Predicação Essencial e os Predicáveis
Teorema 13. O Lema de Lindenbaum Seja Γ qualquer conjunto
consistente de sentenças de L1K=. Então há um conjunto Γ′ de sentenças de L1K= tal que Γ ⊆ Γ′ e Γ′ é maximamente consistente.
90 que o conjunto K da terminologia não lógica é ou finito ou enumeravelmente infinito (isto é, o tamanho dos números naturais, geralmente chamados ℵ0).
Segue-se que há uma enumeração θ0, θ1, … das sentenças de L1K=, de modo
que cada sentença de L1K= eventualmente ocorre na lista. Defina uma sequência de conjuntos de sentenças, por recursão, da seguinte maneira: Γ0
é Γ; para cada número natural n, se Γn, θn é consistente, então tome Γn+1 = Γn,
θn. Caso contrário, deixe Γn+1 = Γn. Seja Γ′ a união de todos os conjuntos Γn.
Intuitivamente, a ideia é passar pelas sentenças de L1K=, jogando cada uma em Γ′, se isso produzir um conjunto consistente. Observe que cada Γn é
consistente. Suponha que Γ′ é inconsistente. Então há uma sentença θ tal que Γ′ ⊢ θ e Γ′ ⊢ ¬θ. Pelo Teorema 9 e pelo Enfraquecimento (teorema 8), existe um subconjunto finito Γ′′ de Γ′ tal que Γ′′ ⊢ θ e Γ′′ ⊢ ¬θ. Como Γ′′ é finito, existe um número natural n tal que todo membro de Γ′′ está em Γn. Então, pelo
Enfraquecimento novamente, Γn ⊢ θ e Γn ⊢ ¬θ. Então Γn é inconsistente, o
que contradiz a construção. Então Γ′ é consistente. Agora suponha que uma sentença θ não esteja em Γ′. Temos que mostrar que Γ′, θ é inconsistente. A sentença θ deve ocorrer na lista de sentenças mencionada anteriormente; diga que θ é θm. Como θm não está em Γ′, então não está em Γm+1. Isso
acontece apenas se Γm, θm é inconsistente. Assim um par de contraditórias
pode ser deduzido de Γm, θm. Pelo Enfraquecimento, um par de contraditórias
pode ser deduzido de Γ′, θm. Então Γ′, θm é inconsistente. Assim Γ′ é
maximamente consistente.
Observe que esta prova usa um princípio correspondendo à lei do terceiro excluído. Na construção de Γ′, assumimos que, em cada estágio, ou Γn é consistente ou não é. Os intuicionistas, que se opõe ao terceiro excluído,
não aceitam o lema de Lindenbaum.
4. Semântica
Seja K um conjunto de terminologia não lógica. Uma interpretação para a linguagem L1K= é a estrutura M = ⟨d, I⟩, onde d é um conjunto não vazio, chamado de domínio-do-discurso, ou simplesmente domínio, da interpretação, e I é uma função de interpretação. Informalmente, o domínio é aquilo sobre o qual
91 interpretamos que a linguagem L1K= fala. É aquilo sobre o qual as variáveis versam. A função de interpretação atribui extensões apropriadas aos termos não lógicos. Em particular,
Se c é uma constante em K, então l(c) é um membro do domínio d. Assim, assumimos que toda constante denota algo. Sistemas onde isso não é assumido são chamados lógicas livres (veja o verbete sobre lógica- livre). Continuando,
Se P0 é uma letra predicativa de zero posições em K, então l(P) é um valor de verdade, a verdade ou a falsidade.
Se Q1 é uma letra predicativa de uma posição em K, então l(Q) é um
subconjunto de d. Intuitivamente, l(Q) é o conjunto de membros do domínio do qual o predicado Q é válido. Se Q representa ‘’vermelho’’, então l(Q) é o conjunto de membros vermelhos do domínio.
Se R2 é uma letra predicativa de duas posições em K, então l(R) é um
conjunto de pares ordenados de membros de d. Intuitivamente, l(R) é o conjunto de pares de membros do domínio que a relação R mantém. Se R representa ‘’amor’’, então l(R) é um conjunto de pares ordenados ⟨a, b⟩ tal que
a e b são os membros do domínio para o qual a ama b.
Em geral, se Sn é uma letra predicativa de n-posições em K, então l(S)
é um conjunto de ênuplas ordenadas de membros de d.
Defina s como sendo uma atribuição de variável, ou simplesmente uma atribuição, em uma interpretação M, se s é uma função das variáveis para o domínio d de M. O papel da atribuição de variáveis é atribuir denotações às variáveis livres de fórmulas abertas. (Num certo sentido, os quantificadores determinam ‘’significado’’ das variáveis ligadas.)
Seja t um termo de L1K=. Definimos a denotação de t em M sob s, em termos da função de interpretação e atribuição de variáveis:
Se t é uma constante, então DM,s (t) é l(t), e se t é uma variável, então
DM,s (t) é s(t)
Ou seja, a interpretação M atribui denotações às constantes, enquanto a atribuição de variáveis atribui denotações às variáveis (livres). Se a linguagem contiver símbolos funcionais, a função de denotação seria definida por recursão.
Nós agora definimos a relação de satisfação entre interpretações, atribuições de variáveis e fórmulas de L1K=. Se ϕ é uma fórmula de L1K=, M
92 é uma interpretação para L1K=, e s é uma atribuição de variável em M, então escrevemos M, s ⊨ ϕ para M satisfaz ϕ sob a atribuição s. A ideia é que M, s ⊨ ϕ é um análogo de ‘’ϕ é verdadeiro quando interpretado como M via s’’.
Nós procedemos por recursão na complexidade das fórmulas de L1K=.
Se t1 e t2 são termos, então M, s ⊨ t1 = t2 se e somente se DM,s (t1) é
o mesmo que DM,s (t2).
Isso é tão simples quanto parece. Uma identidade t1 = t2 é verdadeira
se e somente os termos t1 e t2 denotam a mesma coisa.
Se P0 é uma letra predicativa de zero posições em K, então M, s ⊨ P
se e somente se l(P) for verdade.
Se Sn é uma letra predicativa de n-posições em K e t1, …, tn são termos,
então M, s ⊨ St1 … tn se e somente se aênupla ⟨DM,s (t1), …, DM,s (tn )⟩ está em
l(S).
Isso dá conta das fórmulas atômicas. Passamos agora para as fórmulas compostas da linguagem, seguindo mais ou menos os significados das contrapartes portuguesas da terminologia lógica.
M, s ⊨ ¬θ se e somente se não for o caso que M, s ⊨ θ.
M, s ⊨ (θ & ψ) se e somente ambos M, s ⊨ θ e M, s ⊨ ψ.
M, s ⊨ (θ ∨ ψ) se e somente se ou M, s ⊨ θ ou M, s ⊨ ψ.
M, s ⊨ (θ → ψ) se e somente se ou não é o caso que M, s ⊨ θ, ou
M, s ⊨ ψ.
M, s ⊨ ∀vθ se e somente se M, s′ ⊨ θ, para cada atribuição s’ que concorda com s, exceto possivelmente na variável v.
A ideia aqui é que ∀vθ é verdadeiro se e somente se θ for verdadeiro, não importando o que for atribuído à variável v. A cláusula final é semelhante.
M, s ⊨ ∃vθ se e somente se M, s′ ⊨ θ, para alguma atribuição s′ que esteja de acordo com s, exceto possivelmente na variável v.
Então ∃vθ sai verdadeiro se houver uma atribuição a v que torne θ verdadeiro.
O teorema 6, a legibilidade única, nos assegura que essa definição é coerente. Em cada estágio da quebra de uma fórmula, há exatamente uma cláusula a ser aplicada, e assim nunca obtemos veredictos contraditórios
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sobre a satisfação.
Como indicado, o papel das atribuições de variáveis é dar denotações às variáveis livres. Mostraremos que as atribuições de variáveis não desempenham outro papel.