O modelo com retornos constantes de escala (CCR-CRS)

Segundo Cooper et al. (2006), o modelo CCR possui retornos constantes de escala. Este modelo tem orientação ao insumo e usa um programa linear para determinar o peso para maximizar a razão entre produto e insumo, ou seja, output/input. O peso ótimo pode variar de

6 _{FARRELL, M. J. The Measurement of Productive Efficiency. Jounal of the Royal Statistical Society, Series}

A, 120, part 3, p.253-281. 1957.

39 uma Unidade de Tomada de Decisão (DMU)8 para outra DMU. Assim, os pesos no DEA provém de dados em vez de ser fixados antecipadamente.

Para Cooper et al. (2006), a definição de DMU é um tanto livre para permitir a flexibilidade em seu uso em uma ampla gama de possíveis aplicações. Genericamente DMU é definido como a entidade responsável por converter insumo em produto e cujas performances são avaliadas. Em aplicações gerenciais, as DMUs podem incluir bancos, supermercados, hospitais, escolas, entre outros. Supondo ter n DMUs. Muitos inputs e outputs comuns para cada um desses j = 1,...,n DMUs são selecionados como segue:

1. Dado numérico é avaliável para cada input e output, com o dado assumido ser positivo para todos os DMUs;

2. Os itens (inputs, outputs e escolha de DMUs) devem refletir o interesse de analista ou gerente nos componentes que são relativos a avaliações de eficiência das DMUs; 3. Montantes menores de entrada são preferíveis e maiores montantes de produto são

preferíveis de modo que os valores de eficiência devem refletir esses princípios; 4. As unidades de medida de diferentes inputs e outputs não precisam ser congruentes.

Algumas podem envolver número de pessoas, ou áreas de espaço, dinheiro gasto, etc. (COOPER et al., 2006).

Segundo Lamera et al. (2008), o pressuposto fundamental do modelo é que, se uma DMU é eficiente utilizando determinada quantidade de inputs para atingir determinada quantidade de outputs, é esperado que qualquer outra DMU também atinja o mesmo resultado se for eficiente. O objetivo da técnica utilizada é encontrar o melhor DMU virtual para cada DMU real. Cada DMU virtual é uma combinação convexa de outras unidades reais capaz de mostrar para a DMU ineficiente como otimizar seus resultados dentro do processo produtivo.

Segundo Cooper et al. (2006), supondo k artigos input e m output selecionados com propriedades notadas em 1 e 2. Os dados da DMUj input são (x1j, x2j, ..., xkj) e os dados da DMU output são (y1j, y2j, ..., ymj). A matriz de dados X para input (insumo) e a matriz de dados Y para output (produto) podem ser distribuídas como segue abaixo, onde X é uma matriz (k x n) e Y uma matriz (m x n), correspondendo a todos os dados das DMUs:

40 Segundo Cooper et al. (2006), para mensurar a eficiência de cada DMU uma vez precisa-se de n otimizações, uma para cada DMUj que é avaliada. Depois de avaliada é

designada como DMUo, onde o vai de 1, 2, ..., n. Resolve-se a seguinte programação

fracionária para obter os pesos de input (vi, onde i= 1,...k) e de output (ur, onde r= 1, ...,m) como variáveis.

A função de produção fracionária maximiza a razão entre o produto virtual e o insumo virtual, não ultrapassando 1 para todos os DMUs. O objetivo é obter pesos (vi) e (ur) que maximize a razão do DMUo , o DMU que está sendo avaliado. Pelos condicionantes virtuais,

o objetivo de valor ótimo * no máximo 1. Cooper et al. (2006) define as restrições como ter a necessidade de serem valores positivos (maiores ou iguais a zero) para insumos e produtos. Uma DMU é CCR-eficiente se * for igual a um (*=1) e existe pelo menos um ótimo (v*,

u*), com v* > 0 e u* > 0; caso contrário, o DMU será CCR-ineficiente.

De acordo com Cooper et al. (2006), o modelo CCR permite avaliar a eficiência produtiva de um vetor produto/insumo de uma unidade Q relativo a outros vetores de um conjunto de S unidades, resolvendo-se um problema de programação fracionária. Este problema tem a finalidade de maximizar o quociente entre a função linear das quantidades produzidas e uma função linear das quantidades de insumo utilizadas pela unidade Q, sujeito a restrições. As restrições se referem a que o mesmo quociente para cada uma das outras unidades seja igual ou menor que um. Assim, a medida de eficiência é resultado da razão da soma ponderada de produtos pela soma ponderada de insumos, conforme se segue.

Onde: S é o número de microrregiões a serem avaliados;

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J é o número de insumos;

yis é a quantidade do produto i gerado pela microrregião s; xjs é a quantidade de insumo j usado pela microrregião s; wi é o peso associado com o produto i;

vj é o peso associado com o insumo j;

ε é um número pequeno e positivo.

Cooper et al. (2006) definem como pressuposto do modelo CCR o conjunto de dados ser positivo. Porém, assume-se que os dados são semi-positivos, ou seja, alguns (mas não todos) inputs e outputs são positivos. Isto permite lidar com aplicações que envolvem zero dados em inputs e/ou outputs. O conjunto de possibilidades de produção composto destes dados de inputs e outputs (X, Y) são igualmente introduzidos. Os autores afirmam que o problema dual do modelo CCR é construído para mostrar que o problema dual avalia a eficiência com base em um problema de programação linear aplicado ao conjunto de dados (X, Y). A eficiência CCR é redefinida, levando em conta os excessos de input e deficiências de

output.

As observações que compõem o conjunto de possibilidades de produção são fundamentais na medida em que tornam possível avaliar o modelo CCR a partir de um ponto de vista mais amplo para estender este modelo para outros modelos. (COOPER et al., 2006).

Os autores ainda afirmam existir dois tipos de modelo CCR. Uma das versões do modelo CCR visa minimizar inputs que satisfaçam determinados níveis de output. Este é chamado de modelo input-oriented (orientado-insumo). A outra versão do modelo é chamada de modelo output-oriented que tenta maximizar os outputs sem exigir mais de qualquer dos valores observados de inputs.

Segundo Cooper et al. (2006), no conjunto de possibilidades de produção existem pares de vetores positivos de input e output (xj, yj) (j = 1,..., n) dos n DMUs. Todos os dados

são assumidos como não negativos, mas pelo menos um componente de cada vetor input e

output é positivo. Pode-se referir a isso como semi-positivo, com caracterização matemática

dada por xj ≥ 0, xj ≠ 0 e yj ≥ 0, yj ≠ 0 para j = 1,..., n. Portanto, cada DMU tem pelo menos um valor positivo de input e output. O conjunto de atividades viáveis é chamado de conjunto de possibilidade de produção e é denotado por P. A Figura 6 mostra o conjunto de possibilidades de produção para o modelo CCR, onde mostra o ponto B está na fronteira de eficiência e é o ponto eficiente deste mercado.

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Figura 6. Conjunto de possibilidades de produção. Fonte: Cooper et al. (2006).