O discipulado

1.1.2 Définition d’un modèle géologique par frontières . . . . 16 Entités d’un modèle géologique . . . . 16 Entités topologiques. . . . 16 Entités géologiques. . . . 17 Plongement géométrique des entités topologiques . . . . 17 1.2 Définition de la validité d’un modèle géologique . . . . 18 1.2.1 Validité topologique . . . . 18 Contraintes supplémentaires induites par les entités géologiques 19 1.2.2 Validité géométrique . . . . 19 1.2.3 Cohérence entre la topologie et la géométrie . . . . 20 1.3 Typologie des défauts rencontrés . . . . 21 1.3.1 Défauts sémantiques . . . . 21

Défauts sémantiques géométriques : incohérences du niveau de détail . . . . 22 Défauts sémantiques topologiques : non-sens géologiques . . . . 22 1.3.2 Défauts morphologiques . . . . 22 Défauts morphologiques géométriques . . . . 23 Défauts morphologiques topologiques . . . . 25 1.3.3 Conclusion . . . . 26

De la conception numérique d’un modèle géologique à son utilisation pour une ap-plication donnée, il est parfois indispensable d’adapter ce modèle. En effet, les caracté-ristiques du modèle conçu ne correspondent pas nécessairement aux exigences de cette application. Au regard d’une application, certains éléments du modèle peuvent même apparaître comme des défauts rendant le modèle inutilisable. Dans tous les cas, la défini-tion des critères de validité d’un modèle dépend de l’applicadéfini-tion. De la même manière, il existe ainsi différentes stratégies de réparation et de simplification de modèles qui dé-pendent de l’application [Attene,2010].

Dans ce chapitre, je présente la définition d’un modèle représenté par frontières ainsi que le vocabulaire associé, nécessaire à la compréhension de cette thèse. (Section 1.1). Je propose, par la suite, une définition de la validité des modèles géologiques 2D et 3D, sur laquelle s’appuie cette thèse (Section 1.2) et une catégorisation des défauts que l’on peut rencontrer sur des modèles géologiques représentés par frontières (Section 1.3).

1.1 Les modèles géologiques représentés par frontières

1.1.1 Types de représentation des modèles géologiques

Il existe plusieurs représentations possibles de modèles géologiques en 2D et en 3D. Une des représentations les plus simples est la grille cartésienne : le modèle géologique est découpé en éléments cubiques réguliers qui représentent des unités de roches, exac-tement comme une photographie numérique est découpée en pixels colorés. L’ensemble des éléments (cubes ou voxels en 3D, carrés ou pixels en 2D) permet de définir une ap-proximation des volumes rocheux du sous-sol (Figure 1.1-a).

D’autres représentations s’appuient également sur un découpage du volume de sous-sol représenté en éléments unitaires. Par exemple, les grilles stratigraphiques sont des grilles curvilinéaires dont les éléments hexaédriques sont irréguliers et alignés sur les structures stratigraphiques (Figure 1.1-b). Ces grilles constituent une grande partie des modèles utilisés pour la simulation d’écoulements, notamment dans des réservoirs d’hydrocarbures dans l’industrie pétrolière [Ponting,1989;Farmer,2005]. Des éléments volumiques différents peuvent être utilisés pour partitionner l’espace : maillages irrégu-liers basés sur des éléments tétraédriques ou des éléments polyédriques [p. ex. grilles PEBI,Heinemannet al.,1989].

Un modèle géologique peut également être représenté par une modélisation impli-cite, représentant le modèle géologique en tout point par un champ scalaire (ou une com-binaison de plusieurs champs), c’est-à-dire une fonction deRn dansR (où n est la di-mension de l’espace). Certains objets géologiques, comme les horizons stratigraphiques, sont alors associés à des isovaleurs du champ scalaire. Les volumes rocheux sont eux représentés par des intervalles continus de valeurs du champ scalaire (Figure 1.1-c).

À l’instar des modèles générés en CAO, les modèles géologiques peuvent être repré-sentés par un assemblage d’entités topologiques. Ces entités représentent les éléments

(a) Grille cartésienne (b) Grille curvilinéaire

(c) Modélisation implicite (d) Représentation par frontières

Champ scalaire

FIGURE1.1 –QUATRE REPRÉSENTATIONS POSSIBLES D’UNE COUPE GÉOLOGIQUE(MO

-DÈLES EN DEUX DIMENSIONS). Ce modèle comporte trois couches de roches de natures différentes (représentées par des couleurs différentes), plissées et faillées.

géologiques constitutifs du modèle comme les discontinuités tectoniques et stratigra-phiques, ainsi que les contours des objets sédimentaires (chenaux, levées, etc.). L’en-semble des entités géologiques définissent ainsi un découpage de l’espace et les volumes de roche du modèle sont représentés par leurs frontières. Cette représentation (Figure 1.1-d)est nommée « représentation par frontières » , appelés aussi B-Rep¹ [Requicha,1980;

Mäntylä,1988;Hoffmann,1989].

1.1.2 Définition d’un modèle géologique par frontières

Dans cette thèse, les modèles géologiques étudiés sont représentés par leurs fron-tières. Les premières représentations de modèles géologiques par frontières ont été défi-nies dans les années 1980 [Gjøystdalet al.,1985;Weiler,1988]. Je présente ici une défini-tion des modèles géologiques par frontières, en 2D et 3D, inspirée de la définidéfini-tion utilisée dans la bibliothèque RINGMesh [Pellerinet al.,2017], elle-même adaptée de la définition des modèles donnée dans le logiciel Gmsh [logiciel combinant des outils de CAO et des outils de génération de maillages, Geuzaine et Remacle,2009].

Sauf indications contraires, les définitions suivantes seront généralisées en dimen-sion arbitraire, afin d’inclure les coupes et les cartes géologiques en deux dimendimen-sions et les modèles géologiques en trois dimensions.

Entités d’un modèle géologique

Dans cette thèse, un modèle géologique 2D ou 3D est composé de deux types d’en-tités : les end’en-tités topologiques qui représentent les composantes du modèle et les end’en-tités géologiques qui permettent d’ajouter une signification géologique à ces composantes.

Entités topologiques. Un modèle géologique est une composition de plusieurs entités. Parmi ces entités, les entités topologiques sont les entités de base utilisées pour décrire les objets géologiques du modèle ainsi que les relations entre ces objets. Les entités topolo-giques sont : le Coin, la Ligne, la Surface et la Région (uniquement en 3D). Les conditions sur ces entités permettant d’assurer leur validité seront exposées plus loin (Section 1.2). Les relations entre ces entités sont des relations d’incidence, et de manière réciproque des relations de bordure (Figure 1.2-b) :

. Une Région 3D est bordée par une ou plusieurs Surfaces, auxquelles elle est inci-dente.

. Une Surface est soit fermée (en 3D seulement), soit délimitée par une ou plusieurs Lignes, auxquelles elle est incidente.

. Une Ligne est délimitée par un Coin (dans le cas d’un Ligne fermée) ou deux Coins, auxquels elle est incidente.

. Un Coin borde une ou plusieurs Lignes.

Deux entités incidentes (p. ex. deux Surfaces) à une même entité (p. ex. une Ligne) sont topologiquement adjacentes. L’ensemble des relations d’incidence forment ce qu’on

(a) Modèle géologique Coin Ligne Surface (b) Connectivité Coin Ligne (c) Géométrie Surface Relation d'incidence

FIGURE 1.2 –CONNECTIVITÉ ET GÉOMÉTRIE D’UN MODÈLE GÉOLOGIQUE 2D REPRÉ

-SENTÉ PAR FRONTIÈRES (a) Coupe géologique composée de trois couches et d’une faille inverse. (b) La connectivité du modèle correspond aux relations d’incidence/bordure entre les entités topologiques (Coins, Lignes et Surfaces). Ces relations sont représentées sous la forme d’un graphe orienté. (c) La représentation géométrique de chaque entité est définie par une discrétisation appelé maillage. Modifié d’aprèsAnquezet al.[2019].

appelle la connectivité du modèle géologique, qui peut être représentée par un graphe orienté (Figure 1.2-b).

Les entités topologiques d’un modèle géologique sont assimilables aux pièces (en anglais patches) qui sont assemblées pour construire des modèles en CAO. En général, ces pièces sont généralement dessinées en utilisant des surfaces paramétriques [p. ex. par des NURBS,Piegl et Tiller,1987] alors que dans cette thèse, leur définition et leurs relations d’adjacences sont dissociées de leur représentation géométrique.

Entités géologiques. Les entités géologiques d’un modèle sont formées par un regrou-pement des entités topologiques de base. Ces entités permettent d’ajouter une significa-tion géologique et d’étiqueter un groupe d’entités topologiques. Par exemple, des Lignes en 2D (respectivement des Surfaces en 3D) peuvent être regroupées en une unique Inter-face géologique représentant un horizon faillé. Contrairement aux entités topologiques, il est possible de définir un grand nombre de types d’entités géologiques : Contacts, In-terfaces, Réseaux de fractures, Couches, Blocs de faille,etc.

Plongement géométrique des entités topologiques

Le plongement géométrique d’une entité topologique est la description de sa forme dans l’espace. Cette géométrie peut être représentée de différentes façons : par exemple, des courbes et des surfaces paramétrées, des maillages polygonaux et polyédriques,etc.

Dans cette thèse, on se restreindra aux modèles géologiques représentés géométrique-ment par des maillages (Figure 1.2-c) :

. La géométrie d’une Région 3D est déterminée par un maillage polyédrique.

. La géométrie d’une Surface est déterminée par un maillage polygonal.

. La géométrie d’une Ligne est déterminée par un maillage composé de segments

adjacents.

. La géométrie d’un Coin est déterminée par une position géométrique.

Dans cette thèse, j’ai choisi de caractériser un modèle géologique représenté par frontières comme la combinaison de deux composantes : le plongement géométrique de chaque entité topologique du modèle et les relations de connectivité entre ces entités topologiques. Je considère que ces deux composantes sont indépendantes : les entités to-pologiques permettent de définir la connectivité entre les entités géologiques du modèle, leur plongement géométrique permet de définir la position dans l’espace de ces entités géologiques. Il est donc possible que la géométrie d’entités topologiques ne soit pas en accord avec la connectivité définie entre ces entités, par exemple si deux entités topolo-giques connectées n’ont pas d’éléments en commun. En plus de l’invalidité topologique (Section 1.2.1) et de l’invalidité géométrique (Section 1.2.2), ceci représente un troisième type d’invalidité (Section 1.2.3).