Para van Hiele ao ensinar geometria deve-se dar ao aluno uma formac¸˜ao intelectual que passa pelo seu valor educativo, est´etico e significado s´ocio-cultural. Este conte´udo matem´atico ´e desej´avel para todos, independentemente da carreira que ir˜ao seguir no futuro. Muitos profes- sores deixam de dar a ˆenfase comum a geometria devido a acreditar que esta ´e menos importante para os alunos que outros t´opicos da matem´atica. Estes se esquecem que o estudo da geome- tria ´e necess´ario no que diz respeito a sua aplicac¸˜ao em outras disciplinas. No entanto, n˜ao ´e adequado mencionar isso como uma meta, mas evidenciar o ensino de geometria como objetivo por si s´o, sendo apenas uma consequˆencia sua utilizac¸˜ao em outros conte´udos.
Em sua tese van Hiele cita que, baseado em sua experiˆencias, ´e raro que alunos (de 6 e 7 anos) orientados em programas estruturados de ensino de geometria ao final do ano letivo con- tinuem a ter problemas na distinc¸˜ao entre retˆangulos, losangos e quadrados, quando analisados visualmente, mesmo que essa habilidade n˜ao seja o comum para essa faixa de idade. O profes- sor comec¸ando a geometria baseada em uma estrutura visual pr´e-existente fazendo os alunos acompanhar conscientes na formac¸˜ao do conte´udo e preenchendo as lacunas que eventualmente v˜ao se formando, facilitar´a a abordagem das formas abstratas da geometria.
Na ´epoca da elaborac¸˜ao de sua tese, van Hiele citava que a formac¸˜ao da compreens˜ao em geometria poderia ser dividida no seguinte processo:
1. Formac¸˜ao da estrutura no campo visual.
2. Aprendizagem de palavras diferentes, pr´oprias do conte´udo.
3. O processo de pensamento sobre as figuras comec¸a a se desenvolver cada vez mais no campo verbal, formando uma estrutura lingu´ıstica do conte´udo.
4. Com certa autonomia na estrutura lingu´ıstica, pode-se ver a conduc¸˜ao autom´atica para certas conclus˜oes ou a busca de justificativas `a essas conclus˜oes.
Quando o aluno conclui os trˆes primeiros itens, podemos dizer que n˜ao h´a compre- ens˜ao, mas ao concluir o quarto item seu pensamento torna-se mais estruturado e alcanc¸a uma maior compreens˜ao. O vocabul´ario pr´oprio do conte´udo torna-se comum e pode ser utilizado no dia-a-dia do aluno. Lembrando que a formac¸˜ao da compreens˜ao geom´etrica contempla os trˆes componentes da estrutura: visual, lingu´ıstica e l´ogica.
A formac¸˜ao da compreens˜ao pode ocorrer seguindo a seguinte descric¸˜ao: o aluno ini- cialmente se abre para o campo visual e em seguida comec¸a a explorar livremente os objetos de
estudo, em seguida o exerc´ıcio espec´ıfico comec¸a a fascinar o aluno que se concentra para a sua resoluc¸˜ao. Ap´os concluir a tarefa ele adquire uma nova estrutura e pode utiliz´a-la em situac¸˜oes com variac¸˜oes dos dados que ele utilizou anteriormente.
Para ter sucesso no processo de aprendizagem, ´e bom que os alunos percebam que s˜ao capazes de resolver problemas utilizando suas pr´oprias ideias, pois torna-se poss´ıvel au- mentar gradualmente o dom´ınio no processo de aprendizagem. Evitando que o aluno foque em uma aprendizagem do tipo algor´ıtmica (decorar processo de resoluc¸˜ao) trazendo esses a prestar atenc¸˜ao `as considerac¸˜oes ligadas a esses conte´udos, formando um conhecimento estruturado e organizado.
Temos ent˜ao que, se o aluno ´e capaz de tirar conclus˜oes a partir de dados e as situac¸˜oes novas n˜ao representam um obst´aculo para a apresentac¸˜ao dos resultados favor´aveis, podemos afirmar que esse compreendeu o que foi ensinado, visto que adaptou seu conhecimento aos novos dados que ele recebeu. Diferentemente se fosse passado ao aluno m´etodos de resoluc¸˜ao que seriam ´uteis somente nos casos espec´ıficos, n˜ao dando a ele conhecimento suficiente para adaptar-se conforme o problema sugerir no enunciado.
Por sua experiˆencia, van Hiele diz que conhecer muitos m´etodos de resoluc¸˜ao n˜ao deixa o aluno com mais facilidade, pelo contr´ario, saber muitos m´etodos dificulta na definic¸˜ao de qual ´e o melhor para cada caso. Deixando o aluno investigar e encontrar seus pr´oprios m´etodos far´a com que esse tenha menos dificuldade ao deparar-se a problemas com enfoques diferentes dos que ele j´a resolveu. Sem falar que concentrando-se em m´etodos estaremos favo- recendo um empobrecimento conceitual consider´avel, pois as experiˆencias permitem um enri- quecimento do conte´udo e gera uma verdadeira compreens˜ao.
Uma ferramenta que van Hiele cita por favorecer a compreens˜ao ´e a “resoluc¸˜ao de problemas”, como segue:
• Atrav´es dos problemas os alunos aprendem a tomar consciˆencia da maneira pela qual certas propriedades aparecem nas figuras e como tirar proveito deles.
• Atrav´es dos problemas os alunos praticam como encontrar as propriedades corretas em determinadas situac¸˜oes.
• Os problemas podem introduzir novas teorias.
• Os problemas podem ser usados para ajudar os alunos a aprender como encontrar a soluc¸˜ao correspondente a uma situac¸˜ao espec´ıfica.
• Os problemas podem ajudar a descobrir propriedades e verificar se estas s˜ao v´alidas para todo um conjunto de figuras.
• Problemas vem de encontro `a necessidade dos alunos de resolverem quebra-cabec¸as. • Os problemas podem contribuir para a integrac¸˜ao do assunto estudado.
Podemos perceber que os problemas tˆem muita utilidade. No entanto, ´e importante perceber, antes de aplicar um problema, se toda a base de recursos necess´arios na resoluc¸˜ao desse j´a foi trabalhada, caso contr´ario, esse ser´a t˜ao incompreens´ıvel ao aluno que poder´a servir de desmotivac¸˜ao ao inv´es de incentiv´a-lo a descobrir com seu pr´oprios conhecimentos.