O conceito de volume no Ensino Fundamental

A ideia intuitiva de volume de um sólido, que faz parte do senso comum, é a quantidade de espaço por ele ocupado. O conceito de volume está associado à medida de uma grandeza e, portanto, estabelecemos uma unidade padrão de medida (cubo unitário) que possa servir de parâmetro de comparação.

Nessa perspectiva, o volume de um sólido será o número de vezes que esse cubo unitário (cuja aresta pode medir 1 cm, 1m, 1 dm, etc) cabe dentro do sólido que se quer mensurar o volume. A partir dessa constatação, o aluno poderá associar o cálculo feito para se chegar a esse “número” a uma fórmula.

O conceito de volume também envolve os quatro eixos apresentados anteriormente, a partir das ideias de Douady e Perrin-Glorian (1987, 1989, apud FACCO, 2003), podendo ser trabalhado a partir da associação de quatro quadros:

a) Quadro geométrico: constitui-se dos sólidos geométricos que, no caso desta pesquisa, são os prismas.

b) Quadro numérico: composto pelas unidades de medida que podem ser usadas para comparar com o sólido cujo volume se quer calcular.

possibilitando a comparação entre os sólidos, formando classes de equivalência dos volumes.

d) Quadro algébrico: relaciona as medidas do comprimento dos lados com a área, de forma que seja possível identificar uma expressão algébrica para o cálculo do volume.

Outro fator importante para o estudo do volume de sólidos é a associação da medida de volume de um sólido, isto é, do espaço que ele ocupa, à medida da sua capacidade, ou seja, o volume interno desse sólido.

É preciso desenvolver atividades que possibilitem ao aluno diferenciar as unidades de volume (cm³, dm³, m³, etc.) das unidades de capacidade (ml,l, etc.), percebendo a relação de equivalência entre elas. No Ensino Fundamental, é proposto o cálculo do volume do cubo e do paralelepípedo retângulo por meio de associação, composição e decomposição de figuras, baseando-se no Principio de Cavalieri18.

A demonstração formal desse teorema no 9º ano não é conveniente, pois envolve a utilização da teoria de integração de funções reais. Contudo, tomando-o como um postulado (LIMA, 1991), podemos apresentá-lo intuitivamente aos alunos nessa etapa de formação, utilizando blocos geométricos, cartas de baralho empilhadas, etc.

Quando o conceito de volume é trabalhado apresentando esses quatro eixos, o aluno percebe o volume como uma medida tridimensional, através da observação dos sólidos geométricos, entendendo que essa medida pode ser quantificada por meio da comparação com outros objetos, tomados como unidade padrão de medida.

Por fim, considerando o quadro algébrico, observando a relação das medidas dos lados do sólido (comprimento, largura, altura), o aluno pode descobrir uma forma de cálculo do volume.As atividades propostas nesta pesquisa pretendem abordar esses quatro eixos (ou quadros), de maneira que o aluno construa o conceito de volume e possa identificar a forma algébrica de cálculo para qualquer prisma.

O conceito de volume no livro didático

Analisando novamente a coleção adotada pela escola de 2008 a 2010, “Matemática e realidade” (IEZZI, DOLCE, MACHADO, 2005), destacamos a forma com que o conceito de volume é abordado e como é trabalhado o cálculo.

5 série ( 6º ano), segundo Iezzi, Dolce e Machado (2005 a)

18 _{O princípio de Cavalieri diz “Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B}

− O assunto é tratado na unidade 24, localizada no final do livro.

− Inicia a unidade mostrando desenhos de objetos e pessoas, destacando que todos eles são constituídos de matéria e, portanto, possuem forma e ocupam um lugar no espaço. − Define volume como sendo “a quantidade de espaço ocupado por um sólido” que pode

ser medido, através da verificação de quantas vezes uma unidade de medida escolhida cabe dentro do sólido.

− Ilustra a definição dada através de desenhos de cubos e pirâmides usados como unidade de medida.

− Apresenta os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico, usando o desenho de um cubo de 1 dam de aresta, para demonstrar quantos cubos de 1m de aresta cabem dentro dele. − Relaciona os múltiplos e submúltiplos em uma tabela onde as transformações são

sugeridas pela multiplicação por 1000.

− Relaciona uma lista de exercícios de transformação de unidades sem problematizar. − Apresenta o cálculo do volume de um paralelepípedo através de desenho que mostra os

cubos unitários que formam o bloco, chegando então à fórmula:

- O cálculo do volume de um cubo não é ilustrado através do desenho mostrando os cubos unitários. Usa o desenho do cubo com as medidas e apresenta a fórmula:

− Propõe cinco problemas de aplicação da fórmula sem ilustração.

− Define capacidade como o volume interno de um recipiente e mostra um desenho de um cubo de aresta 1 dm e um recipiente graduado marcando 1 litro, para mostrar que 1dm³ = 1 litro.

− Apresenta a tabela de unidades de medida de capacidade com seus múltiplos e submúltiplos, mostrando que a transformação das unidades é possível quando multiplicamos ou dividimos por 10.

− Só propõe um problema envolvendo volume e capacidade. Todos os exercícios são de transformação de unidades.

6ª, 7ª e 8ª séries (7º , 8º e 9º anos)

O volume de um paralelepípedo retângulo (ou bloco retangular) é igual ao produto do seu comprimento pela sua largura e altura (p.274).

O volume de um cubo é igual a um produto de três fatores iguais à medida da aresta (Matemática e Realidade ( p.275).

− Não trabalha o conteúdo de volume.

Podemos observar que o tema em questão é abordado somente na 5ª série (6º ano). Não é sugerida nenhuma manipulação ou experimentação para entendimentos do conceito nas atividades propostas. Somente nas orientações para o professor é sugerido que seja construído com a turma o cubo de 1m e 1 dm de aresta para relacionar m³ com cm³.

Para Lima (1991, Introdução, s/p):

Não é demais repetir que uma atitude passiva na aprendizagem leva a um conhecimento incompleto, inseguro e efêmero. Para aprender as diversas facetas do assunto, ganhar confiança e gravar de modo permanente aquilo que se aprendeu é necessária a experiência, repetidas vezes, de transformar interrogações em afirmações... É preciso duvidar, questionar, indagar, conjecturar. Procurar caminhos, imaginar construções, pesquisar interconexões, forçar o raciocínio e exercitar a mente.

A abordagem sugerida nesta coleção, com algumas exceções do Manual do professor, não privilegia a construção do conhecimento por parte do aluno, apresentando diretamente os conceitos e fórmulas.

Tentando fazer o caminho inverso, nesta pesquisa buscamos desenvolver estratégias educacionais voltadas à construção do conhecimento, no intuito de minimizar as dificuldades no ensino e aprendizagem de Geometria, pois estas precisam ser vencidas para que os alunos tenham acesso ao conhecimento geométrico e possam utilizar-se dele para resolver problemas do cotidiano e ampliar sua visão do mundo.

Propomos uma abordagem dos conteúdos de área e volume no 9º ano do Ensino Fundamental, utilizando a manipulação de objetos e materiais em um contexto de experimentação19 que auxilie o aluno na construção dos conceitos e mostre sua aplicação em situações práticas que venham trazer significado aos conteúdos e que motivem a realização das atividades.

No capítulo 3, apresentado a seguir, relatamos a metodologia usada nesta pesquisa.

CAPÍTULO 3.

19_{A experimentação aqui será entendida como a possibilidade de manipular de diferentes formas, oferecendo}