O dual de um semigrupo

2.8 O dual de um semigrupo

Seja S um operador linear com dom´ınio, D(S), em X. Lembre-se que o adjunto S^∗ de S ´e um operador linear de D(S^∗) ⊂ X^∗ → X∗ definido da seguinte maneira

D(S^∗) = {x^∗ ∈ X^∗; ∃ y^∗ ∈ X^∗; hx^∗, Sxi = hy^∗, xi, para todo x ∈ D(S)}. (2.119) Se x^∗ ∈ D(S∗), ent˜ao y^∗ = S^∗x^∗ onde y^∗ ´e o elemento de X^∗ que satisfaz (2.119). Lema 2.47. Seja S um operador limitado em X. Ent˜ao S^∗ ´e um operador limitado em X^∗ e kSk_L(X) = kS^∗k_L(X∗).

Prova: Para todo x^∗ ∈ X∗, hx^∗, Sxi ´e um funcional linear limitado em X, pelo teorema da representa¸c˜ao de Riesz 13, existe um ´unico elemento y^∗ ∈ X∗, para o qual

13

hy∗, xi = hx^∗, Sxi e ent˜ao D(S^∗) = X^∗. Al´em disso, kS^∗k_L(X∗) = sup kx∗k_X∗≤1 kSx^∗k_X∗ = sup kx∗k≤1 sup kxk≤1 |hS^∗x^∗, xi| = sup kxk≤1 sup kx∗k≤1 |hx^∗, Sxi| = sup kxk≤1 kSxk_X = kSkL(X).  Lema 2.49. Seja A um operador densamente definido em X. Se λ ∈ ρ(A), ent˜ao λ ∈ ρ(A^∗) e

ρ(λ : A^∗) = ρ(λ : A)^∗.

Prova: Pela defini¸c˜ao de adjunto, temos (λI − A)^∗ = λI^∗− A∗, onde I^∗ ´e o operador identidade em X^∗. Desde que R(λ : A) ´e um operador linear limitado em X, pelo Lema 2.47, R(λ : A)^∗ ´e um operador linear e limitado em X^∗. Note que λI^∗− A∗ ´e injetiva. De fato, suponha x^∗ 6= 0 e (λI∗− A∗)x^∗ = 0, ent˜ao

0 = h(λI^∗− A^∗)x^∗, xi = h(λI − A)^∗x^∗, xi = hx^∗, (λI − A)xi, para todo x ∈ D(A). Mas λ ∈ ρ(A), R(λI − A) = X e portanto x^∗ = 0. O que ´e absurdo, logo λI^∗− A∗ ´e injetiva. Agora, se x ∈ X, x^∗ ∈ D(A), ent˜ao

hx^∗, xi = hx^∗, (λI − A)R(λ : A)xi = h(λI − A)^∗x^∗, R(λ : A)xi, al´em disso,

R(λ : A)^∗(λI^∗− A^∗)x^∗ = x^∗, para todo x ∈ D(A^∗). (2.120)

fun¸c˜ao u ∈ L^p0 tal que

hϕ, f i = Z

uf, para todo f ∈ L^p. Al´em disso,

kuk_Lp0 = kϕk_(Lp)∗. Prova: Ver [4], p. 97, Teorema 4.11.

Por outro lado, se x^∗ ∈ X∗ e x ∈ D(A), ent˜ao

hx^∗, xi = hx^∗, R(λ : A)(λI − A)xi = hR(λ : A)^∗x^∗, (λI − A)xi, o que implica

(λI^∗− A^∗)R(λ : A)^∗x^∗ = x^∗, para todo x ∈ X^∗. (2.121) Usando (2.120) e (2.121) segue que λ ∈ ρ(A^∗) e que R(λ : A^∗) = R(λ : A)^∗.

 Seja {T (t)}_t≥0 um C₀−semigrupo em X. Para t > 0 seja T (t)∗ o operador adjunto de T (t). Da Defini¸c˜ao de operador adjunto fica claro que a fam´ılia {T (t)^∗}_t≥0, de operadores lineares e limitados em X^∗, satisfaz as propriedades de semigrupo. Por isso, essa fam´ılia ´e chamada de semigrupo adjunto de T (t). O semigrupo adjunto contudo, n˜ao necessariamente ´e um C0−semigrupo em X∗ j´a que a aplica¸c˜ao T (t) 7→ T (t)^∗ n˜ao necessariamente conserva a continuidade forte de T (t).

Antes de enunciar e provar o resultado principal desta se¸c˜ao que estabelece a rela¸c˜ao entre os semigrupos {T (t)}_t≥0 e {T^∗(t)}_t≥0 e seus geradores infinitesimais n´os precisa-mos de mais uma defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.14. Sejam S um operador linear em X e Y um subespa¸co de X. O opera-dor ˜S onde D( ˜S) = {x ∈ D(S) ∩ Y ; Sx ∈ Y } definido por ˜Sx = Sx, para todo x ∈ D( ˜S), ´e chamado de parte de S em Y.

Teorema 2.50. Seja {T (t)}_t≥0 um C₀−semigrupo em X com o gerador infinitesimal A e seja {T∗(t)}_t≥0 o seu semigrupo adjunto. Se A^∗ ´e o adjunto de A e Y^∗ ´e o fecho de D(A^∗) em X^∗ ent˜ao a restri¸c˜ao T (t)+ de T (t)^∗ a Y^∗ ´e um C₀−semigrupo em Y∗. O gerador infinitesimal A+ de T (t)+ ´e a parte de A^∗ em Y^∗.

Prova: Uma vez que A ´e o gerador infinitesimal de {T (t)}_t≥0, pelo Teorema 2.30 existem constates ω e M tais que para todo real λ, λ > ω, λ ∈ ρ(A) e

kR(λ : A)nk_L(X) ≤ ^M

(λ − ω)n n = 1, 2, . . . . (2.122) Usando os Lemas 2.47 e 2.49 segue que se λ > ω, λ ∈ ρ(A^∗) ent˜ao

k(R(λ : A)^∗)ⁿkL(X) = kR(λ : A^∗)ⁿkL(X)= kR(λ : A)ⁿkL(X) ≤ ^M

(λ − ω)n n = 1, 2, . . . . (2.123)

Seja J (λ) restri¸c˜ao de R(λ : A^∗) em Y^∗. Temos kJ(λ)nk_L(X) ≤ ^M

(λ − ω)n (2.124) e pela identidade do resolvente

J (λ) − J (µ) = (µ − λ)J (λ)J (µ), para todos λ, µ > ω, (2.125) e ainda pelo Lema 2.15

lim

λ→∞λJ (λ)x^∗ = x^∗, para todo x^∗ ∈ Y^∗. (2.126) Usando (2.125), (2.126) e o Corol´ario14segue que J (λ) ´e um resolvente de um operador linear fechado A⁺, densamente definido em Y^∗. Desse fato e de (2.124), o Teorema 2.30 afirma que A⁺´e o gerador infinitesimal de um C₀−semigrupo T (t)+em Y^∗. Para x ∈ X e x^∗ ∈ Y∗ temos por defini¸c˜ao

* x^∗,  I − ^t nA −n x + = *  I − ^t nA⁺ −n x^∗, x + , n = 1, 2, . . . . (2.128)

Fazendo n → ∞ em (2.128) e usando o Teorema 15, temos

hx^∗, T (t)xi = hT (t)⁺x^∗, xi (2.129) e para x^∗ ∈ Y∗, T (t)^∗x^∗ = T (t)+x^∗ e T (t)+´e a restri¸c˜ao de T (t)^∗ em Y^∗. Para concluir a prova, vamos mostrar que A+ ´e a parte de A^∗ em Y^∗. Seja x^∗ ∈ D(A∗) tal que

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Corol´ario 2.51. Sejam ∆ um subconjunto ilimitado de C e J(λ) um pseudo resolvente em ∆. Se existe uma sequˆencia {λ_n} ∈ ∆ tal que |λ_n| → ∞ quando n → ∞ e

lim

n→∞λnJ (λn)x = x, para todo x ∈ X, (2.127) ent˜ao J (λ) ´e o resolvente de um ´unico operador linear fechado A, densamente definido.

Prova:Ver [12]. p.37 Corol´ario 9.5

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Teorema 2.52. Seja {T (t)}t≥0um C0−semigrupo em X. Se A ´e o gerador infinitesimal de {T (t)}t≥0, ent˜ao T (t)x = lim h→0+  I − ^t nA −n x = lim h→0+ hn t^R n t ^{: A} in x, para todo x ∈ X e o limite ´e uniforme em t em qualquer intervalo limitado.

x^∗ ∈ Y∗ e A^∗x^∗ ∈ Y∗. Segue que (λI^∗− A∗)x^∗ ∈ Y∗ e

J (λ)(λI^∗− A^∗)x^∗ = (λI^∗ − A+)⁻¹(λI^∗ − A^∗)x^∗ = x^∗ (2.130) Assim, x^∗ ∈ D(A+) e aplicando (λI − A⁺) em (2.130), temos (λI^∗− A∗)x^∗ = (λI − A∗)x^∗, logo, A+x^∗ = A^∗x^∗. Portanto A+ ´e a parte de A^∗ em Y^∗.

 No caso especial onde X ´e um espa¸co de Banach reflexivo, temos o seguinte lema. Lema 2.53. Seja S um operador fechado densamente definido em X, onde X ´e um espa¸co de Banach reflexivo. Ent˜ao D(S^∗) ´e denso em X^∗.

Prova: Se D(S^∗) n˜ao ´e denso em X, ent˜ao existe um elemento x0 ∈ X tal que x0 6= 0 e hx^∗, x₀i = 0 para todo x∗ ∈ D(S∗). Desde que S ´e fechado e seu gr´afico X × X ´e fechado e n˜ao cont´em (0, x₀). Como consequˆencia do teorema de Hahn-Banach 16, existem x^∗₁, x^∗₂ ∈ X∗ tais que

hx^∗₁, xi − hx^∗₂, Sxi = 0, para todo x ∈ D(S) e

hx∗

1, 0i − hx^∗₂, x₀i 6= 0. A segunda equa¸c˜ao mostra que x^∗₂ 6= 0 e que hx∗

2, x₀i 6= 0, mas da primeira equa¸c˜ao seque que x^∗₂ ∈ D(S∗), o que implica hx^∗₂, x₀i = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Assim, D(S∗) = X^∗.

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Teorema 2.54 (Hanh-Banach). Seja p : X → R uma fun¸c˜ao satisfazendo p(λx) = λp(x), para todo x ∈ X e para todo λ > 0 p(x + y) = p(x) + p(y), para todos x, y ∈ X.

Seja Y ⊂ X um subespa¸co linear e seja g : Y → R um funcional linear tal que g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ Y.

Sobre essas hip´oteses, existe um funcional linear f : X → R que estende g, isto ´e, g(x) = f (x) para todo x ∈ Y, e que

f (x) ≤ p(x), para todo x ∈ Y. Prova: Ver [4]. p.1 Teorema 1.1

 Corol´ario 2.55. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e seja {T (t)}_t≥0 um C₀ −semi-grupo em X com o gerador infinitesimal A. O semi−semi-grupo adjunto {T (t)^∗}_t≥0 de T (t) ´e um C₀−semigrupo em X∗ que tem como gerador infinitesimal o adjunto A^∗ de A. Prova: ´E uma consequˆencia imediata do Teorema 2.50 e do Lema 2.53.

Defini¸c˜ao 2.15. Seja H um espa¸co de Hilbert com produto escalar (, ). Um operador A em H ´e dito sim´etrico se D(A) = H e A ⊂ A^∗, isto ´e, (Ax, y) = (x, Ay) para todo x, y ∈ D(A). A ´e dito auto-adjunto se A = A^∗. Um operador limitado U em H ´e unit´ario se U^∗ = U⁻¹.

Antes de enunciar e provar o teorema de Stones, apresentaremos dois fatos sem apresentar suas respectivas demonstra¸c˜oes.

(1) Todo operador adjunto ´e fechado;

(2) O operador U (t) ´e unit´ario se, e somente se R(U (t)) = H e U (t) ´e uma isometria. Teorema 2.56 (Stone). O operador A ´e um gerador infinitesimal de um C₀−grupo de operadores unit´arios em um espa¸co de Hilbert se, e somente se iA ´e auto-adjunto. Prova: Se A ´e um gerador infinitesimal de um C₀−semigrupo de operadores unit´arios {U (t)}_t≥0, ent˜ao A ´e densamente definido, pelo Corol´ario 2.9, e para x ∈ D(A)

− Ax = lim t→0+t⁻¹(U (−t)x − x) = lim t→0+t⁻¹(U (t)⁻¹x − x) = lim t→0+t⁻¹(U (t)^∗x − x) = A^∗x, (2.131)

o que implica que A = −A^∗ e portanto iA = −iA^∗ = (iA)^∗, ou seja, iA ´e auto-adjunto. A segunda igualdade ´e v´alida porque U (−t) e U (t)⁻¹ tem o mesmo gerador infinitesimal e a terceira igualdade ´e pela Defini¸c˜ao 2.15. Reciprocamente, se iA ´e auto-adjunto, ent˜ao A ´e densamente definido e A = −A^∗. Assim, para todo x ∈ D(A), temos

(Ax, x) = (x, A^∗x) = −(x, Ax) = −(Ax, x).

Logo, Re(Ax, x) = 0 para todo x ∈ D(A), isto ´e, A ´e dissipativo. Uma vez que A = −A∗, ent˜ao Re(A^∗x, x) = 0, para todo x ∈ D(A^∗) = D(A), da´ı A^∗ ´e dissipativo. Sabemos que A e A^∗ s˜ao operadores fechados e desde que A^∗∗ = A, segue que A e A∗ = −A s˜ao geradores infinitesimais de C₀−semigrupos de contra¸c˜ao em H (veja

Corol´ario 2.25). Se U₊(t) e U−(t) s˜ao semigrupos gerados por A e A^∗ respectivamente, definimos U (t) =    U₊(t) se t ≥ 0 U−(−t) se t < 0.

Pelo que vimos na se¸c˜ao 2.6, U (t) ´e um grupo de operadores lineares e limitados e desde que

(i) U (t)⁻¹ = U (−t); (ii) kU (t)k_L(X) ≤ 1; (iii) kU (−t)k_L(X) ≤ 1.

segue que R(U (t)) = X e U (t) ´e uma isometria para todo t ≥ 0. Portanto U (t) ´e um grupo de operadores unit´arios em H.