3.5 Modelos n˜ao param´etricos para an´alise de perfis
3.5.1 O modelo
94 3.5 MODELOS N ˜AO PARAM ´ETRICOS PARA AN ´ALISE DE PERFIS
1, . . . , g ek = 1, . . . , t´e definido como pik =
Z
HdFik em que H(x) = N−1Pg
i=1
Pt
k=1niFik(x) com N =Pg
i=1ni. Os valores de pik < 12 (pik > 12) indicam que as respostas das unidades amostrais correspondentes ao n´ıvel ido fator interunidades amostrais e n´ıvelkdo fator intraunidades amostrais tendem a assumir valores menores (maiores) que a resposta m´edia correspondente a todos os tratamentos. Um estimador consistente de pik [ver Brunner, Domhof e Langer (2002)] ´e
pbik = 1
N(Ri.k − 1 2) em que Ri.k = n−1i Pni
j=1Rijk ´e a m´edia aritm´etica dos postos no i-´esimo n´ıvel do fator interunidades amostrais e k-´esimo do fator intraunidades amostrais.
Similarmente, podemos definir o efeito relativo marginal de tratamento como pi =
Z
HdFi., em que H(x) = N−1Pg
i=1niFi(x), N = Pg
i=1ni e os valores de pi < 12 (pi > 12) indicam que as respostas das unidades amostrais correspondentes ao n´ıvelido fator interunidades amostrais tendem a assumir valores menores (maiores) que a resposta m´edia correspondente a todos os tratamentos. Os efeitos relativos pi podem ser estimados por
pbi = Z
Hdb Fbi = 1 ni
ni
X
j=1
H(Xb ik) = 1
N(Ri−1 2) com Ri. = n−1i Pni
j=1Rij denotando a m´edia aritm´etica dos postos no i-´esimo n´ıvel do fator interunidades amostrais e Rij ´e o posto de Xij entre todas as observa¸c˜oes.
Similarmente, o efeito relativo marginal pik correspondente ao i-´esimo n´ıvel do fator interunidades amostrais no k-´esimo n´ıvel do fator intraunidades amostrais, com i = 1, . . . , g e k = 1, . . . , t ´e definido como pik = R
HdFik, em que H(x) = N−1Pg
i=1
Pt
k=1niFik(x). Os valores de pik < 12 (pik > 12) indicam que as respostas das unidades amostrais correspondentes ao n´ıvelido fator interunidades amostrais e n´ıvelkdo fator intraunidades amostrais tendem a assumir valores menores (maiores) que a resposta m´edia correspondente a todos os tratamentos no instante k.
As hip´oteses de interesse, nomeadamente, de inexistˆencia de intera¸c˜ao e de efeitos principais dos fatores, al´em de outras, podem ser expressas na forma
CF=0 (3.5.2)
ou equivalentemente Cp = 0, em que C ´e uma matriz de constantes. Com a finalidade de testar essas hip´oteses, Brunner e Langer (2000) propuseram a seguinte estat´ıstica de Wald
QW(C) = npb>C>[CVbnC>]−Cpb (3.5.3) em que Vbn ´e um estimador consistente da matriz de covariˆancia de e n =Pg
i=1ni. Sob a hip´otese nula, QW tem distribui¸c˜ao assint´otica χ2f central com f =posto(C) graus de liberdade. Estudos de simula¸c˜ao mostraram que a distribui¸c˜ao da es-tat´ıstica QW converge vagarosamente para a distribui¸c˜ao Qui-quadrado e, conse-quentemente que os n´ıveis descritivos para os testes s˜ao bastante liberais. Alterna-tivamente, Brunner e Langer (2000) tamb´em consideram a seguinte estat´ıstica tipo ANOVA
QA(C) = n
tr(TVbn)pb>Tpb (3.5.4) em que T =C>[CC>]−C e tr(). Sob a hip´otese nula, a estat´ıstica QA tem distri-bui¸c˜ao aproximada χ2
fb, com
fb= [tr(TVbn)]2
tr(TVbn TVbn) (3.5.5)
paratr(TVbn)>0. A convergˆencia dessa estat´ıstica para sua distribui¸c˜ao assint´otica
´e mais r´apida do que a da estat´ısticaQW. Esse resultado ´e ´util quando o tamanho amostral ´e pequeno. Para mais detalhes sobre o uso dessas estat´ısticas ver Brunner, Domhof e Langer (2002).
Para analisar dados com medidas repetidas com um fator entre e outro intrau-nidades amostrais e testar as hip´oteses do tipo (2) constru´ımos uma sub-rotina (ANOVA.NPar) escrita em linguagemR(R Development Core Team, 2012) baseada em macros escritas para o pacote SAS disponibilizadas emhttp://www.ams.med.
uni-goettingen.de/amsneu/sasmakr-de.shtml, em sub-rotinas Excel disponibi-lizadas emhttp://www.ime.usp.br/~jmsinger/Medidas%20repetidas%20NP.zip e na fun¸c˜aoonparLD do software R.
A sub-rotina ANOVA.NPar produz gr´aficos de perfis individuais para cada n´ıvel do fator interunidades amostrais, gr´afico de perfis m´edios e gr´afico de intervalos de confian¸ca, com 95% de confian¸ca, para os efeitos relativos de tratamento, uma tabela com estimativas dos efeitos relativos de tratamento e limites inferiores e superiores de intervalos de confian¸ca, com coeficiente de confian¸ca de 95% al´em de tabelas com os resultados dos testes usuais (efeitos de intera¸c˜ao, de grupo e de tempo). Quando outras hip´oteses s˜ao especificadas pelo usu´ario a sub-rotina gera resultados similares
`aqueles produzidos no caso usual. Os gr´aficos s˜ao dispostos em janelas distintas.
Apresentamos abaixo a estrutura necess´aria para a disposi¸c˜ao dos dados a serem analisados.
96 3.5 MODELOS N ˜AO PARAM ´ETRICOS PARA AN ´ALISE DE PERFIS
Tabela 3.5.1: Disposi¸c˜ao de dados para an´alise por meio da sub-rotina ANOVA.NPar
Unidade
Grupo Amostral Tempo Resposta
1 1 1 X111
1 1 2 X112
... ... ... ...
1 1 t X11t
1 2 1 X121
1 2 2 X122
... ... ... ...
1 2 t X12t
... ... ... ...
1 n1 1 X1n11
1 n1 2 X1n12
... ... ... ...
1 n1 t X1n1t
... ... ... ...
g 1 1 Xg11
g 1 2 Xg12
... ... ... ...
g 1 t Xg1t
g 2 1 Xg21
g 2 2 Xg22
... ... ... ...
g 2 t Xg2t
... ... ... ...
g ng 1 Xgng1
g ng 2 Xgng2
... ... ... ...
g ng t Xgngt
Para utilizar a sub-rotina, os dados devem estar dispon´ıveis usando o comando attach().
Argumentos obrigat´orios:
Os argumentos ser˜ao apresentados usando o exemplo de uma estrutura similar a Tabela 1, ap´os o uso do comando attach().
var: vetor contendo os valores num´ericos da vari´avel resposta. Os valores omis-sos (missing) devem ser indicados por NA, exceto para os dados faltantes devido `a cela vazia, que devem ser exclu´ıdos. No exemplo, var = Resposta.
time: vetor com os valores dos n´ıveis do fator intraunidades amostrais. No exem-plo,
time = Tempo.
subject: vetor com os valores da vari´avel que identifica as unidades amostrais.
No exemplo,subject = Unidade Amostral.
group: no caso de o estudo conter apenas o fator intraunidades amostrais, n˜ao
´e preciso declarar o vetor de valores correspondentes ao fator entre unidades amos-trais. No caso de estudos ter fatores entre e intraunidades amostrais (com ou sem cela vazia) o parˆametrogroup recebe o vetor com os valores do fator entre unidades amostrais. No exemplo,group = Grupo. Se o estudo tiver dois ou mais fatores entre unidades amostrais deve-se criar uma nova vari´avel cujos n´ıveis sejam a combina¸c˜ao dos n´ıveis dos fatores. O default desse parˆametro ´e NULL.
time.order: vetor com os n´ıveis do fator intraunidades amostrais ordenados.
O formato (num´erico ou n˜ao) dos n´ıveis declarados deve ser igual ao formato em time. No exemplo, se no vetor time os n´ıveis forem declarados como nomes, ent˜ao time.order = c("1","2","3",
...,"t"), caso contr´ariotime.order = c(1,2,3,...,t). Odefaultdesse parˆametro
´eNULL.
emptyCell: parˆametro usado apenas se o estudo possuir cela(s) vazia(s), sendo necess´ario declar´a-la(s). Como exemplo, suponha que em um estudo com 3 grupos e 5 tempos ocorram celas vazias no grupo 2, tempo 4 e no grupo 3, tempo 2, ent˜ao as celas vazias seriam declaradasemptyCell = rbind(c("G2","T4"),c("G3","T2")).
O defaultdesse parˆametro ´e NULL.
Argumentos opcionais:
Para os parˆametros opicionais, r´otulo da vari´avel resposta (var.name), r´otulo dos n´ıveis do fator intraunidades amostrais (time.name) e r´otulo dos n´ıveis do fa-tor entre unidades amostrais (group.name) o usu´ario pode declarar o r´otulo dessas vari´aveis que aparecer˜ao nos resultados da sub-rotina, o default´eNULL.
group.order: vetor com os n´ıveis do fator entre unidades amostrais ordenados.
O formato (num´ericos ou n˜ao) dos n´ıveis deve ser igual ao formato declarados em group. No exemplo, se no vetor group os n´ıveis do fator entre unidades amostrais forem declarados como nomes, ent˜ao group.order = c("1","2","3",...,"g"), caso contr´ariogroup.order = c(1,2,3,...,g). Odefaultdesse parˆametro ´eNULL.
contrast: parˆametro obrigat´orio em estudos com celas vazias; nele o usu´ario declara a(s) matriz(es) de contraste(s) da(s) hip´otese(s) de interesse. Por exemplo, suponha que o usu´ario queira testarhhip´oteses. Inicialmente s˜ao montadas ash ma-trizes de contrastes, nomeando-as, por exemplo, C1,C2,. . . ,Ch e declarando-as em uma lista usando o comando list() da forma contrast = list(C1,C2,...,Ch).
O defaultdesse parˆametro NULL.
98 3.5 MODELOS N ˜AO PARAM ´ETRICOS PARA AN ´ALISE DE PERFIS
rounds: parˆametro que define quantas casas decimais ser˜ao apresentadas nos resultados das tabelas, o default´e com 4 casas decimais.
alpha: parˆametro que define o n´ıvel de significˆancia adotado, odefault´e de 0.05.
Sa´ıdas geradas pela sub-rotina ANOVA.NPar:
summary: tabela resumo contendo os n´ıveis do fator entre unidades amostrais (Group), os n´ıveis fator intraunidades amostrais (Time), quantidade de unidades amostrais (Nobs), m´edias dos postos (RankMeans), estimativa do efeito relativo de tratamento (RTE), estimativa da variˆancia (Variance), e os limites inferior e supe-rior do IC(95%) dos efeitos relativos de tratamentos (Lower e Upper).
out: resultados das estat´ısticas de Wald e tipo ANOVA para os testes usuais (efeitos de intera¸c˜ao, de grupo e tempo). Essa sa´ıda n˜ao existe quando o estudo ´e com cela(s) vazia(s).
Stat: apresenta os resultados (estat´ıstica de Wald e tipo ANOVA) para os testes definidos pelo usu´ario com suas respectivas matrizes de contrastes.
Stat$Tests[[h]]: o usu´ario seleciona apenas um dos resultados dos testes defi-nidos emcontrast, pela sua posi¸c˜ao ocupada na lista. Na sa´ıda deStat$Tests[[h]]
o usu´ario encontrar´a a matriz de contrastes e seus respectivos testes de Wald e tipo-ANOVA. Por exemplo, para selecionar os resultados dos testes cuja matriz de contraste ocupa a posi¸c˜ao 3 na lista, o usu´ario deve escrever Stat$Tests[[3]].
Covariance: o usu´ario obt´em a matriz de variˆancias e covariˆancias estimada.