O modelo de Lemaire (2004). Interac¸˜oes par´acrinas do remodelamento

Em contraste aos modelos mecanicistas propostos por Huiskes, Jacobs e McNamara, por exemplo, outros autores buscaram elaborar sistemas que representassem as vari´aveis biol´ogicas do remodelamento. A ideia central dos primeiros modelos ´e expressar a dinˆamica populacional por meio de um sistema equac¸˜oes diferenciais acopladas que interagem atrav´es de func¸˜oes que simulam a comunicac¸˜ao por prote´ınas sinalizadoras, por´em sem considerar vari´aveis espaciais.

Diversos trabalhos foram publicados com esta base, como Komarova (2003), Lemaire (2004), Pivonka (2008) e Scheiner (2012).

Lemaire e colegas publicaram um modelo estruturado em equac¸˜oes diferenciais que re-presenta a populac¸˜ao de osteoclastos, osteoblastos e suas interac¸˜oes por comunicac¸˜oes par´acrinas de OPG, RANKL, TGF-β. O modelo descreve tanto remodelamento iniciado por alguma perturbac¸˜ao ou por aleatoriedade, al´em de uma correlac¸˜ao com a s´ındrome de Paget, carac-terizada pelo aumento da atividade dos osteoclastos, e da resposta gerada pelo hormˆonio da paratireoide (LEMAIRE et al., 2004; KOMAROVA, 2005).

Foram consideradas quatro etapas de desenvolvimento dos osteoblastos: os precurso-res, os osteoblastos responsivos (R), os osteoblastos ativos (B) e um quarto grupo que agrega c´elulas apopt´oticas e oste´ocitos. Os precursores n˜ao comprometidos formam um reservat´orio com uma quantidade constante de c´elulas que podem se diferenciar em osteoblastos responsi-vos pela influˆencia do TGF-β, definido como o principal fator de est´ımulo desse processo de diferenciac¸˜ao. Os osteoblastos responsivos, por´em, s˜ao inibidos por essa prote´ına, que impede sua transformac¸˜ao para o est´agio seguinte. J´a os osteoblastos ativos s˜ao influenciados pelo PTH no controle da produc¸˜ao de produc¸˜ao de OPG e RANKL.

Os precursores de osteoclastos s˜ao induzidos a se diferenciarem para a forma ativa (C) pelo RANKL. Conforme o remodelamento avanc¸a, a liberac¸˜ao de TGF-β por essas c´elulas provoca tanto a morte dos pr´oprios osteoclastos como controla a diferenciac¸˜ao de osteoblastos.

A estrutura l´ogica do modelo ´e ilustrada na figura (2.7).

Figura 2.7: Estrutura l´ogica do modelo de Lemaire, 2003.

O comportamento celular ´e modulado quando os receptores na superf´ıcie celular s˜ao ativados pelas citocinas, que podem ser originadas em outras c´elulas ou produzidas por si mesma. No modelo, as reac¸˜oes s˜ao representadas como na formulac¸˜ao da cin´etica qu´ımica pela lei de ac¸˜ao das massas. Por exemplo, a interac¸˜ao RANK-RANKL-OPG ´e dada pelo esquema,

pO↓

O↓

dO

+

pL↓

L↓

dL

k2

−* )−

k1

O•L

pL↓

L

↓

dL

+K−)^k*−⁴

k₃

K•L

(2.50)

ondeO,LeKrepresentam as concentrac¸˜oes de OPG, RANKL e RANK em picomols (pM).O• LeK•Lindicam a concentrac¸˜ao do complexo OPG-RANKL e RANK-RANKL. As equac¸˜oes diferenciais das vari´aveis s˜ao dadas como,

dO

dt =p_O−k₁·O·L+k₂·O•L−d_O dO•L

dt =k₁·O·L−k₂·O•L−d_O dL

dt =p_L−k₁·O·L+k₂·O•L−d_O−k₃·K·L+k₄·K•L−d_L dK•L

dt =k₃·K·L−k₄·K•L

(2.51)

ondeks˜ao os coeficientes da reac¸˜ao, ped s˜ao taxas constantes de produc¸˜ao e destruic¸˜ao das prote´ınas. A taxa de destruic¸˜aod_O ´e dada pord_O=k_O·O.

A produc¸˜ao de OPG ´e inibida pela sinalizac¸˜ao de PTH e este efeito ´e representado pela relac¸˜ao,

p_O= K_O^P

π_PR+I_O (2.52)

sendoK_O^P a taxa de produc¸˜ao m´ınima de OPG por c´elula,π_P ´e a frac¸˜ao de receptores de PTH ocupados (dado pela equac¸˜ao 2.62), eI_Oa taxa de administrac¸˜ao de OPG externo.

O RANKL pode ser sintetizado de forma a ser mantido na superf´ıcie celular dos osteo-blastos ou numa forma sol´uvel, desprendida da c´elula produtora. No primeiro caso, somente um n´umero limitado de RANKL pode ser produzido e assim, a taxap_Ldeve ser controlada para n˜ao ultrapassar a capacidade de carregamento na membrana plasm´atica. Por sua vez, a quantidade de RANKL que cada c´elula pode dispor na superf´ıcie celular ´e definida pelo PTH. A relac¸˜ao ´e dada por,

p_L−d_L=r_L·

1−L+O•L+K•L K_L^P·π_P·B

+I_L (2.53)

onde r_L ´e a taxa de produc¸˜ao menos a de degradac¸˜ao de RANKL, I_L indica a administrac¸˜ao

externa da prote´ına. O termoL+O•L+K•L´e a quantidade total de RANKL, tanto livre como ligado ao OPG ou ao receptor RANK. A constanteK_L^P ´e a capacidade m´axima de RANKL que pode ser produzida, regulada pela frac¸˜ao da totalidade dos receptores de PTH ocupados (π_L) nos osteoblastos ativos (R).

Assume-se no modelo que a de produc¸˜ao e destruic¸˜ao de RANKL, OPG, RANK, ou qualquer prote´ına e receptor acontec¸a muito mais rapidamente do que a proliferac¸˜ao ou apoptose celular. Assim, as equac¸˜oes diferenciais que determinam a concentrac¸˜ao das mol´eculas entram em equil´ıbrio quase que instantaneamente em comparac¸˜ao com as c´elulas. Consequentemente, somente os estados de equil´ıbrio das equac¸˜oes referentes a prote´ınas e mol´eculas sinalizado-ras s˜ao significativos para a dinˆamica celular. Desse modo, cada equac¸˜ao do sistema (2.51) ´e igualada a zero. Resolvendo o sistema se chega as equac¸˜oes de RANKL (L) e OPG (O),

L=

No equil´ıbrio, a proporc¸˜ao de receptores RANK ocupados por RANKL, ou para qual-quer outra caso de relac¸˜ao entre receptores e ligante, ´e dada por,

π_L =K•L

K (2.56)

a concentrac¸˜ao de K ´e constante, e fazendo a variac¸˜ao deK•Ligual a zero se tem, dK•L

e substituindo o valor deLna equac¸˜ao anterior e depois de um certo algebrismo, se obt´em,

π_L= k₃

Um segundo sistema de sinalizac¸˜ao considerado no modelo ´e o hormˆonio PTH (P). A cin´etica de interac¸˜ao ´e igual a,

pp

sendo reescrito na forma de equac¸˜ao diferencial como, dP eS_P indica a taxa basal de produc¸˜ao do hormˆonio. A constante R^P_T ´e o n´umero, constante, de receptores por c´elula, no caso, de osteoblastos. BeRs˜ao a concentrac¸˜ao de osteoblastos ativos e responsivos.

No equil´ıbrio, a proporc¸˜ao de receptores de PTH ocupados ´e dado por,

π_P= P_R•P

R^P_T (2.62)

No equil´ıbrio, a variac¸˜ao da concentrac¸˜ao de PTH e do complexoP•P_R ´e nula, ent˜ao, dP_R•P

ondeP^S= ^k_k⁶

5. Na equac¸˜ao (2.60) da taxa de variac¸˜ao de PTH,

dP

dt =S_P+I_P+(k₆·P_R•P−k₅(R^P_T−P_r•P)·P)·(B+R)−k_P·P=0 (2.65)

resolvendo paraP,

P= S_P k_P + I_P

k_P =P^O+P¯

(2.66)

ondeP^O= ^S_k^P

P e ¯P=_k^IP

P.

Por fim, ao se substituir as equac¸˜oes (2.63) e (2.66) na equac¸˜ao (2.62) que dita a frequˆencia da ocupac¸˜ao do receptor, se obt´em,

π_P= P

P+P^S ≈P¯+P^O

P¯+P^S (2.67)

paraP^OP^S.

A terceira prote´ına sinalizadora de importˆancia ´e o T GF−β. Para este estudo, foi suposto que a citocina ´e liberada da matriz extracelular do tecido durante a reabsorc¸˜ao pelos osteoclastos. A taxa de liberac¸˜ao por cada c´elula foi considerado como um valor constante e, portanto, a concentrac¸˜ao deT GF−β ´e diretamente proporcional a de osteoclastos. A frac¸˜ao de ocupac¸˜ao dos receptores deT GF−β ´e igual a,

π_C=C+C⁰

C+C^S (2.68)

sendoCa concentrac¸˜ao de osteoclastos,C^Scorresponde ao coeficiente de associac¸˜ao/dissociac¸˜ao da citocina com seu receptor eC⁰a concentrac¸˜ao basal de osteoclastos no sistema, que Lemaire defini comoC⁰= f₀·C^S, tal que f₀´e uma proporc¸˜ao fixa.

O sistema que determina o comportamento das c´elulas ´e composto por trˆes equac¸˜oes, que representam a variac¸˜ao de osteoblastos responsivos (R), osteoblastos ativos (A) e osteoclas-tos (C). Como ´e mostrado na figura (2.7), as populac¸˜oes de osteoblasosteoclas-tos responsivos, ativos e

de osteoclastos s˜ao controladas pela sinalizac¸˜ao deT GF−β, enquanto o RANKL influˆencia somente na diferenciac¸˜ao de osteoclastos ativos. Portanto, as equac¸˜oes s˜ao constru´ıdas obede-cendo estas regras,

dR

dt =D_R·π_C−D_B π_C ·R dB

dt = D_B

π_C ·R−k_B·B dC

dt =D_C·π_L−D_A·π_C·C

(2.69)

tal queD_R ´e a taxa de diferenciac¸˜ao de c´elulas progenitoras para osteoblastos responsivos,D_B a taxa de diferenciac¸˜ao de osteoblastos responsivos para ativos ek_B a taxa de apoptose dessas c´elulas. D_C e D_A s˜ao, respectivamente, as taxas de diferenciac¸˜ao e apoptose de osteoclastos ativos.

Segundo Lemaire, a estrutura do modelo, a sua dinˆamica e os resultados obtidos s˜ao corroborados por todos os comportamentos do remodelamento ´osseo, o que inclui o acopla-mento entre osteoclastos e osteoblastos, o efeito catab´olico da administrac¸˜ao cont´ınua de PTH e de RANKL, e a revers˜ao deste ´ultimo por OPG. Como sugerido pelo autor, o modelo ´e uma alternativa para o estudo de doenc¸as metab´olicas, por exemplo, na deficiˆencia de estrogˆenio ou calcitriol, ou de intervenc¸˜oes cl´ınicas (LEMAIRE et al., 2004).