Nova proposta de melhoria do modelo de Lemaitre

Como mostrado, a maioria dos pesquisadores procuram melhorar as predições da lei de evolução do modelo convencional de Lemaitre (LEMAITRE, 1985 e 1996) introduzindo parâmetros adicionais no potencial de dissipação do dano FD. Nos modelos

de CHANDRAKANTH e PANDEY (1995), BONORA (1997) e BOUCHARD et al. (2011) as modificações feitas no potencial de dissipação do dano FD resultaram em leis

de evolução de dano que correspondem ao do modelo original de Lemaitre dividido por funções envolvendo as deformações plásticas equivalentes, mantendo-se o denominador de dano S constante. LIAN et al. (2014) sugeriram a adoção do potencial de dano original de Lemaitre, mas dividido por uma função de sensibilidade do ângulo de Lode $(!). MALCHER (2011) apresentou uma proposta para o potencial de dissipação do dano, considerando o denominador de dano como uma função da triaxialidade e do parâmetro de Lode D( , &). Em todos os modelos existem parâmetros que são baseados em observações fenomenológicas os quais são determinados por ensaios experimentais em corpos de provas, cujas propostas incluem os tipos e as quantidades de ensaios necessários.

MALCHER (2011) mostrou que o denominador de dano S, considerado constante por LEMAITRE (1985) e pela maioria dos pesquisadores, varia significativamente com a triaxialidade de tensão e para alguns materiais com o parâmetro de Lode também. Assim, nesta tese, a proposta de alteração do potencial de dissipação de dano do modelo original de Lemaitre segue a ideia de MALCHER (2011), no sentido de se considerar o denominador de dano variável com o estado de tensão, como função da triaxialidade de tensão e do parâmetro de Lode, ou seja, D = D( , &).

Assim, tomando por base a expressão do potencial de dissipação do dano do modelo de Lemaitre (Equação (2.30)), fazendo s0=1 e D = D( , &), obtém-se:

58 89 =_{2(1 − 4) q}D( , &) _{D( , &)t}−F (2.76)

Como nos modelos apresentados anteriormente, usando as expressões (2.35) e (2.39), a lei de evolução do dano proposta nesta tese pode ser escrita como:

4 = q_{D( , &)t ̅}−F (2.77)

Os desenvolvimentos realizados por McCLINTOCK (1968), RICE e TRACEY (1969), HANCOCK e MACKENZIE (1976), OYANE et al. (1980), ATKINS (1996), BAO e WIERZBICKI (2004a, 2004b), BAO (2004a, 2004b) e BAO et al. (2004), entre outros, mostraram que se pode prever com boa precisão o início da fratura pela determinação da seguinte expressão:

4 = ƒìíî _{̅ (η)}1

7 N ̅ (2.78)

onde, neste caso, D é o indicador de dano, ̅ (η) é a deformação equivalente de fratura em função da triaxialidade η. A fratura inicia quando o indicador de dano D aproxima- se de 1 (um). O objetivo dos autores era a determinação da curva de fratura no espaço da deformação equivalente de fratura e da triaxialidade de tensão, e a qualidade da expressão obtida para a deformação de fratura ̅ (η) era testada comparando os resultados de (2.78) com os de testes experimentais.

No modelo de Lemaitre o denominador de dano_{(D) é inversamente proporcional} à variável dano e à evolução do dano (equação (2.76)), tal como a deformação equivalente de fratura em relação ao indicador de dano, como mostra a equação (2.78) para as formulações citadas. Assim, uma hipótese fenomenologicamente razoável é considerar a lei de variação do denominador de dano semelhante à da deformação de fratura. Logo, nesta nova proposta de modificação do modelo de Lemaitre o denominador de dano será tomado como uma função da triaxialidade de tensão e do parâmetro de Lode, com uma forma de variação semelhante àquela que represente a deformação equivalente de fratura para o material.

Para isto, tomou-se como base para adaptação da função denominador de dano o estudo desenvolvido por BAI (2007) e BAI e WIERZBICKI (2010), onde o critério de

59 fratura de Mohr-Coulomb foi estendido para descrever a fratura dúctil de sólidos isotrópicos. A expressão desenvolvida pelos autores para a superfície de fratura ( ̅ ( , !̅)) é uma função da triaxialidade de tensão ( ) e do ângulo de Lode normalizado (!̅), sendo !̅ = 1 − (2 ê)⁄ arccos &. Na equação existem 4 (quatro) parâmetros, cuja determinação depende de ajuste a resultados de testes experimentais.

Um estudo paramétrico realizado por BAI e WIERZBICKI (2010) usando a equação desenvolvida, revelou que a superfície de deformação equivalente de fratura ( ̅ ( , !̅)) é uma função monotônica da triaxialidade de tensão ( ) e tem uma variação hiperbólica com ângulo de Lode normalizado (!̅). As formas das superfícies de deformação de fratura geradas pela equação Mohr-Coulomb para os aços 1045 e DH-36 estão mostradas na Figura 2.2 (BAI, 2007).

Como foi proposto, a função denominador de dano deve ser semelhante à função da superfície de deformação equivalente de fratura, e evidentemente, como são grandezas distintas, os coeficientes dos parâmetros variáveis é que vão definir seus valores. Baseado nestas observações e considerando a hipótese assumida no elemento finito tipo sólido, a função adotada para o denominador de dano é:

D( , &) =_{G(0,5 + ) + I(1 − & ) + i| |}1 (2.79)

Sendo os coeficientes G, I e i determinados para ajustar os valores do denominador de dano no início da fratura D( , &) em ensaios experimentais, substituindo-se os correspondentes valores de e &. Isto significa que serão necessários três ensaios para se formar um sistema de três equações com as incógnitas G, I e i. Caso só se disponha de resultados experimentais para dois ensaios, é possível fazer i = 0 na equação (2.79) sem perda da qualidade de previsão do denominador de dano, podendo em alguns casos apenas exigir um número maior de tentativas para sua determinação.

Na equação (2.10) é mostrado que para o estado plano de tensão (σ3 = 0) o

parâmetro de Lode (ξ) é uma função da triaxialidade de tensão (η). Neste caso, a deformação equivalente de fratura ̅ ( ) poderá ser colocada em função apenas da triaxialidade de tensão ( ). Para o elemento finito do tipo casca, onde σ3 = 0, seguindo a

60 mesma ideia anterior, se tomará o denominador de dano D( ) com uma forma de variação semelhante à da deformação de fratura ̅ ( ), como a mostrada na Figura 2.1.

As curvas da Figura 2.1 tiveram origem nas observações de BAO e WIERZBICKI (2004a), BAI (2007), BAI e WIERZBICKI (2010) em relação ao comportamento da deformação equivalente de fratura em função da triaxialidade de tensão para diferentes ligas de alumínio e aços com variadas características, e para as quais ajustaram curvas aos resultados experimentais. LEE (2005), considerando os 3 (três) trechos de triaxialidade de tensão, onde se percebeu variações diferentes da deformação equivalente de fratura, ajustou aos resultados experimentais com equações simples válidas para qualquer material, como as expressões dadas abaixo:

̅ ( ) = ‡ ˆˆ ‰ ˆˆ Š _{1 + 3 −}I 1_{3 < ≤ 0} 9(G − I) + I 0 ≤ ≤1₃ G 3 13 ≤ (2.80)

Assim, estas expressões para a deformação equivalente de fratura com os mesmos limites de validade foram adotadas para o denominador de dano, com a consideração adicional que para ≤ − 1 3‘ então D( ) = ∞. Com base na equação (2.80), o denominador de dano para o elemento de casca, pode ser escrito como:

D( ) = ‡ ˆˆ ˆ ‰ ˆˆ ˆ Š ∞ ≤ −1₃ I 1 + 3 −13 < ≤ 0 9(G − I) + I 0 ≤ ≤1₃ G 3 13 ≤ (2.81)

Sendo G e I determinados para fazer o ajuste do denominador de dano para dois ensaios nos quais se conheça o valor de e de D( ) na fratura, ou que podem ser determinados por simulação numérica do ensaio.

61 O procedimento para determinação do denominador de dano D( ) e ajuste dos coeficientes das equações em aplicações simples, onde se conhecem os resultados experimentais, será descrito em detalhe no Capítulo 3.