O Modelo RS-I

No primeiro modelo proposto, fazemos uma compactifica¸c˜ao circular da di- mens˜ao extra com uma identifica¸c˜ao toroidal y → 2nπ + y. No elemento de linha acima, isto pode ser feito com

y = rcφ, (3.16)

ds2 = e−αrcφηµνdxµdxν + rc2dφ2, (3.17)

com rc representando o raio de compactifica¸c˜ao e φ o ˆangulo (a coordenada).

Al´em desta compactifica¸c˜ao, o bulk ser´a representado no intervalo φ ε [0, π], com simetria S1/Z2, ou seja, o intervalo [−π, 0] corresponde de maneira es-

pecular a [0, π]. Deste modo, qualquer ˆangulo φ > π ou φ < −π pode ser reduzido ao quadrante [−π, π] que, em detrimento da simetria Z2 pode ser

y(r )c

−2 0 2 4

−4

rc y

Figura 3.1: Compactifica¸c˜_{ao da coordenada y de acordo com y → 2nπr}c+ y.

As branas situam-se nos pontos φ = 0 e φ = π, de tal maneira que formam a fronteira do bulk, como se pode ver na figura 3.2.

Brana

Invisivel Brana_visivel

Bulk 0

Figura 3.2: Representa¸c˜ao de um Universo de Randall-Sundrum com duas branas. O Universo propriamente dito ocupa o lugar geom´etrico chamado bulk. As branas representam seus ‘limites’.

A a¸c˜ao cl´assica que gera a gravidade neste ˆambito ´e descrita atrav´es de um termo de curvatura no bulk - representado pela soma do escalar de Ricci e da constante cosmol´ogica - e por dois ‘potenciais’, ou regi˜oes de descontinuidade no Universo, inclu´ıdas como lagrangeanos e potenciais 4- dimensionais na a¸c˜ao, S = Z d4x[√_−g1{£1− V1} +√−g2{£2− V2} + Z π −π dφ√_{−GU], (3.18)} U _{= −Λ + 2M}3R. (3.19)

Na equa¸c˜ao, o ´ındice 1 faz referˆencia `a brana situada em φ = π, onde os campos ocorrem, e o ´ındice 2 `a outra brana situada em φ = 0. Os termos £ e V representam respectivamente o lagrangeano da brana e o potencial, atuando como uma fonte gravitacional, mesmo na ausˆencia de part´ıculas.

Al´em disto, Λ representa a constante cosmol´ogica existente no bulk e R o escalar de Ricci da solu¸c˜ao.

Podemos separar esta a¸c˜ao em trˆes peda¸cos distintos, cada um corre- spondendo `a influˆencia de uma parte do Universo, a brana vis´ıvel (v) onde moramos, a brana invis´ıvel (i) e o bulk (b),

Sv = Z d4x[√_−g1{£1− V1}], (3.20) Si = Z d4x[√_−g2{£2− V2}], (3.21) Sb = Z d4x[ Z π −π dφ√_{−G{−Λ + 2M}3_}]. (3.22) As m´etricas nas branas podem ser escritas como

gµν1 (xµ) ≡ Gµν(xµ, φ = 0), (3.23)

g2_µν(xµ_{) ≡ G}µν(xµ, φ = π). (3.24)

A solu¸c˜ao das equa¸c˜oes da gravita¸c˜ao para esta a¸c˜ao vˆem de [49, 50] δ£ δgµν = − √ −gTµν, (3.25) sendo, S = Z dr£, (3.26) ou seja, £=√_−g1{£1− V1} +√−g2{£2− V2} + Z π −π dφ√_{−G{−Λ + 2M}3R_{}. (3.27)}

Conseguimos, depois de alguns c´alculos, −4M3√−G  RAB − GABR 2  = Λ√_−GGAB +V1√−g1gµν1 δ µ AδνBδ(φ − π) + V2√−g2gµν2 δ µ AδνBδ(φ). (3.28)

(GABrepresenta a m´etrica 5-dimensional). As fun¸c˜oes ‘delta’ vˆem da derivada

com rela¸c˜ao a φ por esta ser descont´ınua em todo φ = nπ, n inteiro, os ´ındices gregos correm de 0 a 3 (coordenadas da brana) e os latinos mai´usculos de 0 a 4 (todas as coordenadas). A ´unica exigˆencia para a efic´acia da proposta do ponto de vista te´orico (at´e que n˜ao saibamos dizer experimentalmente se

h´a plausabilidade ou n˜ao) f´ısico ´e a existˆencia de invariˆancia de Poincar´e nas dire¸c˜oes das coordenadas das branas.

Tomando o Ansatz, ds2 = e−fηµνdxµdxν + rc2dφ2, (3.29) (f = f (φ)), as equa¸c˜oes (3.28) se reduzem a 6 ˙f2 r2 c = − Λ M3, (3.30) 6M3_f¨ rc = V1δ(φ − π) + V2δ(φ), (3.31) ( ˙f = _dφdf).

A solu¸c˜ao para (3.30) pode ser expressa como f = r −Λr 2 c 6M3|φ| + Cte. (3.32)

Podemos escolher Cte = 0, pois ela representa apenas uma reescala nas coordenadas xµ_{. Naturalmente a solu¸c˜ao s´o existe para Λ < 0, o que torna o}

bulk do Universo tipo Anti-de Sitter.

Computando as derivadas da fun¸c˜ao f acima obtemos ˙ f = r −Λr 2 c 6M3[θ(φ) − θ(φ − π)], (3.33) ¨ f = r −2Λr 2 c 3M3[δ(φ) − δ(φ − π)], (3.34)

em que θ representa a fun¸c˜ao sinal. Esta fun¸c˜ao vem da derivada de uma descontinuidade tipo m´odulo de x, que ´e exatamente o que temos no gr´afico f (φ) x φ.

Comparando as express˜oes (3.34) e (3.31), os potenciais das branas s˜ao dados por

V2 = −V1 =

√

−24M3_{Λ, (3.35)}

portanto, a solu¸c˜ao fica como ds2 = e−

r −Λr2c

6M 3|φ|_η

µνdxµdxν + r2cdφ2. (3.36)

Estamos tomando o raio de compacti¸c˜ao rc com um valor pequeno (para

f( )

0

−3 −2 − 2 3

k

... ...

Figura 3.3: Gr´afico de f (φ) x φ. O comportamento da fun¸c˜ao f vem do fato que o espa¸co-tempo ´e compacto na dire¸c˜ao y. A constante k tem valor k =

q −Λr2c

6M3π.

da dimens˜ao extra ´e pequena para a detetabilidade. Portanto o Universo parece - do ponto de vista dos campos de mat´eria - um lugar geom´etrico de 4 dimens˜oes.

Resta saber para completar a descri¸c˜ao de RS-1, a rela¸c˜ao entre parˆametros como massa de Planck 5-dimensional e a massa como medida na brana. Fare- mos isto identificando a flutua¸c˜ao de modo zero do gr´aviton na solu¸c˜ao acima, com uma perturba¸c˜ao ao redor da solu¸c˜ao estacion´aria,

ds2 = e−

q

−_{6M 3}Λ |φ|T (x)_[η

µν+ hµν(x)]dxµdxν + [T (x)]2dφ2. (3.37)

Aqui hµν(x) representa flutua¸c˜oes em torno do espa¸co plano da brana, ou,

o gr´aviton que aparece para o observador na brana (modo sem massa da decomposi¸c˜ao de Gµν). O fato importante ´e que esta m´etrica ´e localmente

tipo Minkowski na brana, para qualquer h suave e T (x) constante. Consider- aremos o raio de compactifica¸c˜ao da brana, como o valor esperado do campo T (x), o que representa justamente a escolha de branas localmente planas.

Uma caracter´ıstica peculiar ao modelo ´e que perturba¸c˜oes vetorias de modo zero como Wνdxνdφ, que encontramos em geral ao compactificarmos

dimens˜oes extras, correspondentes `as isometrias destas dimens˜oes n˜ao exis- tem, pela presen¸ca das branas. Assim sendo, podemos anular as flutua¸c˜oes de modo zero fora da diagonal nas componentes ha4.

Substituindo (3.37) na a¸c˜ao de curvatura do bulk (i. e., sem a parte de constante cosmol´ogica), e tomando hT (x)i = rc, como acima explicamos,

obtemos Scb = Sb− SΛ= Z d4x Z π −π dφ2M3e− q −_{6M 3}Λ |φ|rc rcp−ˆg(x) ˆR(x), q − ˆG = rcp−ˆg, gˆµν ≡ ηµν + hµν(x). (3.38)

O fato de φ n˜ao aparecer em ˆg acima ´e porque estamos tratando de per- turba¸c˜oes pequenas. Assim, o volume da dimens˜ao extra pode ser calculado simplesmente integrando em φ a a¸c˜ao Scb,

V ol(φ) = rc Z π −π dφe−f = 1 − e − r −π2r2c Λ 6M 3 q −24MΛ3 . (3.39)

Assim, atrav´es de (3.14), podemos calcular a massa da Planck 4-dimensional, como vista por um observador na brana,

M2 P = M31 − e − q −Λπ2rc2_{6M 3} q −24MΛ 3 . (3.40)

Este resultado ´e not´avel: a massa da escala eletrofraca n˜ao depende apenas do tamanho da dimens˜ao extra mas da constante cosmol´ogica 5-dimensional.

Acoplamento brana-gr´aviton no limite de campo fraco

Para saber qual o conte´udo da lagrangeana da a¸c˜ao das branas (2.22- 2.23), precisamos determinar qual o acoplamento entre a brana e o campo gravitacional a baixas energias. Nas branas temos que g1 = ˆg e g2 = eCg,ˆ

com C = − q

−π2rc2Λ

6M3 . Considerando por exemplo o campo de Higgs H na

a¸c˜ao da brana temos S2 =

Z

d4x√_−g2{g2µν∇µH†∇νH − λ[HH†− m02]2} + Υ, (3.41)

em que Υ representa a parte da a¸c˜ao na brana que n˜ao necessitamos analisar agora e m0 o parˆametro de massa do campo. Substituindo (3.23-3.24) em S2

segue que S2 = Z d4xp−ˆge2C_{ˆgµνe−C_∇µH†∇νH − λ[HH†− m02]2} + Υ, = Z d4xp−ˆg{ˆgµν_∇µ(eC/2H†)∇ν(eC/2H) − λ[(eC/2H)(eC/2H†) −(eC/2m0)2]2} + Υ = Z d4xp−ˆg{ˆgµν_∇µQ†∇νQ − λ[QQ†− (eC/2m0)2]2} + Υ. (3.42)

Isto talvez seja uma das mais importantes conclus˜oes que possamos chegar sobre o modelo: ao renormalizamos um campo de Higgs, com eC/2_{H → Q,} conseguimos uma reescala no parˆametro de massa,

mn= m0eC/2 = m0e− r

−π2r2c Λ

24M 3_{. (3.43)}

Este resultado ´e completamente geral e falseia o problema da hierarquia: qualquer parˆametro de massa m0 corresponder´a `a massa mn quando medida

com ˆg, que ´e a m´etrica da a¸c˜ao de Einstein. A massa de Planck 4-dimensional n˜ao ´e mais a escala em que a gravita¸c˜ao quˆantica deve dominar. Ao inv´es disto, tomamos esta escala como a massa de Panck 5-dimensional que ´e a mesma da escala fraca. E esta massa mef depende (pela proposta do modelo)

do tamanho da dimens˜ao extra, da massa de Planck em 4 dimens˜oes e da constante cosmol´ogica do bulk. Portanto temos a escala TeV exigida pela quest˜ao da hierarquia, ajustando e−

r −π2r2c Λ

24M 3 _{∼ 10}15_{. Ou do ponto de vista}

experimental do observador que mora na brana vis´ıvel, a escala de Planck acontece em detrimento deste fator de deforma¸c˜ao pequeno na fun¸c˜ao de onda do gr´aviton na quinta dimens˜ao. Isto contrasta com a resolu¸c˜ao do problema de hierarquia com dimens˜oes extras grandes. As conseq¨uˆencias astrof´ısicas e cosmol´ogicas de modos de Kaluza-Klein (KK) ‘muito leves’ que os modelos ADD precisam levar em conta, citadas na se¸c˜ao precedente tˆem influˆencia nesta proposta.

A decomposi¸c˜ao dos modos gravitacionais de Kaluza-Klein ser´a estudada no pr´oximo modelo.

Seguiremos a exposi¸c˜ao dos Universos de Randall-Sundrum com a decom- posi¸c˜ao dos modos gravitacionais. Veremos que ´e poss´ıvel estender rc at´e o

infinito, construindo um modelo de uma ´unica brana em y = 0.

A detec¸c˜ao experimental dos primeiros modos do gr´aviton (menos en- erg´eticos) deve provavelmente acontecer nos pr´oximos anos (se o modelo rep- resentar uma realidade plaus´ıvel), visto que a atual gera¸c˜ao de aceleradores est´a chegando `a escala T eV de energia.