0,1 0,2 0, 0,4 0,0,6 =00 =01 =02 =0 =04 =0
Figura 4.2: Magnetização em função do ruído para N = 2500 na rede aleatória com hki = 4, e valores da fração de indivíduos sem ruído b = 0.0,0.1,0.2,0.3,0.4 e 0.5 (da esquerda para a direita).
4.3.2 Susceptibilidade
A Figura 4.3 mostra o comportamento da susceptibilidade em função de q no grafo aleatório com b = 0.1, hki = 4, e N = 1000, 1750, 2500, e 5000. De forma similar à magne- tização, a susceptibilidade demonstra ter um comportamento suave, exceto para o intervalo do parâmetro de ruído identificado como a região crítica. Nesta região a dependência com
N e q é bastante acentuada e apresenta um comportamento característico de sistemas
que apresentam uma transição de fase de segunda ordem. O valor do ruído onde ocorre o máximo da susceptibilidade tem uma dependência com o tamanho da rede, devido a efeitos de tamanho finito do sistema (Seção 3.3). Desta forma o valor de q onde a suscep- tibilidade é máxima nos dá uma estimativa do valor crítico do parâmetro de ruído qc(N).
Analisamos ainda a dependência da susceptibilidade com a fração b de indivíduos desprovidos de ruído. Na Figura 4.4 mostramos as curvas χN(q) para grafos aleatórios
com N = 2500 e hki = 4 para diversos valores de b. Podemos observar que as intensidades (larguras) das flutuações diminuem (aumentam) com o aumento dos valores de b.
4.3 Nossos Resultados 36 N (q ) 0 0 20 0 q 0 0 02 0 0 000 0 2 00 000
Figura 4.3: Susceptibilidade em função do ruído para b = 0.1, no grafo aleatório com hki = 4 e N = 1000, 1750, 2500, e 5000. N (q ) 0 0 0 q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0. 0. 0. 0. 0.
Figura 4.4: Susceptibilidade em função do ruído para N = 2500 na rede aleatória com hki = 4. Da esquerda para a direita b = 0.0,0.1,0.2,0.3,0.4 e 0.5.
4.3 Nossos Resultados 37 N (q ) 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, q 0 0,0,0, 0, 0, ! " 000 ! "#$ 0 ! %$ 00 ! $ 000 q
Figura 4.5: Cumulante de quarta ordem de Binder em função do parâmetro de ruído para
b= 0.1 e diferentes valores de N na rede aleatória comhki = 4. No detalhe apresentamos apenas a região próxima ao ponto crítico.
4.3.3 O Cumulante de Binder
Calculamos o cumulante de quarta ordem de Binder com o objetivo de obter os valores críticos do parâmetro de ruído qc. A partir da Equação 3.7 vimos que o valor do cumulante
no ponto crítico é independente do tamanho do sistema, isto é, mesmo com tamanhos diferentes de redes (para um mesmo hki e b) as curvas UN(q) devem se interceptar em
q= qc. A Figura 4.5 mostra as curvas UN(q) para o grafo aleatório com b = 0.1, hki = 4
e N = 1000, 1750, 2500, e 5000. No detalhe apresentamos apenas a região próxima ao ponto crítico. Na Figura 4.6 mostramos o cruzamento das curvas de forma mais clara. Neste caso, utilizamos quatro diferentes tamanhos para o grafo aleatório com hki = 20 e
b= 0.1. Em particular a interseção das curvas ocorrem em qc= 0.405 ± 0.001.
Na Figura 4.7 mostramos a região onde ocorrem os cruzamentos (região crítica) das curvas do cumulante de quarta ordem de Binder para hki = 10, três valores de b e tamanhos de redes N = 1000, 2500, 6400, e 10000. Vemos que a intersecção das curvas para um dado valor de b ocorre para valores do parâmetro de ruído crítico que aumentam com o número de indivíduos sem resistência. Essa dependência do ruído crítico com b também
4.3 Nossos Resultados 38 &N (q ) 0,' ( 0,) 0,) ( 0,* 0,* ( 0,+ 0,+ ( q 0,+0,+0)0,+0+0,+0,0,+0-0,+' N='000 N=) ( 00 N=,+00 N='0000
Figura 4.6: Cumulante de quarta ordem de Binder na região crítica para grafos aleatórios com hki = 20 e b = 0.1. Os dados foram obtidos nas simulações Monte Carlo e as linhas são ajustadas através de uma suavização.
.N (q ) 0,2 0,4 q 0,/0,/2 0,/4 0,/ 0 0,/ 1 0,4 2 3 4 000 2 3 2500 2 3 0 400 2 3 4 0000
Figura 4.7: Cruzamento das curvas do cumulante de quarta ordem de Binder em uma grafo aleatório com hki = 10, para os tamanhos N = 1000, 2500, 6400, e 10000 e da esquerda para a direita b = 0.0,0.1, e 0.2.
4.4 Diagrama de Fases 39
Tabela 4.3: Valores críticos do parâmetro de ruído obtidos através de simulações Monte Carlo, para diferentes valores da fração de sítios com ausência de ruído em grafos aleató- rios com hki = 4,10 e 20. Os resultados de campo médio (CM) são também indicados.
hki qbc=0.0 qbc=0.1 qcb=0.2 qbc=0.3 qbc=0.4 qbc=0.5
4 0.184(1) 0.212(3) 0.248(1) 0.300(3) 0.392(5) 0.56(1) 10 0.300(1) 0.338(1) 0.395(1) 0.470(2) 0.592(1) 0.760(7) 20 0.359(1) 0.405(1) 0.474(1) 0.552(2) 0.674(1) 0.852(7)
CM 0.500 0.556 0.625 0.715 0.833 1.00
foi observada através das curvas para o parâmetro de ordem e a susceptibilidade. Quanto ao valor do cumulante de Binder no ponto crítico, obtivemos U∗
b = Ub(qc) onde Ub∗=0.0= 0.294(1), Ub∗=0.1= 0.277(1) e Ub∗=0.2= 0.230(1). A dependência de U∗com o parâmetro b é indicativo da quebra de universalidade no modelo com a introdução da heterogeneidade do ruído, que deve também ser observada a partir do cálculo dos expoentes críticos como será visto adiante.
4.4 Diagrama de Fases
Através da análise do cumulante de quarta ordem de Binder na região crítica estima- mos o valor crítico do parâmetro de ruído para diversos valores de b, em grafos aleatórios com hki = 4,10 e 20, reunindo-os na Tabela 4.3. Os resultados de campo médio (equa- ção 3.41) para o caso do grafo completamente conectado (hki = N − 1 →∞) corresponde ao limite superior dos resultados das simulações de Monte Carlo com hki finito.
A partir dos valores da tabela 4.3 construimos o diagrama de fase no plano qc versus
b, apresentado na Figura 4.8. Inicialmente, comparando o diagrama de fases do nosso
modelo com os resultados anteriormente obtidos (PEREIRA; MOREIRA, 2005) para o caso
b= 0.0 (distribuição uniforme de ruído), vemos que há uma concordância dentro das faixas de erro. Para uma coordenação k fixa vemos que a região de ordenamento (consenso) aumenta com a diminuição do número de sítios desprovidos de ruído, ou seja, com o aumento do parâmetro b. Por outro lado, para b fixo, o consenso é mais facilmente atingido quando se tem uma conectividade média maior. Observe que ambas as dependências de
qcem b e hki são resultados que estão de acordo com o senso comum.
Finalmente um importante resultado que emerge da nossa análise é a existência de um limite superior para a fração de sítios sem ruído, bmax, a partir do qual ocorre a formação
4.5 Expoentes Críticos 40 campo médio esse valor é bmax= 0.5, enquanto que os resultados da simulação em grafos
aleatórios indicam bmax ≈ 0.6.
6 7 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 8 0 0,1 0,2 0,90,4 0,: ; <= > o Ale= tó< io <k>=4 ; <= > o Ale= tó< io <k>=10 ; <= > o Ale= tó< io <k>=20 C= mpo Médio <k>≅∞
Figura 4.8: Diagrama de fases para o modelo do voto da maioria com distribuição mista de ruídos. Na região abaixo das curvas o sistema se encontra em um estado ordenado (região de consenso), para pontos acima temos a fase desordenada (ausência de consenso). A curva correspondente ao campo médio é dada pela equação 3.41.
4.5 Expoentes Críticos
Como descrito na seção 3.3, utilizamos as funções ΛN1,N2 (equação 3.24) e ΓN1,N2
(equação 3.26) para estimar os expoentes β/ν0 e γ/ν0. Nas figuras 4.9 e 4.10 mostra- mos o comportamento destas funções com o parâmetro N de ruído no grafo aleatório para hki = 4 e b = 0.1 com vários valores de N. A partir da intersecção das curvas para a funçãoΛ, estimamos os valores deβ/ν0= 0.216 ± 0.002 e qc= 0.212 ± 0.001. Analoga-
mente, da intersecção das curvas paraΓ, estimamos os valores deγ/ν0= 0.482 ± 0.002 e
qc= 0.212 ± 0.001. É importante lembrar que o erro associado a cada estimativa é obtido
4.5 Expoentes Críticos 41 ?N @ AN B C D E4 C D E F C D E G C D E1 D H D E GD 5 D E G 1 D E G 15 1DDD C I 4DD 1DDD C1 DDDD 1DDD C144 DD G 5DD C144 DD
Figura 4.9: Dependência da função ΛN1,N2 com o ruído no grafo aleatório, para hki = 4,
b= 0.1 e tamanhos de redes indicados. As linhas são ajustadas através de um ajuste polinomial. JN K LN M 0,N 0,4 0,O 0,P Q 0,R0S0,R T 0,R T R0,R T 4 0,R T P0,R T S T 000UP400 T 000U T 0000 T 000U T 4400 RO00U T 4400
Figura 4.10: Dependência da funçãoΓN1,N2 com o ruído no grafo aleatório, para hki = 4,
b= 0.1 e tamanhos de redes indicados. As linhas são ajustadas através de um ajuste polinomial.
4.5 Expoentes Críticos 42
Tabela 4.4: Expoentes críticos do modelo do voto da maioria com distribuição mista de ruído em grafos aleatórios.
β/ν0 γ/ν0 1/ν0 D hki = 4 b= 0.0 0.24(2) 0.52(2) 0.54(6) 1.0 b= 0.1 0.26(2) 0.48(1) 0.48(5) 1.011 b= 0.2 0.278(4) 0.454(2) 0.52(2) 1.009 hki = 10 b= 0.0 0.249(1) 0.504(1) 0.523(6) 1.002 b= 0.1 0.265(2) 0.475(3) 0.477(3) 1.005 b= 0.2 0.276(1) 0.451(1) 0.49(8) 1.003 hki = 20 b= 0.0 0.256(3) 0.492(3) 0.506(3) 1.004 b= 0.1 0.262(6) 0.474(9) 0.527(7) 0.998 b= 0.2 0.278(7) 0.441(8) 0.52(3) 0.998
Finalmente, mas não menos importante, foi calculado o valor do expoente 1/ν0. Para
isso utilizamos a dependência com o tamanho do sistema da derivada do cumulante de Binder em relação ao ruído, no ponto crítico, assim como discutido na seção 3.3. A Fi- gura 4.11 apresenta os pontos calculados através das simulações e os melhores ajustes lineares para os mesmos para o grafo aleatório com hki = 4 e hki = 10. A inclinação da reta obtida pelo ajuste linear dos pontos define o valor do expoente 1/ν0. Concluimos que a
repetição desse procedimento para outros valores de b resultam em um pequena variação do expoente 1/ν0(a inclinação da reta).
Para obter a estimativa para a dimensão efetiva utilizamos os valores calculados dos expoentes críticos e a relação de hiper-escala definida na equação 3.22. Considerando as incertezas associadas, para os valores de hki e b estudados, a relação de hiper-escala é satisfeita com D = 1.0. A tabela 4.4 contém um resumo dos nossos resultados através das simulações de Monte Carlo para expoentes críticos e a dimensionalidade efetiva. A dependência dos expoentes críticos com o parâmetro b indica que o modelo do voto da maioria com distribuição mista de ruído pertence a classe de universalidade diferente do modelo usual (b = 0).
4.6 Colapso de Dados 43 V W X Y Z [N (q c ) Y] + < k > \ ] ^ _ `a `` ` b `c `d e f g N] \ h i]] h i ^^ h i __ h i` a j k l m d h n m a o a j k l m d h n m a o ` j k l m d h n m a o b j k l m `a h n m a o a j k l m `a h n m a o ` j k l m `a h n m a o b
Figura 4.11: Dependência da função ln[|U0
N(qc)|]+ < k > com ln[N] no grafo aleatório, para
diferentes valores de b e < k >= 4 e 10. O coeficiente angular da reta calculado pelo ajuste linear dos dados obtidos numericamente definem o valor do expoente 1/ν0.
4.6 Colapso de Dados
Vamos considerar o colapso de dados para a magnetização e para a susceptibilidade (este procedimento também é conhecido como “data collapse”). Este procedimento permite obter, de forma independente, os expoentes e os parâmetros de ruído críticos, e compará- los com os resultados mostrados na seção anterior. Para isso usaremos as relações de escala de tamanho finito da magnetização e da susceptibilidade mostradas na secão 3.3. Teremos então: MN(q) = N−β/ν 0 ˜ M(N1/ν0(q − qc)), (4.2) χN(q) = Nγ/ν 0 ˜ χ(N1/ν0(q − qc)). (4.3)
Dessas duas equações obtemos as funções universais ˜M(y) e ˜χ(y)
˜ M(y) = MN(q)Nβ/ν 0 , (4.4) ˜ χ(y) =χN(q)N−γ/ν 0 , (4.5)
4.6 Colapso de Dados 44 M N (q )N p q r s 0 t u v w x 0 y qzq { y N| } ~ 00 xwt 0 x x w t 00 vu 00 x 0000 xuu 00 0
Figura 4.12: Colapso de dados para o parâmetro de ordem no grafo aleatório, para hki = 4 e b = 0.1. N (q )N 0 0, 0, 0, 0, (qq)N 0 5 0 5 0 500 00 0000 00
Figura 4.13: Colapso de dados para a susceptibilidade no grafo aleatório, para hki = 4 e
b= 0.1.
onde y = N1/ν0(q − q
c) corresponde à variável de escala.
Isto significa que fazendo a transformação adequada nas variáveis, teremos como re- sultado o gráfico de uma função universal, onde as curvas ˜M(y) e ˜χ(y) para diferentes
4.6 Colapso de Dados 45 valores de N devem colapsar resultando em uma única curva. A região de colapso das curvas deve se estender por toda a região crítica e quanto melhores forem as estimativas dos expoentes e do ruído crítico, melhor será o colapso das curvas.
Na figura 4.12 mostramos o colapso de dados para o parâmetro de ordem do sistema em grafos aleatórios com hki = 4 e b = 0.1 para grafos de tamanho N = 2500, 6400, 10000, e 14400. O colapso de dados foi obtido utilizando os valores qc = 0.212, β/ν0= 0.262 e 1/ν0= 0.49 que concordam com os valores indicados nas tabelas 4.3 e 4.4. É possível ver que o colapso resultante é de boa qualidade por aproximadamente quatro décadas, o que nos leva a acreditar na boa consistência da nossa análise.
De forma análoga, na figura 4.13 mostramos o colapso de dados para a susceptibi- lidade em grafos aleatórios com hki = 4 e b = 0.1, novamente com tamanhos de rede
N= 2500, 6400, 10000, e 14400. Os valores utilizados foram γ/ν0= 0.48, com qc e 1/ν0
sendo os mesmos para o colapso de dados do parâmetro de ordem. Observamos na figura um bom colapso das curvas para diferentes valores de N, confirmando dessa vez a boa estimativa de qc, 1/ν eγ/ν.
46
5
Conclusões
Propusemos e estudamos uma generalização do modelo do voto da maioria com ruído, que leva em conta a possibilidade de distribuição de ruído não homogênea entre os sítios da rede. Realizamos simulações de Monte Carlo em grafos aleatórios de vários tamanhos
N e conectividade médiahki. Calculamos a magnetização, a susceptibilidade e o cumu-
lante de Binder em função do parâmetro de ruído (q) e da fração de sítios sem ruído (b). Através da análise de tamanho finito, que permite eliminar a dependência em N para ob- ter o diagrama de fases no limite termodinâmico, além do cálculo dos expoentes críticos do modelo, obtivemos as curvas de transição de fases no plano qc versus b, separando
as fases ordenada (onde ocorre a formação de consenso, para q < qc(b)) e desordenada
(onde não há consenso). Notamos que, para um dado valor de hki, o parâmetro crítico de ruído é uma função crescente de b, enquanto que a região de consenso aumenta para sistemas com maiores valores da conectividade média. Uma análise de campo médio, que é exata no limite do grafo completamente conectado (hki = N − 1 →∞), permite-nos obter o limite superior para as curvas de transição de fase dado por: qc(b) = 1/2(1 − b). Este
resultado sugere que para b > 0.5 o sistema sempre se ordena independentemente do va- lor do parâmetro de ruído. De fato, para os grafos com hki = 4,10 e 20 que simulamos, o correspondente valor de b é próximo de 0.6.
Quanto aos expoentes críticos, nossos resultados indicam expoentes que variam com os valores da conectividade e da fração de elementos sem ruído. Comparados com o caso
b= 0, nossos resultados sugerem que a desordem inerente aos sistemas com b > 0 é relevante na determinação da classe de universalidade (diferentes da classe de Ising). Por outro lado, assim como indicam os resultados de simulações do modelo do voto da maioria com b = 0, e de outros modelos em grafos aleatórios, os expoentes críticos que obtivemos satisfazem a relação de hiperescala com dimensionalidade efetiva igual a um.
Embora o modelo que estudamos represente uma generalização mais realista que o modelo do voto da maioria com distribuição uniforme de ruídos (b = 0), vários outros estudos podem ser realizados para levar em conta, por exemplo:
5 Conclusões 47 1. A influência da topologia da rede, considerando-se geometria de redes regulares ou
ainda com estrutura de pequenos mundos;
2. A dependência dos resultados com a escolha da função de distribuição mista de ruídos. Aqui, escolhemos uma distribuição bimodal que consiste de uma função δ em q = 0 e uma gaussiana centrada em q = q mas com largura fixa em o = 0.01. Outras formas de distribuição podem ser interessantes de serem investigadas; 3. Finalmente, pode ser interessante a análise da versão com desordem temperada (an-
nealed) do nosso modelo. Aqui, consideramos apenas o caso de desordem conge- lada (quenched).
48
Referências Bibliográficas
ALBERT, R.; BARABÁSI, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys., American Physical Society, v. 74, n. 1, p. 47–97, Jan 2002.
BELLOMO, N. Modeling Complex Living Systems: A Kinetic Theory and Stochastic Game Approach. 1st. ed. [S.l.]: Birkhäuser Basel, 2007. ISBN 0817645101, 9780817645106.
BINDER, K. Finite size scaling analysis of ising model block distribution func- tions. Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, Springer Berlin / Heidelberg, v. 43, p. 119–140, 1981. ISSN 0722-3277. 10.1007/BF01293604. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01293604>.
BOLLOBAS, B. Random Graphs. [S.l.]: Cambridge University Press, 2001.
CAMPOS, P. R. A.; OLIVEIRA, V. M. de; MOREIRA, F. G. B. Small-world effects in the majority-vote model. Phys. Rev. E, American Physical Society, v. 67, n. 2, p. 026104, Feb 2003.
CARRERAS, B. A.; LYNCH, V. E.; DOBSON, I.; NEWMAN, D. E. Complex dy- namics of blackouts in power transmission systems. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, AIP, v. 14, n. 3, p. 643–652, 2004. Disponível em: <http://link.aip.org/link/?CHA/14/643/1>.
CASTELLANO, C.; FORTUNATO, S.; LORETO, V. Statistical physics of social dynamics. Rev. Mod. Phys., American Physical Society, v. 81, n. 2, p. 591–646, May 2009.
CLIFFORD, P.; SUDBURY, A. The potts model. Biometrika, v. 60, n. 3, p. 581–588, 1973. DALL, J.; CHRISTENSEN, M. Random geometric graphs. Phys. Rev. E, American Physical Society, v. 66, n. 1, p. 016121, Jul 2002.
DEZAN, A. Falta d´água decorrente do apagão deixa quase 1.800 alunos sem aula no Rio. 2009. Disponível em: <http://ultimosegundo.ig.com.br/brasil/2009/11/11/ falta+dagua+decorrente+do+apagao+deixa+quase+1800+alunos+sem+aula+no+rio+ 9066001.html>.
DOBSON, I.; CARRERAS, B.; LYNCH, V.; NEWMAN, D. An initial model for complex dynamics in electric power system blackouts. Hawaii International Conference on System Sciences, IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, USA, v. 2, p. 2017, 2001. ISSN 1530-1605.
DORLAS, T. C. Statistical Mechanics: Fundamentals and Model Solutions. 1st. ed. [S.l.]: Taylor & Francis, 1999. ISBN 0750305401.
Referências Bibliográficas 49 DURRETT, R. Random Graph Dynamics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics). New York, NY, USA: Cambridge University Press, 2006. ISBN 0521866561. ERDOS, P.; RÉNYI, A. On random graphs. I. Publ. Math. Debrecen, v. 6, p. 290–297, 1959.
ERDOS, P.; RENYI, A. On the evolution of random graphs. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci, v. 5, p. 17–61, 1960.
FELLER, W. On a general class of contagious distributions. The Annals of Mathe- matical Statistics, v. 14, n. 4, p. 389–400, 1943. ISSN 0003-4851. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1214/aoms/1177731359>.
G1. Mais de 36 horas após apagão, milhares continuam sem água no Rio e em SP. 2009. Disponível em: <http://g1.globo.com/Sites/Especiais/Noticias/0„MUL1376394- 17814,00.html>.
GALAM, S. Majority rule, hierarchical structures, and democratic totalitarianism: A statistical approach. Journal of Mathematical Psychology, v. 30, n. 4, p. 426 – 434, 1986. ISSN 0022-2496. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/B6WK3- 4DT5NYT-3V/2/d1d6b8719b98a655e3715796ab2b415b>.
GALAM, S.; GEFEN, Y.; SHAPIR, Y. Sociophysics: a new approach of sociological collective behavior. i. mean-behavior description of a strike. J. of Math. Sociology, v. 9, p. 1–13, 1982.
GARDINER, C. W. Handbook of stochastic methods : for physics, chemistry and the natural sciences. Springer, 1985. Paperback. (Springer series in synergetics, 13). ISBN 3540616349. Disponível em: <http://www.worldcat.org/isbn/3540616349>.
GLAUBER, R. J. Time-dependent statistics of the ising model. Journal of Mathematical Physics, AIP, v. 4, n. 2, p. 294–307, 1963.
GRINSTEIN, G.; JAYAPRAKASH, C.; HE, Y. Statistical mechanics of probabilistic cellular automata. Phys. Rev. Lett., American Physical Society, v. 55, n. 23, p. 2527–2530, Dec 1985.
KAUFFMAN, S. A. The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. 1. ed. [S.l.]: Oxford University Press, USA, 1993. Paperback. ISBN 0195079515.
KOSTEREV, D.; TAYLOR, C.; MITTELSTADT, W. Model validation for the august 10, 1996 wscc system outage. Power Systems, IEEE Transactions on, v. 14, n. 3, p. 967 –979, aug 1999. ISSN 0885-8950.
LILIJEROS, F.; EDLING, C.; AMARAL, L.; STANLEY, E.; ÅBERG, Y. The web of human sexual contacts. Nature, v. 411, p. 907–908, 2001.
MAGALHAES, M. N. Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2st. ed. [S.l.]: Edusp, 2006. ISBN 8531409454.
MELO, D. F. F. de. Modelo do voto da maioria com três estados em grafos aleatórios. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Pernambuco, 50732-970, Recife-PE, Brazil, Abril 2010.
Referências Bibliográficas 50 NEWMAN, J. R. The World of Mathematics. [S.l.]: Simon and Schuster, New York, 1956. Paperback. ISBN 0486432688.
NEWMAN, M. E. J. Spread of epidemic disease on networks. Phys. Rev. E, American Physical Society, v. 66, n. 1, p. 016128, Jul 2002.
NEWMAN, M. E. J.; STROGATZ, S. H.; WATTS, D. J. Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications. Phys. Rev. E, American Physical Society, v. 64, n. 2, p. 026118, Jul 2001.
OLIVEIRA, M. J. de. Isotropic majority-vote model on a square lattice. Journal of Statistical Physics, Springer Netherlands, v. 66, p. 273–281, 1992. ISSN 0022-4715. 10.1007/BF01060069. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01060069>. ONLINE, F. Apagão deixa áreas de três Estados sem água;
problema afeta 2,5 milhões em SP. 2009. Disponível em: <http://www.primeiraedicao.com.br/?pag=brasil_mundo&cod=6509>.
ONSAGER, L. Crystal statistics. i. a two-dimensional model with an order-disorder