2.7 Adjunto de um Operador Limitado em Espaços de Hilbert
4.2.1 O espectro do operador H
Considere o operador H de…nido na seção (2.5.1). Primeiro, veri…camos que ( I H) (an) = 1
n an ; 8 2 C
Se 2 f0g [ f1=k ; k 2 N g, então podemos de…nir o seguinte operador linear em `= 2(N ), como se pode veri…car por inspeção direta,
B (an) := an1
n
Também podemos veri…car que B é limitado e vale kB k 1
c , c := infn2N
1 n Veri…camos que B é o operador inverso de ( I H):
B ( I H) (an) = (an) = ( I H) B (an) ; 8 (an) 2 `2(N ) Isso signi…ca que o espectro de H está contido no conjunto f0g [ f1=k ; k 2 N g.
Agora, para k 2 N , o operador ((1=k) I H) não é invertível pois não é injetivo (seu núcleo contem a sequência
k n ): 1 kI H k n = 1 k 1 n k n = (0) Portanto, o espectro de H contem o conjunto f1=k ; k 2 N g.
Vamos analisar agora o caso de = 0. Primeiramente, considere o conjunto D0:= (an) 2 `2(N ) = n2a2n< 1
Por inspeção direta, veri…ca-se que D0 é um subespaço linear de `2(N ). Além disso, temos: (i) D06= `2(N ) pois, por exemplo, D0 não contem a sequência quadrado-somável (1=n) e (ii) D0 é denso em `2(N ) pois (evidentemente) contem os elementos da base Be,
k
n 2 D0 ; 8k 2 N
o que implica que o complementar ortogonal de D0 em `2(N ) é o subespaço trivial f(0)g: (an) 2 `2(N ) ; (an) 2 D?0 )D
(an) ; kn E
= ak = 0 8k 2 N ) (an) = (0) Podemos veri…car que H possui inversa de…nida em D0:
B0: D0! `2(N ) , B0(an) = (nan) Contudo, B0 não é limitado:
B0 kn = k kn ;
B0 kn
5 Cálculo Funcional Contínuo
A ação de polinômios sobre operadores A 2 L (H) é de…nida de modo natural: para um polinômio com coe…cientes complexos P (z) =Pn k=0akzk, de…nimos P (A) := n X k=0 akAk 2 L (H)
Essencialmente, o cálculo funcional contínuo extende essa ação para funções contínuas, preservando as propriedades algébricas.
Teorema 67 (Cálculo Funcional Contínuo)
Seja H um espaço de Hilbert e A : H ! H um operador linear limitado auto-adjunto. Então existe um único homomor…smo de *-álgebras
^A: C ( (A)) ! L (H) tal que:
i) A imagem ^A na função identidade, id : C ( (A)) ! C; z 7! z, é o operador A: ^
A(id) = A
ii) Continuidade: se (fn) C ( (A)) converge uniformemente para f 2 C ( (A)) então ^A(fn) 2 L (H) converge para ^A(f ) 2 L (H) em norma:
lim
n!1kfn f k1= 0 ) limn
!1
^
A(fn) ^A(f ) = 0 Além disso, vale:
iii) Isometria: (o que signi…ca, em particular, que ^A é injetiva) k ^A(f ) k = kfk1 ; f 2 C ( (A)) iv) Aplicação espectral:
^A(f ) = f ( (A)) ; 8f 2 C ( (A))
Observação 68 Destacamos a seguinte notação para as imagens da aplicação ^A: f (A) := ^A(f ) ; 8f 2 C ( (A))
O fato de ^A ser um homomor…smo signi…ca que a correspondência entre funções contínuas sobre o espectro de A e os operadores em L (H) preserva a estrutura algébrica.
Para provar este teorema utilizaremos um resultado particular (sobre polinômios) juntamente com o teorema de Stone-Weierstrass a …m de obtermos uma extensão do homomor…smo A de P para o conjunto C ( (A)).
Teorema de Stone Weierstrass16 [2, Teorema p.261] [7, Theorem 7.33 ] [4, Theorem 1.1 p.52] Seja X C um subconjunto compacto. Então o conjunto dos polinômios complexos de…nidos em X é denso no conjunto das funções contínuas de…nidas em X com respeito a topologia de…nida pela norma do supremo,
f 2 C (X) ; kfk1:= sup fjf (x)j ; x 2 Xg
Lema 69 Seja A : H ! H operador limitado auto-adjunto. Então A: P ! L (H) ; A(P ) := P (A) é um homomor…smo de *-álgebras. Prova. Considere P (z) =Pn k=0akzk e Q (z) =Pm l=0blzl e 2 C. Escreva P (z) = 1 X k=0 akzk ; Q (z) = 1 X l=0 blzl
onde ak= 0 para todo k > n e bl= 0 para todo l > m. Assim, valem: i) Linearidade: A(P + Q) = 1 X k=0 (ak+ bk) Ak = 1 X k=0 ak Ak + 1 X k=0 bk Ak = 1 X k=0 ak Ak + 1 X k=0 bk Ak = A(P ) + A(Q) :
ii) Preserva o produto: temos que
(P Q) (A) = 1 X k=0 ckAk onde ck = k X l=0 ak lbl para k = 0; 1; 2; ::: Como P (A) Q (A) = n X k=0 akAk ! m X l=0 blAl ! = 1 X k=0 eckAk ondeeck= k X l=0 ak lbl= ck; k = 0; 1; 2; ::: segue-se que P (A) Q (A) = (P Q) (A) e, portanto, A(P Q) = A(P ) A(Q).
iii) Preserva a conjugação:
A(P ) = P (A) = n X k=0 akAk= n X k=0 ak(A )k = n X k=0 ak Ak = n X k=0 akAk ! = ( A(P ))
onde a terceira igualdade segue do fato de A ser auto-adjunto.
Lema 70 Seja A : H ! H limitado (eventualmente A 6= A). Se P (z) é um polinômio, então (P (A)) = P ( (A)). Prova. (P (A)) P ( (A)) Seja w 2 (P (A)). Vamos analisar o polinômio q (z) = w P (z). Sejam
1; :::; n2 C as raizes de q, isto é,
q (z) = w P (z) = ( 1 z) ::: ( n z) Evidentemente w = P ( ), para todo i = 1; :::; n. Vale
Lema 71 Se A 2 L (H), então a sequência pn kAnk converge e vale lim n!1 n p kAnk = inf n2N n p kAnk
Prova. Dados m, n 2 N de…na rn(m) e qn(m), respectivamente, o resto e o quociente da divisão de m por n. Deste modo, m = qn(m) n + rn(m) onde qn(m), rn(m) 2 N e 0 rn(m) < n. Usando o fato de L (H) ser álgebra de Banach, podemos escrever
kAmk = Aqn(m)nArn(m)
kAnkqn(m)
kAkrn(m)
Assim,
kAmkm1 kAnkqn(m)m kAkrn(m)m
Observe que, como 0 rn(m) m < n m, vale o limite lim m!1 rn(m) m = 0 Além disso, sendo 1 = qn(m)n
m +rn(m) m , vale lim m!1 qn(m) n m = 1 ) limm !1 qn(m) m = 1 n Logo, para todo n 2 N
lim sup
m2N kAmkm1 lim sup
m2N kAnkqn(m)m kAkrn(m)m = kAnkn1
Portanto, lim supm2N kAmkm1 lim infn2N kAnk1n. Segue-se que a sequência kAnk1n converge e vale limn!1 pn
kAnk = infn2N pn
kAnk.
Teorema 72 (Teorema do Raio Espectral) Se A 2 L (H), então o raio espectral de A é rA= lim
n!1
n
p kAnk Prova. Se a série de Neumann 1
z
P1
n=0 Az n
converge então converge para o resolvente RA(z) = (zI A) 1 e, neste caso, z =2 (A). Como essa série converge (pelo Teste de Weierstrass) quando jzj > lim suppn
kAnk; pelo lema anterior, isso implica que rA lim suppn
kAnk. Portanto, temos que provar apenas que rA lim suppn
kAnk. Seguimos a demonstração de [8, Theorem 3.1.10, p.70]. Para iniciar, …xe arbitrariamente 2 L (H) , e seja F = RA; por de…nição F é analítica no exterior do disco f 2 C : j j rAg.17 A partir da série de Neumann do resolvente, obtemos a expansão em série de Laurent para F ,
F ( ) = 1 X n=0 (An) n+1 ; j j > kAk Isso implica que
lim
j j!1F ( ) = 0
Isso signi…ca que F é analítica no in…nito; consequentemente, a expansão de Laurent acima vale no exterior do disco f 2 C : j j rAg.
Agora, …xamos temporariamente com j j > rA. Assim, em particular, temos que lim
n!1
(An)
n = 0
1 7No exterior do disco f 2 C : j j rAg, F se exprime localmente como série de potências (a composição de com a série de Taylor do resolvente).
Como é arbitrário, segue pelo princípio da limitação uniforme (veja abaixo) que existe uma constante K > 0 tal que kAnk K j jn 8n 2 N Assim, kAnkn1 Kn1 j j Portanto, lim kAnkn1 lim Kn1j j = j j Como j j > rA é arbitrário, isso implica que
limpn
kAnk rA
Destacamos que nessa demonstração foi utilizado o Princípio da Limitação Uniforme, ou Teorema de Banach-Steinhaus:
Princípio da Limitação Uniforme: Sejam B1 e B2 espaços de Banach e fTi; i 2 Ig L (B1; B2) uma família arbitrária de aplicações lineares limitadas entre B1e B2. Então, são equivalentes:
a) fTi; i 2 Igé pontualmente limitada, i.e., sup
i2I kTixk < 1 ; 8x 2 B1
b) fTi; i 2 Ig é uniformemente limitada, i.e., sup
i2I kTik < 1
Teorema 73 Se A : H ! H é auto-adjunto então kAk = rA. Prova. Se A é auto-adjunto, vale
kAk2= kA Ak = kA2k Portanto, kA2n
k2n1 = kAk para todo n 2 N. Pelo Teorema do Raio Espectral (72) segue-se que rA= limn!1kA2n
k2n1 = kAk.
Proposição 74 Se A : H ! H é auto-adjunto então A é isometria de P ( (A)) em L (H), isto é, k A(P ) k = kP k1= sup fjP (z)j ; z 2 (A)g ; 8 P 2 P ( (A))
Prova. Já provamos que A é um homomor…smo linear. Também temos que ele preserva a conjugação: para todo polinômio P vale
A(P ) = (P (A)) = w X n=0 anAn ! = w X n=0 anAn = P (A) = A(P ) (1) Denotando P (A) P (A) = Q (A) onde Q (z) = P (z) P (z), vale
rQ(A) = sup fjwj ; w 2 (Q (A))g = sup fjwj ; w 2 Q ( (A))g = sup fjwj ; w = Q (z) ; z 2 (A)g
Demonstração do teorema (67) – ítens (i) ; (ii) ; (iii). Existência. Pelo teorema de Stone-Weierstrass, temos que P ( (A)) é denso em C ( (A)). Como A é linear e limitada, então possui uma única extensão linear e limitada ^Apara C ( (A)). Dessa construção, segue imediatamente que ^Aaplica a função identidade no operador A (item (i) do teorema), é contínua (ítem (ii) do teorema) e é linear. Para provar que ^Aé um *-homomor…smo, basta veri…car que preserva o produto e a conjugação. Assim, dados f; g 2 C ( (A)) considere sequências de polinômios complexos (pn) e (qn) que convergem para f e g uniformemente em (A), respectivamente,
lim
n!1kpn f k1= 0 = lim
n!1kqn gk1 Então, usando que A é *-homomor…smo, obtemos:
^A(f g) = lim n!1 ^A(pnqn) = lim n!1 A(pnqn) = lim n!1 A(pn) A(qn) = lim n!1 ^A(pn) ^A(qn) = ^A(f ) ^A(g) e ^A(f ) = lim n!1 ^A(p n) = lim n!1 A(pn) = lim n!1 A(pn) = lim n!1 ^A(pn) = ^A(f ) Analogamente, veri…camos que ^A é uma isometria (item (iii) do teorema):
^A(f ) = lim
n!1
^A(pn) = lim
n!1k A(pn)k = limn
!1kpnk1= kfk1
Unicidade. Seja outro homomor…smo de *-álgebras entre C ( (A)) e L (H) que cumpre as condições (i) e (ii). Pela condição (i), ele devem coincidir com A quando aplicado aos polinômios complexos; como pelo Teorema de Stone-Weierstrass os polinômios complexos constituem um subespaço linear denso em C ( (A)), isso signi…ca que coincide com ^Anum subconjunto denso do seu domínio. Pela condição (ii), isso implica que elas devem coincidir em todo domínio, ou seja, são aplicações idênticas.
Para provar a propriedade da Aplicação Espectral (item (iv) do teorema), precisamos de mais dois resultados preliminares.
Lema 75 Seja A um operador limitado no espaço de Hilbert H. Dado ! 2 (A), de…nimos a função
!: (A) ! C ; !(z) := 1 ! z Então ! é contínua e
^A( !) = (!I A) 1
Em particular, o resolvente RA(!) é o limite em norma de uma sequência de polinômios de A.
Prova. Como ! =2 (A), ! está bem-de…nida e é contínua em (A). Como ^A é um homomor…smo de *-álgebras, temos
^A( !) (!I A) = ^A( !) ^A(! z) = ^A( !(! z)) = ^A(1) = I e
(!I A) ^A( !) = ^A(! z) ^A( !) = ^A((! z) !) = ^A(1) = I Portanto, ^A( !) = (!I A) 1.
Lema 76 Seja A um operador limitado no espaço de Hilbert H.
Seja (pn) uma sequência de polinômios tal que (pn(A)) converge em norma para um operador B 2 L (H). Então, existe uma função g 2 C ( (A)) tal que B = ^A(g).
Prova. Como a sequência (pn(A)) converge, ela é uma sequência de Cauchy em L (H); como ^A é isometria, isso implica que a sequência de polinômios (pn) é uma sequência de Cauchy:
kpn pmk1= ^A(pn pm) = ^A(pn) ^A(pm) = kpn(A) pn(A)k ; 8n; m 2 N
Como C ( (A)) é um espaço topológico completo (com respeito à convergência uniforme), isso implica que (pn) converge para alguma função g 2 C ( (A)). Então, pela continuidade de ^A obtemos
^A(g) = lim
n!1
^A(pn) = lim
Demonstração da propriedade Aplicação Espectral – item (iv). ^A(f ) f ( (A)). Provar essa inclusão é equivalente a provar ^A(f ) C8f ( (A)). Assim, dado ! 2 C8f ( (A)), podemos de…nir a função contínua g!: (A) ! C ; g!(z) := 1 ! f (z) Como !I ^A(f ) = ^A(! f ) temos ^A(g!)h !I ^A(f )i = ^A(g!) ^A(! f ) = ^A[g!(! f )] = ^A(1) = I Analogamente, provamos que h
!I ^A(f )i
^A(g!) = I. Isso signi…ca que !I ^A(g!) é invertível, donde con-cluimos que ! 2 ^A(g!) . Como ! 2 C8f ( (A)) é arbitrário, isso signi…ca que ^A(f ) C8f ( (A)).
^A(f ) f ( (A)). Seja 2 (A). Suponha por hipótese de absurdo que f ( ) =2 ^A(f ) , o que signi…ca que o operador f ( ) I ^A(f ) é invertível. Pelo lema (75), h
f ( ) I ^A(f )i 1
é o limite em norma de uma sequência de polinômios em ^A(f ); como ^A(f ) é o limite em norma de uma sequência de polinômios em A, isso signi…ca que h
f ( ) I ^A(f )i 1
é o limite em norma de uma sequência de polinômios em A. Pelo lema ( 76), isso implica que existe g 2 C ( (A)) tal que ^A(g) =h
f ( ) I ^A(f )i 1 . Então, ^A(1) = I =h f ( ) I ^A(f )i 1h f ( ) I ^A(f )i = ^A(g) ^A(f ( ) f ) = ^A[g (f ( ) f )] Pela injetividade de ^A, isso implica que
g (z) (f ( ) f (z)) = 1 ; z 2 (A)
Como 2 (A), isso implica 0 = 1 – Absurdo! Considerando a correção das implicações lógicas, concluimos que a hipótese de que f ( ) =2 ^A(f ) deve ser falsa. Portanto, f ( ) 2 ^A(f ) . Pela arbitrariedade de 2 (A), isso implica que ^A(f ) f ( (A)).
6 Teorema Espectral
Em toda seção considere H um espaço de Hilbert e A um operador auto-adjunto limitado em H. Lembramos a notação que será usada na sequência,
B0( (A)) = ffunções Borel mensuráveis limitadas em (A)g
O Teorema Espectral consiste na extensão do *-homomor…smo ^A: C ( (A)) ! L (H) para um *-homomor…smo de B0( (A)) a L (H). Na sequência, primeiro desenvolvemos o argumento que motiva a de…nição dessa extensão (o que consiste em parte da prova) e depois enunciamos propriamente o teorema.
Argumento para a extensão de ^A
Dado x 2 H, de…nimos o funcional linear
(A;x): C ( (A)) ! C ; (A;x)(f ) := hx; f (A) xi
A…rmamos que (A;x) é positivo e contínuo. De fato, se f é função positiva f (t) 0 8t 2 (A), então podemos de…nir a raiz f1=2 e o operador B = ^A f12 : Veri…camos que B é auto-adjunto,
B = ^A f12 = ^A f
1 2
= ^A f12 = B Daí, deduzimos a positividade de (A;x):
(A;x)(f ) = hx; ^A(f ) xi = hx; B2(A) xi = hB (A) x; B (A) xi = hB (A) x; B (A) xi = kB (A) xk 0
Como x está …xado, a continuidade de (A;x)(f ) segue da seguinte desigualdade (onde usamos que ^Aé isométrico):
(A;x)(f ) = hx; ^A(f ) xi ^A(f ) kxk2= kfk kxk2
Pelo teorema de Riesz-Markov (85), existe uma única medida de Borel regular (A;x)sobre (A), chamada medida espectral associada ao par (A; x), tal vale:
(A;x)(f ) = Z (A) f d (A;x) ; 8f 2 C ( (A)) Observamos que (A;x)( (A)) = kxk2
A fórmula integral para (A;x) nos permite extender naturalmente esse funcional para funções Borel mensuráveis limitadas no espectro de A:18
(A;x)(g) = Z
(A)
gd (A;x) ; 8g 2 B0( (A))
sendo que: se g 2 B0( (A)) então g é integrável relativamente a qualquer medida de Borel …nita sobre (A), Z
(A)jgj d kgk1 ( (A)) < 1 ; kgk = sup
2 (A)jg ( )j
Finalmente, podemos de…nir a aplicação entre H e o dual de B0( (A)) (o espaço dos funcionais lineares contínuos)
A: H ! B0( (A)) ; A(x) := (A;x)
Agora, para g 2 B0( (A)), pretendemos usar essa aplicação para construir operadores g (A) : H ! H tais que hx; g (A) xi =
Z
(A)
gd (A;x) ; 8 x 2 H
Para de…nir o operador g (A) combinamos as Medidas Espectrais, a Identidade de Polarização (23) e o Lema de Riesz. Heuristicamente, devemos ter: 8x; y 2 H,
hx; g (A) yi = 1
4fh(x + y) ; g (A) (x + y)i h(x y) ; g (A) (x y)i i [h(x + iy) ; g (A) (x + iy)i h(x iy) ; g (A) (x iy)i]g A expressão à direita pode ser de…nida usando a fórmula integral anterior. Para y 2 H …xado, mostraremos que a correspondência x 7 ! hx; g (A) yi é um funcional linear limitado; pelo Lema de Riesz, isso signi…ca que podemos identi…car g (A) y com um único vetor de H; …nalmente, provamos que a correspondência y 7 ! g (A) y é linear e limitada em y.
Construção da extensão de ^A Na sequência, usamos a notação
f (A) = ^A(f ) ; 8f 2 C ( (A)) Sejam g 2 B0( (A)) e y 2 H. De…na
A;g;y : H ! C por A;g;y(x) := 1 4 (Z (A) gd (A;x+y) Z (A) gd (A;x y) i "Z (A) gd (A;x+iy) Z (A) g ( ) d (A;x iy) #)
O seguinte lema é a ferramenta técnica que vamos utilizar nas demonstrações subseqüentes.
Lema 77 Para g 2 B0( (A)) limitada e dado um número …nito m 2 N e elementos x1; y1; ::::; xm; ym2 H, existe uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada (fn) C ( (A)) tal que
A;g;yk(xk) = lim
n!1hxk; fn(A) yki ; 8k = 1; :::; m
Prova. Por simplicidade, vamos provar o caso m = 1 – o caso geral pode ser provado analogamente. Dados x; y 2 H, conforme a Proposição (91) considerando as medidas (A;x+y), (A;x y), (A;x+iy) e (A;x iy), tomamos uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada (fn) tal que
lim
n!1
Z
(A)jfn gj d #= 0 ; #= (A;x+y); (A;x y); (A;x+iy); (A;x iy) Pelas de…nições das medidas espectrais (na 3a. igualdade), vale:
A;g;y(x) = 1 4 (Z (A) gd (A;x+y) Z (A) gd (A;x y) i "Z (A) gd (A;x+iy) Z (A) gd (A;x iy) #) = lim n!1 1 4 (Z (A) fnd (A;x+y) Z (A) fnd (A;x y) i "Z (A) fnd (A;x+iy) Z (A) fn( ) d (A;x iy) #) = lim n!1 1
4fhx + y; fn(A) (x + y)i hx y; fn(A) (x y)i i [hx + iy; fn(A) (x + iy)i hx iy; fn(A) (x iy)i]g = lim
Lema 78 Para g 2 B0( (A)) e y 2 H, A;g;y é um funcional linear limitado, k A;g;yk < 1
Prova. A;g;y é linear. Dados ; 2 C e x1; x2 2 H, conforme o Lema (77) seja (fn) C ( (A)) uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada tal que
A;g;y( x1+ x2) = lim
n!1h x1+ x2; fn(A) yi ; A;g;y(x1) = lim
n!1hx1; fn(A) yi ; A;g;y(x2) = lim
n!1hx2; fn(A) yi Então: A;g;y( x1+ x2) = lim n!1h x1+ x2; fn(A) yi = lim n!1hx1; fn(A) yi + lim n!1hx2; fn(A) yi = A;g;y(x1) + A;g;y(x2)
A;g;y é limitada. Analogamente, dados x 2 H, conforme (77) tomamos (fn) C ( (A)) uniformemente limitada pela norma de g tal que
A;g;y(x) = lim
n!1hx; fn(A) yi Então:
j A;g;y(x)j = limn
!1hx; fn(A) yi lim
n!1sup kxk kfn(A)k kyk kyk kgk1kxk ; 8 x 2 H Como x 2 H é arbitrário, isso signi…ca que
k A;g;yk kgk1kyk
Lema 79 Dado g 2 B0( (A)), existe um operador limitado g (A) : H ! H tal que
A;g;y(x) = hx; g (A) yi ; 8x; y 2 H Além disso, vale
kg (A)k kgk1
Prova. Dado y 2 H, como A;g;y: H ! H é funcional linear limitado, pelo Teorema de Representação de Riesz (37) existe um único vetor ~y 2 H tal que
A;g;y(x) = hx; ~yi ; 8x 2 H De…nimos
g (A) : H ! H ; g (A) y := ~y Assim:
A;g;y(x) = hx; g (A) yi ; 8x; y 2 H
Linearidade. Agora, considere x; y1; y2 2 H e ; 2 C. Conforme o Lema (77) seja (fn) C ( (A)) uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada pela norma de g tal que
A;g; y1+ y2(x) = lim
n!1hx; fn(A) ( y1+ y2)i ; A;g;y1(x) = lim
n!1hx; fn(A) y1i ; A;g;y2(x) = lim
n!1hx; fn(A) y2i Então: hx; g (A) ( y1+ y2)i = A;g; y1+ y2(x) = lim n!1hx; fn(A) ( y1+ y2)i = lim n!1 hx; fn(A) y1i + hx; fn(A) y2i = A;g;y1(x) + A;g;y2(x) = hx; g (A) y1i + hx; g (A) y2i = hx; g (A) y1+ g (A) y2i
Pela arbitrariedade de x 2 H, isso implica
g (A) ( y1+ y2) = g (A) y1+ g (A) y2
Pela arbitrariedade de y1; y22 H e ; 2 C, isso signi…ca que g (A) é linear.
Limitação. Dado y 2 H, conforme o Lema (77), seja (fn) C ( (A)) uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada pela norma de g tal que
A;g;y(g (A) y) = lim
n!1hg (A) y; fn(A) yi Então,
kg (A) yk2= hg (A) y; g (A) yi = A;g;y(g (A) y) = lim
n!1hg (A) y; fn(A) yi lim
n!1sup kg (A) yk kfn(A)k kyk donde
kg (A) yk lim
n!1sup kfn(A)k kyk
Como ^A e uma isometria e a sequência (fn) é uniformemente limitada pela norma de g, temos kfn(A)k = kfnk1 kgk1 ; 8n 2 N
Portanto,
kg (A) yk kgk1kyk Como y 2 H é arbitrário, isso signi…ca que
kg (A)k kgk1
Teorema 80 (Teorema Espectral –Cálculo Funcional Mensurável) Seja H um espaço de Hilbert e A um operador auto-adjunto limitado em H. Então, existe um único homomor…smo de *-álgebras
A: B0( (A)) ! L (H) limitado
A(g) kgk1 8g 2 B0( (A)) tal que:
i) A imagem A na função identidade, id : (A) ! C; z 7! z, é o operador A:
A(id) = A
ii) Se (gn) B0( (A)) é uma sequência uniformemente limitada que converge pontualmente para g 2 B0( (A)), então A(gn) é uma sequência que converge fracamente para A(g).
Prova. Existência. Considerando os desenvolvimentos anteriores, de…nimos
Portanto, temos que x; A(gn) A(g) y é igual a 1 4 (Z (A) (gn g) d (A;x+y) Z (A) (gn g) d (A;x y) i "Z (A) (gn g) d (A;x+iy) Z (A) (gn g) ( ) d (A;x i) #)
Como (gn) é uniformemente limitada e converge pontualmente para g, temos que (gn) converge para g em quase todo ponto com respeito à quaquer medida de Borel em (A); pelo Teorema de Convergência Dominada (88) isso implica que para qualquer medida de Borel em (A) vale:
lim n!1 Z (A) (gn g) d = 0 Portanto, lim n!1 x; A(gn) A(g) y = 0
Como x; y 2 H são arbitrários, concluimos que A(gn) converge fracamente para A(g).
Unicidade. Seja outro homomor…smo de *-álgebras entre B0( (A)) e L (H) que cumpre as condições (i) e (ii) e seja limitado,
k (g)k c kgk1 ; 8g 2 B0( (A))
Pela condição (i), ele devem coincidir com Aquando aplicado aos polinômios complexos; como colorário do Teorema de Stone-Weierstrass, temos que toda função contínua em (A) é limite pontual de alguma sequência uniformemente limitada de polinômios complexos em (A); pelo ítem (ii), isso implica que deve coincidir com A em C ( (A)).
Agora, para provar que coincide com A, basta mostrar que
hx; (g) yi = x; A(g) y ; 8x; y 2 H; 8g 2 B0( (A)) Pela Identidade de Polarização, basta mostrar que
hx; (g) xi = x; A(g) x ; 8x 2 H; 8g 2 B0( (A)) Assim, considere x 2 H …xado. De…na a aplicação
C ( (A)) 3 g 7 ! hx; (g) xi 2 C
Pela hipótese de que é *-homomor…smo, concluimos que esse funcional é positivo: C ( (A)) 3 g 0 ) g = g1=2g1=2) hx; (g) xi =D
x; g1=2 g1=2 xE =D
g1=2 x; g1=2 xE 0 Pala hipótese de que é limitado, concluimos que esse funcional também é limitado
jhx; (g) xij c kxk2kgk1 ; 8g 2 B0( (A))
Pelo Teorema de Riesz-Markov, existe uma medida de Borel regular ;x em (A), tal que hx; (g) xi =
Z
(A)
gd ;x ; 8g 2 B0( (A))
Agora, dado g 2 B0( (A)) tomamos conforme a Proposição (91) uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada (fn) que converge para g em L1 com respeito às medidas ;x e (A;x+x); (A;x x); (A;x+ix); (A;x ix); …nalmente, usando o fato que e A coincidem em C ( (A)) obtemos:
hx; (g) xi = Z (A) gd ;x= lim n!1 Z (A) fnd ;x= lim n!1hx; (fn) xi = limn !1 x; A(fn) x = = lim n!1 1
4 x + x; A(fn) (x + x) x x; A(fn) (x x) i x + ix; A(fn) (x + ix) x ix; A(fn) (x ix) = lim n!1 1 4 (Z (A) fnd (A;x+x) Z (A) fnd (A;x x) i "Z (A) fnd (A;x+ix) Z (A) fnd (A;x ix) #) = 1 4 (Z (A) gd (A;x+x) Z (A) gd (A;x x) i "Z (A) gd (A;x+ix) Z (A) gd (A;x ix) #) = 1
4 x + x; A(g) (x + x) x x; A(g) (x x) i x + ix; A(g) (x + ix) x ix; A(g) (x ix) = x; A(g) x
7 Conclusão
Durante a realização deste trabalho encontramos algumas di…culdades relacionadas a literatura pois a maioria dos livros de análise funcional (aos quais tive acesso) não tratam o Teorema Espectral da maneira como foi apresentado. Porém, no decorrer da elaboração deste trabalho percorremos vários caminhos que proporcionaram uma visão da análise funcional em seus diferentes aspectos. Acreditamos que nosso objetivo principal foi atingido e como resul-tado obtivemos um texto claro, bem estruturado, acessível a diversos estudantes, mesmo que não possuam muitos conhecimentos sobre o assunto.
Finalmente, concluimos o trabalho deduzindo a versão elementar do Teorema Espectral sobre a diagonalização de operadores auto-adjuntos em espaços vetoriais de dimensão …nita.
7.1 Teorema Espectral e Diagonalização de Operadores em Dimensão Finita
Seja H um espaço de Hilbert de dimensão …nita e seja A : H ! H um operador auto-adjunto. Para o que segue, vamos de…nir o polinômio característico de A:
pA(z) := det (zI A) Esse polinômio possui as seguintes propriedades:
i) O grau de pA(z) é menor ou igual à dimensão de H, deg pA dim H ii) Como A é auto-adjunto, as raízes de pA(z) são reais. Isso implica que o espectro de A é …nito e vale
# (A) dim H
(Realmente, se 2 (A) então ( I A) não é invertível, ou seja det ( I A) = 0. Isso signi…ca que é uma raiz de pA(z). Como deg pA dim H, segue que pA(z) possui no máximo dim H raízes e isso prova a a…rmação.)
Agora, considere
(A) = f 1; :::; mg R ; m dim H De…nimos as seguintes funções
gk:= (A) ! C ; gk( j) := 1 ; j = k 0 ; j 6= k Então, o conjunto das funções Borel mensuráveis (limitadas) em (A) é dado por
B ( (A)) = fg : (A) ! Cg = ( m X k=1 zkgk; z1; :::; zm2 C )
Destacamos que a função constante 1 e a função identidade id se escrevem em termos da base fg1; :::; gmg por
m
Destacamos os seguintes fatos:
- Para todo k 2 f1; :::; mg, Pk é uma projeção ortogonal,
Pk = A(gk) = A(gk) = A(gk) = Pk e
Pk2= A(gk)2= A gk2 = A(gk) = Pk
- O conjunto fP1; :::; Pmg constitui-se numa decomposição da identidade em H:
I = A(1) = A m X k=1 gk ! = m X k=1 A(gk) = m X k=1 Pk
Denotando as imagens desses operadores por
Vk:= Im (Pk) = Pk(H) ; 8k = 1; :::; m os fatos acima signi…cam que temos a seguinte decomposição em soma direta:
H = V1 ::: Vm Como vale A = A(id) = A m X k=1 kgk ! = m X k=1 kPk
concluimos que A é uma combinação linear de projeções ortogonais com imagens ortogonais. Isso é equivalente à propriedade de que A é diagonalizável!
A Tópicos de Teoria da Medida
A seguir apresentaremos conceitos e ferramentas necessárias ao Teorema Espectral. Iniciaremos com algumas de…nições básicas e depois enunciamos os teoremas relevantes. Para uma exposição completa, sugerimos [1], [4].
Espaços de Medida
De…nição 81 (Espaço de Medida) Seja X um conjunto não-vazio.
Uma -álgebra em X é uma família A de subconjuntos de X na qual se veri…cam as seguintes condições: a:i) A contem o vazio:
; 2 A
a:ii) A é fechado por complementação, uniões …nitas e interseções enumeráveis: A 2 A ) X8A 2 A (Ak)k2N A ) [ k2N Ak 2 A ; \ k2N Ak 2 A
Se A é uma -álgebra, uma medida (positiva e -aditiva) em A é uma aplicação na qual se veri…cam as condições seguintes:19
: A ! [0; +1] m:i) A medida do conjunto vazio é zero,
(;) = 0 m:ii) Monotonia,
A; B 2 A; A B ) (A) (B)
m:iii) -Aditividade: se (Ak)k2N é uma família enumerável de subconjuntos disjuntos de A, então [ k2N Ak ! = X k2N (Ak)
Dizemos que a medida é -…nita quando:
m:iv) X pode ser obtido como união enumerável de elementos de A que possuem medida …nita: X = [
k2N
Ak ; Ak2 A; (Ak) < 1 ; 8k 2 N
Espaço mensurável é um par (X; A), onde X é um conjunto e A é uma -álgebra sobre X. Os elementos da -álgebra A são chamados conjuntos A-mensuráveis (ou conjuntos mensuráveis, quando o contexto não permite confusão).
Espaço de medida é uma terna (X; A; ), onde X é um conjunto, A é uma -álgebra sobre X e é uma medida sobre A.
-De…nição 83 (Medida de Borel Regular) Seja (X; ) um espaço topológico.
A -álgebra de Borel de X é a -álgebra B (X) gerada pelos abertos da topologia , i.e., B (X) é a família dos subconjuntos de X que podem ser obtidos pela união enumerável de interseções enumeráveis de abertos ou fechados de X. Os elementos de B (X) são chamados subconjuntos de Borel.
Medida de Borel em X é uma medida sobre a -álgebra de Borel de X. Dizemos que uma medida de Borel é regular quando valem [4, pp. 256-257]: r:i) é …nita em compactos:
K 2 A compacto ) (K) < 1 r:ii) Para todo A 2 B (X) valem:
inf f (W ) ; W 2 B (X) aberto contendo Ag = (A) = sup f (K) ; K 2 B (X) compacto contendo Ag
Funções Mensuráveis e Integração
Dados dois espaços mensuráveis (X; A) e (Y; B), dizemos que uma função f : X ! Y é (A; B)-mensurável quando f 1(S) 2 A ; 8S 2 B
Não resumimos aqui a teoria da integração, apenas lembramos os fatos essenciais:
- Considerando a -álgebra de Borel em C e R, uma função f : X ! C é A-mensurável se e somente se Re f e Im f são A-mensuráveis.
- Dada uma medida na -álgebra A, dizemos que f : X ! C é integrável com respeito a quando Re f e Im f são integráveis com respeito a ; nesse caso de…nimos a integral de f por
Z X f d := Z X Re f d + i Z X Im f d
Lema 84 f : X ! C mensurável é integrável se e somente se jfj : X ! R+ é integrável.
Teorema de Riesz-Markov
O teorema a ser enunciado consiste numa ferramenta fundamental para o desenvolvimento do cálculo funcional mensurável.
Teorema 85 (Riesz-Markov) Seja X um espaço métrico localmente compacto e -compacto (i.e., que pode ser obtido pela união enumerável de subconjuntos compactos).
Se ' : C (X) ! C é um funcional linear positivo contínuo, então existe uma única medida de Borel regular '
sobre X tal que
' (f ) = Z
X
f d ' Para uma prova, veja [4, pp.135-142].
A.1 Teoremas de Convergência
Na sequência, considere (X; A; ) um espaço de medida, sendo X sendo um espaço topológico, A uma -álgebra de Borel em X e uma medida de Borel em A.
De…nição 86 (Convergência em Quase Todo Ponto – -q.t.p.)
Seja (X; A; ) um espaço de medida. Dizemos que uma sequência de funções mensuráveis fn: X ! R+ converge para uma função mensurável f : X ! R+ em -q.t.p (em quase todo ponto com respeito à ) quando (fn) converge pontualmente para f exceto num subconjunto de medida nula, i.e.,
X8nx 2 X = limn
!1fn(x) = f (x)o = 0 Notação: fn % f em -q.t.p.
Teorema 87 (Convergência Monótona)
Seja (X; A; ) um espaço de medida e sejam g : X ! R+ mensurável e gn: X ! R+ uma sequência não-decrescente de funções mensuráveis,
gn(x) gn+1(x) ; 8x 2 X; n 2 N
Se (gn) converge para g em -q.t.p, então a correspondente sequência das integrais converge (monotonamente) para a integral de g, lim n!1 Z X gnd = Z X gd Teorema 88 (Convergência Dominada)
Seja (X; A; ) um espaço de medida e sejam g : X ! C mensurável e (gn : X ! C) uma sequência de funções mensuráveis para a qual existe uma função mensurável h : X ! R+ que a limita em -q.t.p.,
(X8 fx 2 X = jgn(x)j h (x)g) = 0
Se (gn) converge para g em -q.t.p, então a correspondente sequência das integrais converge para a integral de g, lim n!1 Z X gnd = Z X gd Em particular, se (gn) converge pontualmente para g então vale
lim
n!1
Z
X
(gn g) d = 0 Teorema 89 (Densidade de Funções Contínuas emLp)
Seja X um espaço métrico localmente compacto e uma medida de Borel regular -…nita em X.
Então, para todo p 2 [1; +1), o espaço das funções contínuas com suporte compacto em X é denso em Lp(X; ). Esse teorema possui a seguinte especialização para o caso de subconjuntos compactos de C:
Teorema 90 (Densidade de Funções Contínuas - caso especial)
Seja K C compacto não-vazio e uma medida de Borel regular -…nita em K.
Então, para toda função mensurável limitada g : K ! C existe uma sequência de funções contínuas (fn: K ! C) que converge para g com respeito à convergência em L1(K; ):
lim
n!1
Z
Kjfn gj d = 0
Esse teorema possui a seguinte generalização que é utilizada na construção do *-homomor…smo do Teorema Espectral:
Proposição 91 (Aproximação de Funções Mensuráveis por Funções Contínuas em L1) Seja K C com-pacto não-vazio e 1; :::; m um número …nito m 2 N de medidas de Borel regulares ( -…nitas) em K.
Então, para toda função mensurável limitada g : K ! C existe uma sequência de funções contínuas (fn: K ! C) que converge para g com respeito à convergência em L1 K; j , para todo j 2 f1; :::; mg:
Dada g : K ! C seja (fn: K ! C) uma sequência de funções contínuas que converge para g com respeito à con-vergência em L1(K; ), lim n!1 Z Kjfn gj d = 0 Pela Proposição (82), isso implica
lim
n!1
Z
Kjfn gj d k = 0 ; 8k = 1; :::; m
Agora, suponha que g seja limitada, kgk < 1. Usando a sequência obtida acima, de…nimos para todo n 2 N ~
fn: K ! C ; ~fn(x) := fn(x) ; se jf (x)j kgk kgk ei arg(fn(x)) ; se jf (x)j > kgk
Por inspeção direta, veri…camos que f~n é uma sequência de funções contínuas uniformemente limitada pela norma de g ~ fn kgk ; 8n 2 N tal que lim n!1 Z K ~ fn g d k = 0 ; 8k = 1; :::; m
References
[1] CASTRO JR., A. Armando, Curso de Teoria da Medida (Projeto Euclides), Rio de Janeiro, IMPA, 2004. [2] LIMA, E.L, Espaços Métricos, Rio de Janeiro, IMPA, 2007.
[3] LINS NETO, Alcides, Funções de uma variável complexa (Projeto Euclides), Rio de Janeiro, IMPA, 1993. [4] LANG, S., Real and Functional Analysis –3rd. ed., New York: Springer-Verlag, 1993.
[5] OLIVEIRA, César R. de, Introdução à análise funcional, Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
[6] REED, M., SIMON, B., Methods of modern mathematical physics Vol. I: functional analysis, 2nd edition, San Diego: Academic Press, 1980.
[7] RUDIN, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. [8] SUNDER, V.S., Functional Analysis: spectral theory, Berlin: Birkhäuser, 1998.