O M´etodo de Simpson - Cálculo Numérico — Fundamentos e Aplicações

Se notarmos bem, no Método dos Trapézios o que nós fizemos foi aproximar a fun¸cão f , em cada intervalo, por uma reta coincidente com a fun¸cão nos extremos. O Método de Simpson é um melhoramento dessa estratégia, pois considera polinômios quadráticos como forma de aproximar a fun¸cão. Vejamos como ele funciona.

Como no Método dos Trapézios, a primeira coisa a fazer é dividir o intervalo de integra¸cão em intervalinhos, só que agora em um número par de intervalos. Ou seja, denominar x0= a,

x2n= b e escolher pontos intermedi´arios

Depois para cada i = 0, . . . , n − 1 considerar os trˆes pontos x2i, x2i+1, x2i+2 e os valores

respectivos da fun¸c˜ao avaliada nesses trˆes pontos: f (x2i), f (x2i+1), f (x2i+2). Para simplificar

a nota¸c˜ao, chamar esses valores de y2i, y2i+1, y2i+2.

Em seguida encontrar o único polinômio quadrático (isto é, de grau 2) pi(x) tal que

pi(x2i) = y2i, pi(x2i+1) = y2i+1, pi(x2i+2) = y2i+2,

e usar esse polinômio pi(x) como aproxima¸cão para a fun¸cão no intervalo [x2i, x2i+2] (o

polinômio pode ser achado com qualquer um dos métodos descritos na Se¸cão 1.5 ou no Cap´ıtulo 12). Assim a integral

Z x2i+2

x2i

f (x)dx ´e aproximada pela integral

Z x2i+2

x2i

pi(x)dx .

Finalmente, há que se somar as aproxima¸cões obtidas em cada intervalo para se obter a aproxima¸cão de

Z b

f (x)dx .

Vejamos como fica o caso em que todos os intervalos da parti¸cão têm o mesmo tamanho h. Resultará da´ı uma fórmula bastante elegante para a aproxima¸cão da integral (parecida com a fórmula de integra¸cão pelo Método dos Trapézios), conhecida como fórmula de Simpson.

Em primeiro lugar, temos que desenvolver em detalhe o passo do procedimento que con- siste em achar o polinˆomio interpolador pelos trˆes pontos (x2i, y2i), (x2i+1, y2i+1) e (x2i+2, y2i+2).

Como não estamos interessados no polinômio em si mas sim na sua integral definida no intervalo [x2i, x2i+2], será mais simples trabalharmos no intervalo [−h, h], interpolando os pontos

(−h, y2i), (0, y2i+1) e (h, y2i+2) (fica ao leitor detalhista a tarefa de mostrar por que isso pode

ser realmente feito).

O polinˆomio interpolador p(x) = pi(x) pode ser calculado como no Cap´ıtulo 12, com o

aux´ılio dos polinˆomios de Lagrange: p(x) = y2i x(x − h) (−h)(−2h) + y2i+1 (x + h)(x − h) h(−h) + y2i+2 (x + h)x (2h)(h) , isto ´e, p(x) = 1

2h2{x(x − h)y2i− 2(x + h)(x − h)y2i+1+ x(x + h)y2i+2} .

Da´ı que Z h −h p(x)dx = 1 2h2 ( y2i Z h −hx(x − h)dx − 2y 2i+1 Z h −h(x + h)(x − h)dx + y 2i+2 Z h −h x(x + h)dx ) .

Fazemos ent˜ao uma a uma cada uma das trˆes integrais: Z h −hx(x − h)dx = Z h −h (x2− hx)dx = = x 3 3 h −h − h x 2 2 h h == h 3 3 − (−h)3 3 − h h 2 2 − (−h)2 2 = = 2 3h 3_. Semelhantemente, Z h −h(x + h)(x − h)dx = Z h −h x2− h2dx = −4₃h3 e Z h −h (x + h)xdx = 2 3h 3_.

Com esses valores, voltamos `a integral de p(x): Z h

−h

p(x)dx = h

3(y2i+ 4y2i+1+ y2i+2) .

Observe como, à semelhan¸ca do Método dos Trapézios, essa fórmula facilita o cômputo geral da aproxima¸cão, mesmo com uma subdivisão em muitos intervalos. Se, como acima, tivermos a parti¸cão do intervalo [a, b] em 2n intervalos, todos com tamanho h, então a soma de todas as aproxima¸cões será

3{(y0+ 4y1+ y2) + (y2+ 4y3+ y4) + . . . + (y2n−2+ 4y2n−1+ y2n)} , que ´e igual a

3{y0+ 4y1+ 2y2+ 4y3+ 2y4+ . . . + 2y2n−2+ 4y2n−1+ y2n} .

Para exemplificar e comparar com o M´etodo dos Trap´ezios, calculemos a mesma integral R1

0 1

1+x2dx usando a mesma divisão de intervalinhos (neste caso é poss´ıvel porque o número

de intervalos ´e par). Usaremos 9 algarismos significativos. Obtemos 2(y2+ y4+ y6+ y8) = 6.33731529 e 4(y1+ y3+ y5+ y7+ y9) = 15.7246294 , de modo que Z 1 0 1 1 + x2dx ≈ 0.1 3 (1.0000 + 6.33731529 + 15.7246294 + 0.50000) , ou seja, π = 4 Z 1 0 1 1 + x2dx ≈ 3.14159263 ,

valor que difere de π por menos do que 3 × 10−8_{, resultado bem melhor do que o obtido no}

Estimativa do erro nos m´etodos

de integra¸c˜ao

15.1 Fórmulas de erro e compara¸cão dos métodos

Aparentemente o Método de Simpson se revela melhor do que o Método dos Trapézios. Para verificar melhor essa afirma¸cão, olhemos para a seguinte tabela, que mostra os cálculos feitos para se obter π com os dois métodos para os valores de h iguais a 1

4, 1 8, 1 16 e 1 32. Os c´alculos

foram feitos com o software Maple, usando-se 20 algarismos significativos. A primeira coluna indica o número de intervalos da parti¸cão e a coluna seguinte o tamanho de cada intervalo da parti¸cão. Na terceira e na quinta os valores de T (h) e S(h), multiplicados por quatro (para comparar com π). Usaremos T (h) para denotar a estimativa da integral R1

0 1

1+x2dx com o

Método dos Trapézios e S(h) a estimativa da mesma integral com o Método de Simpson. Na quarta e na sexta estão as diferen¸cas, em valor absoluto, entre os números obtidos e o valor

π = 3.1415926535897932385 , fornecido pelo Maple com 20 algarismos significativos.

n h 4T (h) |4T (h) − π| 4S(h) |4S(h) − π| 4 1/4 3.131 0.011 3.141569 2.4 × 10−5

8 1/8 3.1390 0.0026 3.14159250 1.5 × 10−7

16 1/16 3.14094 0.00065 3.1415926512 2.4 × 10−9

32 1/32 3.14143 0.00016 3.141592653552 3.7 × 10−11

Na tabela podemos observar que o Método de Simpson não só é mais eficiente (compare na primeira linha, por exemplo), mas a cada vez que h é diminu´ıdo a sua eficácia é propor- cionalmente maior do que a do Método dos Trapézios. A cada vez que h é reduzido por 2, o erro no Método dos Trapézios diminui aproximadamente 4 vezes, enquanto que no Método de Simpson, neste exemplo, a redu¸cão é de pelo menos 64 vezes!!

Devotaremos o restante deste Cap´ıtulo à discussão da eficácia dos dois métodos. Gos- tar´ıamos de ter, por exemplo, uma estimativa máxima para o erro cometido na integra¸cão de

uma fun¸cão f : [a, b] → R, dado o tamanho h dos intervalos da parti¸cão. Essa estimativa será chamada de ET, no caso do Método dos Trapézios, e ES, no caso do Método de Simpson.

Tanto ET como ES depender˜ao de f , do tamanho total b − a do intervalo de integra¸c˜ao e

de h. No entanto, assumiremos f e o intervalo [a, b] como fixos, de forma que freqüente- mente exprimiremos apenas a dependência em rela¸cão a h, dessas estimativas: ET = ET(h)

e ES= ES(h).

O significado de ET(h) (e similarmente de ES(h)) ´e o seguinte. Se calcularmos T (h), ent˜ao

saberemos, com absoluta certeza, que o valor correto da integral est´a entre T (h) − ET(h) e

T (h) + ET(h). É claro que essa interpreta¸cão não leva em conta os erros de arredondamento

cometidos nos cálculos, devidos à limita¸cão no número de algarismos significativos. Por outro lado, o conhecimento prévio do erro inerente ao processo permite avaliar com quantos algarismos significativos deve ser feita a integra¸cão.

Além disso é importante salientar que ET(h) (e similarmente ES(h)) não mede a real

diferen¸ca entre o valor obtido T (h) e o valor verdadeiro. Essa diferen¸ca ´e, com certeza, apenas menor do que ET(h). Por exemplo, na determina¸c˜ao de π que fizemos acima, o

c´alculo de ET(h) e ES(h), de acordo com as f´ormulas que discutiremos abaixo, leva a valores

muito maiores do que a real diferen¸ca entre os valores de T (h) e S(h) e o valor verdadeiro. Pode-se dizer então que a previsão de erro foi bastante pessimista. Em outros casos, porém, ela pode acabar sendo realista, e isso vai depender muito da fun¸cão integranda.

Na Se¸c˜ao seguinte nos preocuparemos em calcular ET(h) e ES(h). Usaremos trˆes abor-

dagens diferentes para o problema, obtendo ao final resultados similares, e adotaremos, na pr´atica, aquelas que julgaremos ser as melhores estimativas. Os resultados est˜ao expostos na tabela abaixo.

1a ₂a ₃a

ET(h) ₁₂1 max |f′′| · |b − a|h2 ₁₂1 max |f′′| · |b − a|h2 ₁₂5 max |f′′| · |b − a|h2

ES(h) ₂₄1 max |f′′′| · |b − a|h3 ₁₈₀1 max |f(iv)| · |b − a|h4 ₄₅1 max |f(iv)| · |b − a|h4

Para entendermos melhor o significado desta tabela, percebemos primeiro que todas as fórmulas são do tipo Chβ_{, com β igual a 2, 3 ou 4. Nas constantes, está presente o máximo}

valor absoluto de certas derivadas de f , m´aximo que deve ser avaliado dentro do intervalo [a, b].

Quem ser´a menor, C2h2, C3h3ou C4h4? Ou colocando em n´umeros, a t´ıtulo de exemplo,

quem ´e menor, 1000h4 ou 0.2h2?

Evidentemente não há resposta a essa pergunta, pois se h = 0.5, por exemplo, então 1000h4 = 62.5, que é (bem) maior do que 0.2h2 = 0.05, mas por outro lado se h = 0.01 então 1000h4_{= 10}−5_{, menor do que 0.2h}2_{= 2 × 10}−5_{. Na verdade, mesmo que 1000h}4 _seja

maior do que 0.2h2_{, para certos valores de h, isso nunca vai acontecer se h for suficientemente}

pequeno, pois

1000h4

0.2h2 = 5000h 2_{→ 0}

quando h tende a zero. O limite indica mais ainda do que isso: a raz˜ao entre 1000h4 _{e 0.2h}2

´e tanto menor quanto menor for h. Se, por exemplo, quisermos que 1000h4 _{seja 100 vezes}

Nesta linha de racioc´ınio, quando h tende a ser pequeno, as melhores estimativas tendem a ser aquelas que têm mais alta potência de h. São melhores nesse sentido, portanto, as estimativas do Método de Simpson, e dentre elas a segunda, pois, dentre as duas com h4_{, é}

aquela com menor constante multiplicativa: ES(h) =

180max |f

(iv)_{| · |b − a|h}4_.

As três estimativas para o Método dos Trapézios são da mesma ordem (h2_{), sendo a terceira}

um pouco pior do que as outras duas, por apresentar constante multiplicativa maior. Ent˜ao ET(h) =

1 12max |f

′′_{| · |b − a|h}2_.

Essas duas estimativas são as que iremos adotar nas aplica¸cões práticas.

No documento Cálculo Numérico — Fundamentos e Aplicações (páginas 157-163)