3.2 Equação de Bethe-Salpeter
3.2.2 O Espectro de duas partículas na Aproximação em Escada
Para determinar estados ligados de duas partículas, em um primeiro passo, usaremos a chamada aproximação em escada. Para tanto o operador K é decomposto em K = L + W , onde L é um operador (local) independente de κ. Já o operador W é não local. O operador W depende de κ, porém pelo decaimento de K, da Eq. (I.3.2.8), seu núcleo é integrável. A idéia é que o operador L, que chamamos de aproximação em escada para K, seja dominante em relação ao operador W . Nosso objetivo nos próximos paragrafos é obter esta aproximação.
A aproximação em escada L, o temo dominante de K, é obtido expandindo-se D−10 −D−1em potências de κ e retendo-se apenas o termo constante. Para tal finalidade,
usamos o fato que D = D0+ DT, e lembramos que DT é a função correlação de quatro
pontos conexa (completamente truncada), e portanto, em κ = 0, DT se anula para
pontos não coincidentes (veja a Ref. Anjos, Veiga e O’Carroll [2005]), como pode ser visto escrevendo-se DT como derivada nas fontes do logaritmo da função geratriz.
Usando uma expansão de Taylor em κ = 0, encontramos
Dabαβ(x, y) = −2G4Pxy(1 − Sαβab)Iaℓ2(A′)− 2G22(1 − Pxy)Iaℓ2(A′)+ O(κ),
Dab0,αβ(x, y)) = −2G22Iaℓ2(A′)+ O(κ),
onde, Pxy = δx1x2δy1y2δy1x2, S
ab
αβ = δα1α2δβ1β2δβ1α2δa1a2δb1b2δb1a2, Iaℓ2(A′) é a identidade no
subespaço anti-simétrico de ℓ2(A′), onde G
4, dada na Eq. (I.1.1.7), é uma função de
M0, λ, N dada por
G4 =
¯
ψαa(x) ¯ψβa(x)ψαa(x)ψβa(x) |κ=0
Retendo apenas o termo constante na expansão em potências de κ, obtemos Labαβ(x, y1) = − 1 2G2 2 − 1 2G4 PxyIabαβ − Sαβab ≡ −ℵPxyIabαβ − Sαβab , (I.3.2.9)
com I denotando a matrix identidade (sN)2× (sN )2. Chamamos L de aproximação em
escada de K.
Com a decomposição K = L + W , podemos reescrever a equação de Bethe- Salpeter na forma
D = DL(Iaℓ2(A′)− W DL)−1, (I.3.2.10)
onde
DL = D0[Iaℓ2(A′)− LD0]−1. (I.3.2.11)
Cada uma das equações acima é novamente uma equação do tipo Bethe- Salpeter. Notamos que a diferença mais evidente entre elas, é que a Eq. (I.3.2.11) introduz um novo operador DL, que é dado como uma modificação do operador D0 pela
ação do operador L. Em palavras, a Eq. (I.3.2.11) nada mais é que a equação de Bethe- Salpeter escrita na aproximação em escada. De outro lado, a Eq. (I.3.2.10) mostra que o operador D é uma perturbação de DL, uma vez que W é pequeno. Como, a menos
de uma pequena perturbação, DL é essencialmente o operador D, as singularidades
das respectivas transformadas de Fourier ˜DL e ˜D devem estar próximas. E portanto,
pela representação espectral de D, as singularidades complexas de DL devem ficar
próximas aos pontos no espectro de duas partículas. No restante desta Seção, vamos nos concentrar apenas na aproximação em escada. Em outras palavras, vamos esquecer, por hora a Eq. (I.3.2.10), e nos concentrar em obter as singularidades de DL.
Seja ˆF a transformada de Fourier de F apenas na variável τ . A Eq. (I.3.2.11) pode ser explicitamente resolvida para o núcleo ˆDL resultando em (veja o Apêndice B)
ˆ
DL(~ξ, ~η, k) = ˜D0(~ξ, ~η, k) + ˆD0(~ξ,~0, k)
I + ℵ [I − S] ˆD0(~0,~0, k) ˆD0(~0, ~η, k). (I.3.2.12)
Portanto, a solução DL da equação de Bethe-Salpeter na aproximação em escada é
˜ Dab Lαβ(~ξ, ~η, k) = D˜ab0,αβ(~ξ, ~η, k) + X c,d,ζ,ǫ ˜ Dac0,αζ(~ξ,~0, k) ×I + ℵ [I − S] ˜D0(~0,~0, k) −1,cd ζ,ǫ ˜ Ddb 0,ǫβ(~0, ~η, k). (I.3.2.13)
Tomando k = (k0,~0), e usando a análise da função de dois-pontos, feita no capítulo
anterior, ˜Dab
0,αβ(~ξ, ~η, k) é analítica em k em toda região fora da banda de duas partículas
até pelo menos próximo ao limiar de três partículas, i.e. D˜0 é analítica em k ∈ [m(κ), 2m(κ)) ∪ (2m(κ) + W2, 3m), onde m(κ) é a massa de uma partícula dada na
Eq. (I.2.2.6) e W2 = 2[w(~π) − w(~0)] = 24κG2 + O(κ2) é a largura da banda de duas
partículas. É fácil ver que, para ℵ = 0 nenhum estado ligado ocorre uma vez que ˜
DL= ˜D0. Este caso ocorre, por exemplo, quando λ = 0, ou seja para férmions massivos
livres (caso gaussiano).
Pela Eq. (I.3.2.13), vemos que singularidades de ˜DL ocorrem somente como
soluções da equação
detI + ℵ [I − S] ˜D0(~0,~0, k)
= 0, (I.3.2.14)
(I + ℵ [I − S] ˜D0(~0,~0, k)). Na ordem dominante em κ, um cálculo imediato fornece
D0(~0,~0, τ ) = −2G2(~0, τ )(I−S), de forma que precisamos apenas verificar os autovalores
de I − 2ℵ ˜G2(~0, k
0)(I − S). Existem (sN )2 autovalores, que são dados abaixo
• λ1 = 1, sN (sN +1)2 vezes degenerado e associado a autovetores no subespaço
simétrico de R(sN )2
. Pela Eq. (I.3.2.14), não temos estados ligados associados a estes autovalores.
• λ2 = 1 − 2ℵ ˜G2(k0,~0), sN (sN +1)2 vezes degenerado e associado a autovetores no
subespaço anti-simétrico de R(sN )2
. Para estes autovalores, podemos encontrar estados ligados, se existirem ℵ e k0 tais que λ2 = 0.
Das conclusões acima vemos que a condição para a existência de estados ligados é dada por ˜ G2(k0,~0) = 1 2ℵ, (I.3.2.15) onde, ˜G2(k
0,~0) é dada no Lema I.3.2.A. Como discutimos anteriormente, para ℵ = 0,
não temos estados ligados. Mais ainda, podemos distinguir dois casos dependendo do sinal de ℵ. Para ℵ > 0, estados ligados podem ocorrer para valores de k0, tais
que ˜G2(~0, k
0) > 0 e, analogamente, para ℵ < 0 precisamos de valores de k0 onde
˜ G2(~0, k
0) < 0. Do Lema I.3.2.A, é fácil verificar que para m < Im (k0) < 2m (i.e.
abaixo da banda de duas partículas, mas acima da massa de uma partícula) temos ˜
G2(k
0) > 0, e portanto não há nenhum estado ligado para ℵ < 0 (caso da Dominação
Gaussiana). Já para 2m + W < Im (k0) < 3m, temos ˜G2(k0) < 0 e portanto nenhum
estado ligado para ℵ > 0 (caso da Subjulgação Gaussiana).
Em cada um dos casos (ℵ > 0 e ℵ < 0), onde podemos encontrar estados ligados precisamos obter os valores de k0 que satisfazem a Eq. (I.3.2.15) para um valor
de ℵ fixo. Desta forma procuramos as soluções da equação
2ℵX
τ
G2(0, τ )e2mτ0e−∆ετ0 = 1 , (I.3.2.16)
onde tomamos Im (k0) ∈ (m, 2m) ∪ (2m + W, 3m), −ik0 = 2m − ∆ε, m é a massa de
uma partícula e ∆ε é a energia do estado ligado medida em relação ao limiar de duas partículas.
Podemos obter as soluções da Eq. (I.3.2.16), através de um argumento intuitivo baseado no comportamento de ¯ψ1a(12)ψ1a(τ +12)
. Um argumento rigoroso usando convolução no espaço de momentos da condição acima e a representação espectral da função de dois pontos pode ser construído. Nosso objetivo é encontrar os valores de ∆ε que satisfazem a Eq. (I.3.2.16). Expandindo ¯ψ1a(0)ψ1a(x)
até a ordem dominante em κ, obtemos ¯ψ1a(12)ψ1a(τ0+ 12) ≈ κ|τ0|G|τ0|+1 2 . O comportamento
dominante segue da expansão em κ do numerador da função de dois pontos, dado por R ¯ψ(1
2)ψ(τ0+ 1
2)e−Sd ¯ψψ. Se as integrais Fermiônicas forem não nulas, então existe
uma cadeia de conexa de elos do tipo ¯ψΥψ conectando os dois pontos. Tomando a cadeia de menor comprimento resulta no termo dominante exibido acima. Para se controlar rigorosamente todas as contribuições, uma expansão em polímeros pode ser usada. Ainda, usando m(κ) da Eq. (I.2.2.6), obtemos uma condição para estado ligados na ordem dominante em κ,
2G22ℵ(1 − e−∆ε) = 1 , (I.3.2.17)
Seja εA a energia de ligação para o caso ℵ > 0. Como discutimos, este ponto
espectral aparece abaixo da banda de duas partículas. Com isto, a Eq. (I.3.2.17) implica em εA 0 = − ln(1 − γ) onde γ = 1 2ℵG2 2. (I.3.2.18) Nesta condição G4 > G22, de onde vem o nome Subjulgação Gaussiana e como salientado
acima o ponto espectral aparece abaixo da banda de duas partículas. Em outras palavras a energia de ligação é positiva, i.e. a energia do estado ligado é menor que a energia de duas partículas livres, o que justifica chamarmos este caso de atrativo. Para ℵ < 0, a energia de ligação é dada por
εR
0 = + ln(1 − γ) + W.
Aqui temos a Dominação Gaussiana, (G4 < G22). Esta solução da equação de Bethe-
Salpeter aparece acima da banda de duas partículas, de forma que nos referimos a este caso como caso repulsivo. Veja a Ref. Anjos e Veiga [2007] para uma outra
apresentação destes resultados.
Vamos agora dar uma demonstração rigorosa para a existência dos estados ligados na aproximação em escada mostrados acima. Consideraremos apenas o caso atrativo, i.e. vamos nos limitar a analisar o que acontece abaixo da banda de duas partículas. Portanto, fixamos ℵ > 0 e buscamos pontos espectrais abaixo e próximos do limiar de duas partículas. No que se segue iremos suprimir os índice A na energia de ligação do caso atrativo, que denotaremos apenas por ε0. Nossa estratégia
consiste em mostrar que nesta região existe uma única solução ε, para a equação ˆ
L(k0) ˆD0(k0)f = f , com −ik0 = 2m − ε. A idéia que usaremos para fazer isso consiste
em usar a decomposição de medida espectral dσ~p(E) para separar as contribuições
em ˆL(k0) ˆD0(k0). O argumento intuitivo que usamos no parágrafo acima, mostra
que ℵH1(k0), a contribuição dominante de ˆL(k0) ˆD0(k0) fornece sozinha um autovalor
próximo de 1, para ε suficientemente próximo de ε0. Assim, após separarmos as
contribuições em ˆL(k0) ˆD0(k0), precisamos mostrar que de fato ℵH1 fica próximo de
1 e que as contribuições restantes são suficientemente pequenas. O caso repulsivo pode ser tratado de maneira análoga, com pequenas alterações para as cotas do operador obtidas para o operador ˆL ˆD0. A transformação de staggering das Refs. Anjos, Veiga
e O’Carroll [2005], Veiga, Ioriatti e O’Carroll [2002] pode ser útil para esta, estabelecendo uma correspondência entre as propriedades espectrais nos casos atrativo e repulsivo.
Seguindo a estratégia delineada acima, vamos separar as contribuições de duas e três ou mais partículas para ˆL ˆD0. Usando o Lema I.3.2.A, obtemos uma representação
espectral para a transformada de Fourier na variável τ, ~τ = ~0 de ˆD0, que é dada por
2(2π)d Z ∞ 0 Z ∞ 0 Z Td sinh(E + E′)
cosh(E + E′) − cosh(2m − ε)cos ~p · ~η cos ~p · ~ξdσ~p(E)dσp~(E′)d~p.
(I.3.2.19) A transformada de Fourier de ˆL ˆD0f = f é −ℵ R TdH(~p, ε) ˜f (~p)d~p = ˜f (~p), com H(ε, ~p) = 2(2π)d Z ∞ 0 Z ∞ 0 sinh(E + E′)
cosh(E + E′) − cosh(2m − ε)dσ~p(E)dσ~p(E′). (I.3.2.20)
Hi(κ, ε) =R Hi(~p, ε)d~p, com H1(κ, ε) = 2(2π)d Z Td sinh(2ω(p)) cosh(2ω(p)) − cosh(2m − ε)d~p, H2(κ, ε) = 2(2π)d Z ∞ 0 Z Td sinh(E + ω(~p))
cosh(E + ω(~p)) − cosh(2m − ε)dˆσ~p(E)d~p, H3(κ, ε) = 2(2π)d Z ∞ 0 Z ∞ 0 sinh(E + E′)
cosh(E + E′) − cosh(2m − ε)dˆσ~p(E)dˆσ~p(E ′)d~p
e para ˆf (~p) = constante, estamos interessado no caso −ℵH(κ, ε) = 1. Tendo separado as contribuições para ˆL ˆD0, podemos passar para o problema de controlar a magnitude
de cada uma destas contribuições. Afim de controlarmos as contribuições de três ou mais partículas de H2 e H3, precisaremos de cotas superiores para a medida dˆσ~p(E),
esta cota é estabelecida no lema abaixo. Lema I.3.2.D A medida dˆσp~(E) satisfaz
ˆ
σ~p(R+) =
Z ∞
0
dˆσp~(E) = O(κ).
Demonstração - Da Proposição I.1.5, temos uma representação espectral para G(x0 =
0, ~x) e tomando a Transformada de Fourier nas coordenadas espaciais ˜ G(x0 = 0, ~x) = G(0,~0) +P|~x|>1G(x0 = 0, ~x)e−i~q~x = (2π)−dR∞ 0 dσ~q(E) = (2π)−dZ(~q, κ) + (2π)−dR∞ 0 dˆσ~q(E) Como G(x = 0) = G2 + O(κ2), |G(0, ~x)| 6 C κ B |~x| e Z(~q, κ) = (2π)−dG2+ O(κ) segue o resultado. Com o resultado acima, podemos estabelecer cotas para as contribuições de três ou mais partículas H2(ε) e H3(ε) e mostrar que essas contribuições são pequenas quando
ε está proxima da energia de ligação ε0 = − ln(1 − γ), γ = 2ℵG12. Também precisamos
próximo de ε0, de forma que ˆL(ε) ˆD0(ε) esteja proximo da unidade (veja Ref. Schor e
O’Carroll [2000a] para resultados análogos para o modelo de spins).
Lema I.3.2.E Existem δ > 0 e κ0 > 0 suficientemente pequenos, tais que H1 admite
extensão analítica para a região |ε − ε0| < 2δγ, e, nesta região, temos
|ℵH1− 1| < δγ , ℵ
∂H1
∂ε = − 1 − γ
γ [1 + O(δ)] + O(κ).
Mais ainda, H2 e H3 admitem extensões analíticas em ε para a região do plano complexo
onde |ε − ε0| < δγ, para |κ| < κ0. Nesta região, vale
|ℵHi| 6 ciκ, i = 2, 3 e ℵ∂H2 ∂ε 6κ2γ ℵ∂H3 ∂ε 6κ4γ. Demonstração - Reescrevemos a contribuição H1 na forma
H1(κ, ε) = 2(2π)d
Z
Td
(1 − e−ω)Z(~p, κ)2
1 − e2(m−ω)−ε− e−2(m+ω)+ε+ e−4ωd~p (I.3.2.21)
Da Proposição I.2.3, ω = − ln κ + ˜ω(κ, ~p) onde ˜ω(κ, ~p) é analítica e m − ω = ˜ω(κ,~0) − ˜ω(κ, ~p) = O(κ),
portanto as exponenciais, no lado direito da Eq. (I.3.2.21), são analíticas em κ. Escrevendo ε = ε0 + ∆ε, nós temos 1 − e−ε = γ + (1 − γ)(e−∆ε − 1) e por hipótese
|∆ε| < δγ. O primeiro termo no denominador do lado direito da Eq. (I.3.2.21), D = 1 − e2(m−ω)−ε− e−2(m+ω)+ε+ e−4ω, pode ser reescrito como
1 − e−ε+ 2e−ε(ω − m) Z 1
0
e−2x(ω−m)dx. Desta forma, o denominador da Eq. (I.3.2.21) é dado por
D = γh1 + O(1−γγ )|∆ε|e|∆ε|+ 2κ
γ(1−γ)e|∆ε|+ O(κ2)
i
≡ γ(1 + rd).
O jacobiano Z(~p, κ)2 pode ser aproximado, como Z(~p, κ)2 = Z2
e |∆N| 6 c5|κ|. Portanto ℵH1 = 1 + 2(2π)d γ ℵZ 2 0 Z r d 1 + rd d~p + 2(2π) d γ ℵZ 2 0 Z |∆N | 1 + rd d~p. Escolhemos κ0 como o maior |κ| satisfazendo
|κ| < δγ82, |κ| < γ(14−γ), c5|κ| < δγG
2 2
4 ,
obtemos a cota superior |ℵH1(k0, ε) − 1| < 2δγ, para ε suficientemente próximo de ε0.
Os integrandos de H2e H3podem ser cotados usando R0∞
R
Tddˆσ~p(E)d~p 6 c|κ|. As cotas
para ∂Hi
∂ε seguem de maneira similar.
As propriedades mostradas no Lema I.3.2.E, nos permitem mostrar que fixado um κ suficientemente pequeno (a rigor menor que o κ0 dado no Lema I.3.2.E), existe
uma única solução ε próxima de ε0 para a equação ˆL(ε) ˆD0(ε)f = f . Para fazermos
isto, tomamos Y = ℵH e
Yi = ℵHi, (I.3.2.22)
com i = 1, 2, 3. Para ℵ > 0 (e portanto estados ligados abaixo da banda de duas partículas), mostraremos que existe uma única solução ε para a equação Y (κ, ε) = 1, com κ pequeno o suficiente e ε próximo de ε0. A esta solução chamaremos εL(κ).
Quando tivermos mostrado isto, teremos demonstrado que existe, na aproximação em escada, um estado ligado de massa mL ≡ 2m − εL, e pelo discutido acima este estado
ligado se encontra abaixo da banda de duas partículas.
Para estudarmos as soluções da equação Y (κ, ε) = 1, notemos inicialmente que Y (0, ε) = (1−eγ−ε) e Y (0, ε0) = 1, de forma que, para |∆ε| < δγ, podemos escrever
Y (κ, ε0+ ∆ε) − 1 = Y1(0, ε0+ ∆ε) − Y1(0, ε0) + R(κ, ε0+ ∆ε)
≡ ∆Y1(0, ε0) + R(κ, ε0+ ∆ε)
onde
e R(κ, ε) = Yi(κ, ε) − Y1(0, ε) + Y2(κ, ε) + Y3(κ, ε). Por inspeção, verificamos que o
denominador de ∆Y1(0, ε0) é positivo para |∆ε| < γ, de forma que ∆Y1 < 0 para
∆ε > 0 e de outro lado para ∆ε < 0 implica em ∆Y1 > 0. Usando as cotas para H2
e H3 dada no Lema I.3.2.E, temos |Yi(κ, ε0 + ∆ε)| 6 c|κ|, i = 2, 3, e de outro lado
Y1(κ, ε0 + ∆ε) é contínua em κ = 0 e portanto, fixado κ pequeno o suficiente, vemos
que Y (κ, ε0+ ∆ε) − 1 < 0 para ∆ε > 0, enquanto Y (κ, ε0+ ∆ε) − 1 > 0 para ∆ε < 0 .
O comportamento das derivadas de Hi, i = 1, 2, 3, em ε dado no Lema I.3.2.E, mostra
que Y (κ, ε0 + ∆ε) − 1 é uma função analítica monotônicamente decrescente de ε, de
onde concluímos que existe uma única solução ε = εl tal que Y (κ, εl) = 1. E portanto,
para um dado κ suficientemente pequeno, temos, na aproximação em escada, um estado ligado degenerado abaixo da banda de duas partículas para ℵ > 0. A energia de ligação εL deste estado ligado está próxima do valor ε0 = − ln
1 − 1
2ℵG2
.
Para encerrarmos esta Seção vamos discutir brevemente quão próximos estão os valores ε e ε0. Façamos ε = ε0 + z, com |z| < δγ (de forma que, tomando κ
pequeno o suficiente, ε está na região definida no Lema I.3.2.E) e denotemos fκ(z) ≡
Y (κ, ε0+ z) − 1. É fácil ver que fκ(z) é analítica em z, de modo que as soluções zL de
fκ(zl) = 0, são dadas pela integral de Cauchy
zl= 1 2πi Z |z|=R z fκ(z) dfκ(z) dz dz,
onde R é uma constante positiva arbitrária ligeiramente menor que δγ. A inspeção da integral acima, nos leva a estimativa zl = O(κ). Com isso, a massa do estado ligado é
dada por
mL = 2m − (ε0+ zl) = 2m − | ln(1 − γ)| + O(κ).