O Grupo de Lorentz

Seja M o espaço-tempo de Minkowski. Uma transformação de Lorentz é uma função linear L : M  M que, para quaisquer x, y  M, satisfaz a condição

Lx.Ly x . y ( 1.197 )

Se Ljiforem os coeficientes da matriz L (com i, j  0, 1, 2, 3), tem-se

Lx  Ljixj 



xi . ( 1.198 )

As transformações de Lorentz são, então, definidas como um conjunto de transformações do tipo

xi _xi _{ L} j

i_xj _{( 1.199 )}

das coordenadas de Minkowski que deixam a métrica de Minkowski invariante, i.e.,

LkiLrjij  kr ( 1.200 )

e

Lx.Ly  ijLkixkLrjyr  LTLkrxkyr ( 1.201 )

Lx.Ly x . y LT_L

krxkyr  krxkyr ( 1.202 )

quaisquer que sejam x, y  M. Conclui-se que uma matriz de Lorentz, L satisfaz a condição

LT_{L  . ( 1.203 )}

Será impostante referir que se L for uma matriz de Lorentz, então LT

também o será.

Por ( 1.203 ), tem-se que det L  1. Se x  y em ( 1.197 ), então x é um vector temporal se e só se Lx é um vector temporal; x é um vector espacial se e só se Lx é um vector espacial; e, pela propriedade da não-degenerescência do produto interno, x é um vector nulo se e só se Lx for um vector nulo.

O grupo das transformações de Lorentz em M formam um grupo a que se dá o nome grupo de Lorentz que se representa por L.O elemento identidade deste grupo éji e o elemento inverso é dado pela matriz inversa.

A matriz Ljié invertível, pois, de ( 1.200 ), vem

det L2 _{ 1  det L  1}

pelo que a matriz é não singular, logo invertível.

1.3.5.3. Dilatação do tempo

Considere-se que um relógio fixo emxxA , no referencial



S, regista dois

Figura 1.9. : Acontecimentos sucessivos registados por um relógio fixo emS.

Os acontecimentos sucessivos em S são xa ,

 t1 e  xa ,  t1  T0 .

Utilizando as transformações de Lorentz, em S, tem-se

t1    t1    xA c2 , t2    t1  T0    xA c2 . ( 1.204 )

pelo que o intervalo de tempo, em S, definido por T  t2 t1 é

T  T0 ( 1.205 )

o que demonstra que os relógios em movimento se atrasam através do factor

1  2_/c2_12.

A este fenómeno chama-se dilatação do tempo. A taxa mais rápida de tempo corresponde ao relógio em repouso (relógio ideal) e chama-se taxa

própria.

O tempo medido por um relógio ideal, aquele que não é afectado pela sua aceleração e cuja taxa depende da sua velocidade instantânea, chama-se tempo próprio. Este tempo entre t1 e t2 é dado por



_t 1 t2 1 2 c2 1 2_{dt. ( 1.206 )}

1.3.5.4. Contracção do comprimento

Considere-se a barra fixa no referencial S de extremidades xA e xB ,

descrita na figura seguinte

Figura 1.10. : Movimento de um corpo com velocidade em relação a S.

O referencialS move-se com velocidade  em relação a S. No referencial S, o corpo tem coordenadas xAe xB obtidas pelas transformações de Lorentz



xA  xA tA e xB  xB tB. ( 1.207 )

O comprimento da barra em repouso, i.e., medido emS é dado por l0   xA   xB    x, ( 1.208 ) medido em S, no instante t  tA  tB é l  xA xB  x. ( 1.209 ) De ( 1.207 ), vem que l  1_l 0 ( 1.210 )

verificando-se, assim, que o comprimento de um corpo na direcção do seu movimento, com velocidade uniforme , tem uma redução de 1  2_/c2_{. A}

este fenómeno dá-se o nome de contracção do comprimento.

O corpo tem maior comprimento no referencial onde se encontra em repouso, neste caso, emS. Este comprimento é o comprimento próprio.

1.3.6. 4-Vectores

1.3.6.1. 4-posição

A formulação tensorial da relatividade restrita assenta na invariância de

ds2 _{ }

dxdx

sendo as coordenadas no espaço-tempo M representadas por x_{, em que}

  0, 1, 2, 3 e

x0 _{ t x}1 _{ x x}2 _{ y x}3 _{ z}

A x _{chama-se vector 4-posição.}

1.3.6.2. 4-velocidade e 4-aceleração

Considere-se o movimento de uma partícula de acordo com a curva x_

no referencial inercial S. O movimento é parametrizado pelo tempo próprio.

Para uma partícula, a sua 4-posição x _{é temporal, isto é, x}_x

  0, o que

que a sua velocidade não pode ser superior à da luz. No referencial S, a partícula move-se com a 3-velocidade

v  dr

dt .

A 4-velocidade  _{será definida pela variação do vector posição da}

partícula em relação ao tempo próprio:

 _ dx

d ,   0, 1, 2, 3. ( 1.211 )

Como dx_{é um 4-vector e d é um invariante, } _{é um 4-vector.}

Pelo fenómeno da dilatação do tempo, tem-se que

d  dt. ( 1.212 )

Uma vez que

_   dx_d dx_d   _ d2  dxdx   dx_dx  d2  0 ( 1.213 ) e ds2 _{ dx}_dx  c2d2, ( 1.214 ) verifica-se que _

  c2  0, ou seja, a 4-velocidade é um vector temporal

e invariante.

Por analogia com a Mecânica Clássica, pode definir-se a 4-aceleração pela relação

a _ d

d . ( 1.215 )

1.3.6.3. 4-Força e 4- Momento

segunda lei de Newton, sabe-se que a força é dada por

F  dp

dt ( 1.216 )

em que p é a quantidade de movimento. Analogamente, é possível definir um 4-vector da forma

F _ dp

dt ,   0, 1, 2, 3 ( 1.217 )

em que F _{é a 4-força e p} _{o 4-momento. A definição de 4-momento vem}

da Mecânica Clássica e, assim, o 4-momento será

p _{ m0}_{, ( 1.218 )}

sendo m0 a massa inercial da partícula no seu referencial de repouso e  a

4-velocidade. A m0 dá-se o nome de massa de repouso ou massa própria

(a massa da partícula medida por um observador que se desloca com ela) e é um invariante. Assim, ( 1.217 ) pode escrever-se na forma

F _ dp

dt  m0 d



dt ( 1.219 )

onde se assume que a massa em repouso, m0, não varia durante o

movimento.

m  m0 é a massa inercial da partícula, i.e., m  m0

12_/c2  m0 ( 1.220 )

representa a massa em movimento da partícula que se move com uma velocidade. O 4-momento definir-se-á, então, por

p _{ m}

0  m. ( 1.221 )

1.3.6.4. A 4-força de Minkowski

transformação de Galileu, não são invariantes na transformação de Lorentz. Têm que ser generalizadas de forma a obter-se uma lei para a força que satisfaça os requisitos covariantes da Relatividade Restrita.

Considere-se F a força de Minkowski e f a força de Newton. A 4-força é definida pela relação

F _ dp

d   0, 1, 2, 3

o que faz com que a generalização que se procura seja tal que, para velocidades muito pequenas quando comparadas com c, a equação se reduza à forma clássica

fi _ dpi

dt i  0, 1, 2, 3

sendo f a força de Newton.

Como d e dt estão relacionados através da expressão ( 1.212 ), a

equação para a força de Newton pode escrever-se na forma

fi _ dpi

d ( 1.222 )

ou seja

fi _ dpi

d . ( 1.223 )

Esta expressão mostra que as componentes espaciais do 4-vector da força de Minkowski estão relacionadas com a força de Newton através da relação

Fi _{ f}i _{i  1, 2, 3 ( 1.224 )}

Incluindo a parte temporal do 4-vector da força de Minkowski, chega-se à expressão para a 4-força de Minkowski:

F  1

1.4. A Relatividade Geral

Em 1915, Einstein desenvolveu a Teoria da Relatividade Geral na qual considerava todos os objectos acelerados em relação a outros. Esta teoria foi desenvolvida numa tentativa de explicar conflitos aparentes entre as leis da relatividade e as leis da gravidade, baseada num novo conceito de gravitação e atendendo a vários princípios.

1.4.1. Os princípios

Há cinco princípios que, explícita ou implicitamente, guiaram Einstein na sua busca da Teoria da Relatividade Geral: Princípio de Mach, Princípio de Equivalência, Princípio da Covariância, Princípio da Acoplamento Mínimo Gravitacional e Princípio da Correspondência.

1.4.1.1. Princípio de Mach

A essência dos dois primeiros princípios vem da compreensão da natureza das leis de Newton que se aplicam apenas a referencias inerciais e são os seguintes os postulados do princípio de Mach relevantes para a formulação da teoria da Relatividade Geral:

M1. A distribuição de matéria determina a geometria. (Este postulado

incorpora o essencial das ideias de Mach.)

M2. Se não há matéria, não há geometria. (Aqui é referida a

M3. Um corpo, no vácuo, não possui propriedades inerciais. (Uma

vez que, sendo o corpo único, nada há que interaja com ele.)

No documento Corpos elásticos em relatividade geral (páginas 64-73)