CAPÍTULO III – Algumas aplicações da sequência de Fibonacci e do Número de
3.1. O Número de Ouro e a sequência de Fibonacci nos conteúdos do currículo de
A. Os números de Fibonacci e o Teorema de Pitágoras
Segundo o matemático Kepler (citado por Boyer, 1996, p. 35):
“
A Geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa.”O triângulo de Pitágoras é um triângulo retângulo que obedece ao Teorema de Pitágoras, em que se designa o lado maior por hipotenusa ( ) e os dois lados menores por catetos ( e ).
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De acordo com o Teorema de Pitágoras podemos afirmar que:
“Num triângulo retângulo, o quadrado da medida do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos comprimentos dos catetos”, isto é, .
Na tabela seguinte, encontra-se uma lista que contém alguns dos possíveis triângulos de Pitágoras:
Tabela 1: Relação entre os números de Fibonacci e os triângulos de Pitágoras
Como podemos verificar na tabela anterior, alguns dos triângulos são ampliações dos triângulos assinalados com *, na quarta coluna da tabela. Estes triângulos assinalados com * designam-se triângulos de Pitágoras primitivos.
Sejam e dois números consecutivos da sequência de Fibonacci. Podemos usar os números de Fibonacci para obtermos triângulos de Pitágoras, da seguinte forma:
1.º Multiplicar por , obtendo ( ) ; 2.º Duplicar o resultado da operação anterior, obtendo ; 3.º Multiplicar por , obtendo ( ) ;
4.º Somar o quadrado de com o quadrado de , obtemos ( ) .
Com este procedimento obtemos um triângulo de Pitágoras cujos catetos são , e a hipotenusa . Usaremos o procedimento anterior para obter um triângulo de Pitágoras. Consideremos, por exemplo, os seguintes números consecutivos da sequência de Fibonacci, e .
1.º ( ) 2.º 3.º ( ) 4.º ( )
Deste modo, obtemos um triângulo de Pitágoras cujos lados tem comprimentos , satisfazendo a: ⇔ * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) ( ) *
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B. O Número de Ouro e os sólidos platónicos
Diz-se que um poliedro convexo é regular quando as suas faces são polígonos regulares iguais entre si, e em cada vértice concorre o mesmo número de faces. Fazem parte da História da Matemática cinco poliedros regulares identificados pelos gregos. Estes poliedros ficaram conhecidos por sólidos platónicos.
Os gregos acreditavam que o sagrado mistério da ciência tem o seu centro na Matemática, no estudo do número, cuja lei domina todas as coisas, nomeadamente: nos astros, cujas distâncias, grandezas e movimentos são regulados por meio de relações matemáticas, geométricas e numéricas; nos sons, cujas relações de harmonia obedecem a leis numéricas fixas; na vida e na saúde, que são proporções numéricas e harmónicas de elementos. Eles entendiam que o “número dirige o universo”, e que a essência de todas as coisas que existem na natureza pode ser explicada através dos números.
De acordo com Neves et al. ( 2004, p. 51), no livro de Timeu, escrito por volta do ano 350 a.C., Platão apresentava a teoria segundo a qual os quatro “elementos” admitidos como constituintes do Mundo – o fogo, o ar, a água e a terra – eram todos agregados de sólidos minúsculos. Além disso, defendia ele, uma vez que o Mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos só poderiam ter a forma de sólidosregulares.
Associou a cada um destes sólidos um elemento da natureza: sendo o mais leve e o mais violento dos elementos, o fogo deveria ser um tetraedro; como é o mais estável dos elementos, a terra deveria ser constituída por cubos; como sendo a mais inconstante e fluida, a água teria de ser um icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente; quanto ao ar, Platão observou que “… o ar
é para a água o que a água é para a terra” e concluiu de forma algo misteriosa, que o ar deveria ser
o octaedro; finalmente, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o Universo.
Platão admitia que, por intervenção inteligente, uns se transformavam nos outros, à exceção da Terra, que se transformava em si própria.
Figura 9: Sólidos platónicos 11
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Se unirmos os centros das faces consecutivas de cada poliedro, obtemos um novo poliedro, que se designa por dual do primeiro. O dual de um poliedro regular é ainda um poliedro regular.
Assim sendo, o dual do tetraedro é um tetraedro, o dual do octaedro é um cubo, o dual do icosaedro é um dodecaedro, o dual do cubo é um octaedro e o dual do dodecaedro é um icosaedro.
Figura 10: Duais dos sólidos platónicos 12
Os pitagóricos tentavam explicar a estrutura da matéria usando os cinco sólidos regulares. O último sólido convexo regular descoberto pelos pitagóricos, o dodecaedro, tem as suas faces pentagonais que se relacionam fortemente com a razão áurea. Talvez por isto, os pitagóricos o consideravam muito especial.
No entanto, nem todos os poliedros têm a mesma relação com o Número de Ouro. Os que se encontram mais próximos do Número de Ouro são o dodecaedro e o seu dual, o icosaedro. O Número de Ouro, , manifesta-se nas expressões da área e do volume destes sólidos regulares, considerando a medida de comprimento do lado igual a uma unidade, da seguinte forma:
Área do dodecaedro:
√ √ √
43 Volume do dodecaedro: ( √ ) Volume do icosaedro: ( √ )
Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais do pentágono regular [ ], como mostra a figura 11, abaixo representada.
O pentágono menor, [ ], formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono [ ]. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado do Número de Ouro. A razão entre a área do pentágono maior e a do pentágono menor [ ] é igual à quarta potência do Número de Ouro. No triângulo isósceles [ ] os seus lados maiores, [ ] e [ ] estão relacionados com a medida da base, da seguinte forma, ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ De onde se
conclui que a razão entre a diagonal de um pentágono regular e um lado desse pentágono é igual ao Número de Ouro.
Figura 11: Pentagrama regular 13
Assim sendo, num pentagrama regular, as medidas das diagonais estão em razão áurea com as medidas do lados do pentágono regular. Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que tudo é número, ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos, acreditavam que os números eram a essência de todas as coisas.
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A estrela pentagonal é uma figura extremamente comum à nossa volta, como uma imagem gráfica que tem os mais diversos significados: aparece no passeio da fama de Los Angeles; é símbolo de muitos partidos revolucionários; aparece numa infinidade de bandeiras, como por exemplo, na bandeira de Marrocos, onde representa os cinco mandamentos do Islão; são também pentagonais as estrelas que representam cada um dos estados da união na bandeira dos Estados Unidos da América; quando combinada com a cor vermelha, significa sofrimento dos oprimidos na sua luta pela emancipação e o sangue derramado para a conquistar, etc..
C. A sequência de Fibonacci e o triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.
O triângulo de Pascal constrói-se da seguinte forma: - em cada linha, o primeiro elemento e o último é 1;
- em cada linha, os termos equidistantes dos extremos são iguais;
- a soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número colocado abaixo, na linha seguinte.
- a soma dos números de cada linha é igual a , sendo n o número da linha.
Ao examinar o triângulo de Pascal, observa-se que a sequência de Fibonacci aparece através da soma dos números em diagonal, conforme mostra a figura:
Figura 12: Triângulo de Pascal e a sequência de Fibonacci 14
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