O Operador de Abstrac¸˜ao - Um Sistema Dedutivo

1.3 Um Sistema Dedutivo

1.3.3 O Operador de Abstrac¸˜ao

Em grande parte das exposições da prova do Teorema de Frege na literatura, recorre- se a um operador de abstração ou abstrator [...∶ ] que permite formar um termo de segunda ordem [vi1. . . vin ∶B] a partir das variáveis vi1, . . . , vin e de uma fórmula B na qual

elas ocorram livres, de modo que se t,t1, . . . ,tn s˜ao termos individuais, express˜oes da forma

[v_i₁. . . vin ∶B]t1. . .tn, Vj(#[vi∶B]), #[vi∶B] Ô t são tratadas como fórmulas atômicas da lin-

guagem da Aritmética de Frege. O recurso a esse operador representa um expediente extre- mamente conveniente para denotar as propriedades e relações que o axioma da compreensão afirma existir, pois ele permite expressá-las localmente através das fórmulas que as definem, facilitando imensamente a confecção de determinardas demonstrações/derivações em teorias de segunda ordem: a instância ∃F∀u(Fu ↔ u ̸ u) de L10, por exemplo, garante a existência da propriedade (vazia) de todos os objetos distintos de si próprios, a qual é expressa por [u ∶ u ̸ u]; e em geral, instâncias da forma ∃V_jn∀vi1. . . ∀vin(V

jvi1. . . vin ↔B) garantem a

existência da relação n-ária [vi1. . . vin∶B]definida por B11.

No próximo cap´ıtulo, também utilizaremos o operador de abstração na exposição da prova do Teorema de Frege como um meio para denotar as propriedades e relações defin´ıveis pelas fórmulas de ΣF. Contudo, como não inclu´ımos [...∶ ] entre os s´ımbolos lógicos das linguagens caracterizadas acima, iremos introduz´ı-lo como um s´ımbolo metalinguisticamente ou contextualmente definido: assim como “fórmulas” da forma A ∨ B são consideradas como abreviações de fórmulas da forma (¬A → B), “fórmulas” em que [...∶ ]ocorra serão tratadas

como abreviações de fórmulas mais complexas nas quais ele não apareça. Para legitimarmos nossa definição, provaremos então alguns teoremas que simulam em D2os axiomas e regras

11_{Na literatura, não existe uma notação uniforme para o operador de abstração: por exemplo, Boolos [2] e}

Boolos e Heck [9] (Apˆendice 2) utilizam {...∶ }, Boolos [3, 4, 5, 7] utiliza [...∶ ]e Zalta [43] utiliza [λ... ].

Outro autores, como Dummett, Wright e, em muitas ocasiões, Heck tratam # como um operador que, quando aplicado a uma variável individual x e a uma fórmula A, resulta um termo de primeira ordem #xA, ou seja, como um variable binding term operator ou VBTO; esse tratamento dispensa o uso operador abstração na prova do Teorema de Frege, mas impõe algumas dificuldades técnicas na definição das linguagens de segunda ordem apropriadas para formalizar teorias fregeanas.

que são usualmente empregados na manipulação desse operador e que presumivelmente esta- riam presentes em qualquer sistema dedutivo para uma linguagem em que ele figurasse como um s´ımbolo lógico, da mesma forma que, para legitimar a definição de A ∨ B como (¬A → B), provam-se teoremas que correspondem às regras de introdução e eliminação de ∨12.

Com o intuito de simplificar a discussão a seguir, consideraremos aqui apenas o caso do operador de abstração unário, que permite formar “termos” da forma [vi∶B], uma vez que

a definição e os teoremas subsequêntes podem ser facilmente generalizados para operadores de qualquer aridade. No entanto, nos próximos cap´ıtulos também utilizaremos o operador de abstração binário [vivj ∶B] para denotar relações binárias defin´ıveis pelas fórmulas das linguagens sob consideração e assumiremos versões análogas dos teoremas e das regras esta- belecidos abaixo para “termos” de segunda ordem formados por esse operador. De agora em diante, reservaremos as variáveis u, u1, u2, . . . para ocuparem o lugar de...em [...∶ ].

Sejam Σ uma assinatura de segunda ordem, A, B ∈ F(Σ), vi uma vari´avel individual livre

em B e Vjuma variável relacional unária. Introduzimos a notação A[[vi∶B]/Vj]para denotar

o resultado da substituição de todas as ocorrências livres de Vjem A por [vi∶B]. Por exemplo, se A é ∀x∀y(Fx → Rxy) e B é u ̸ u, então

A[[u ∶ B]/F] = ∀x∀y(Fx → Rxy)[[u ∶ u ̸ u]/F] = ∀x∀y([u ∶ u ̸ u]x → Rxy)

Definição 1.22. Formalmente, definimos A[[v_i∶B]/V_j]recursivamente como se segue: (i) Se A é uma fórmula atômica, então

12_{O método de definição do operador de abstração a ser empregado aqui é essencialmente o mesmo que o}

da definição do operador de descrição definida ι originalmente proposto por Russell em On Denoting [33] e formalmente elaborado no Volume I do Principia Mathematica [39]: assim como “termos” (individuais) formados por ι na análise russeliana, “termos” (de segunda ordem) formados por [...∶ ]serão tratados expressões incompletas, no sentido de que eles não se comportam semanticamente como termos e não possuem significado isoladamente dos contextos em que ocorram; e assim como a definição de Russell, nossa definição consistirá em fornecer um procedimento geral e sistemático para traduzir contextos sentencias que contenham ocorrências do operador de abstração em contextos em que ele esteja ausente; em outras palavras, consistirá em uma definição contextual.

A[[vi∶B]/Vj] = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ A se Vjn˜ao ocorre em A

∃V_k(∀v_i(V_kv_i↔B) ∧ A[V_k/V_j]) caso contr´ario

(ii) Se A ´e (¬C), ent˜ao A[[vi∶B]/Vj] = (¬C[[vi∶B]/Vj]).

(iii) Se A ´e (C → D), ent˜ao A[[vi∶B]/Vj] = (C[[vi∶B]/Vj] →D[[vi∶B]/Vj]).

(iv) Se A ´e ∀vC, ent˜ao

A[[v_i∶B]/V_j] = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ A se v = Vj ∀vC[[vi∶B]/Vj] caso contr´ario

Em (i), assumimos que Vknão ocorre em A e não é livre em B13.

De acordo com essa definição, “fórmulas atômicas” em que a expressão [vi∶B]ocorra,

como [vi∶B]t e, em se tratando de ΣF, Vl(#[vi∶B]) e #[vi∶B] Ô t, s˜ao consideradas como

abreviações de fórmulas da forma ∃Vk(∀vi(Vkvi↔B) ∧ A[Vk/Vj]):

[v_i∶B]t ∶= ∃V_k(∀v_i(V_kv_i↔B) ∧V_kt) V_l(#[vi∶B]) ∶= ∃V_k(∀vi(Vkvi↔B) ∧V_l(#V_k)) #[vi∶B] Ô t ∶= ∃V_k(∀vi(Vkvi↔B) ∧#V_kÔt)

Nesses contextos, Vk desempenha o papel de um representativo para [vi∶B]: a conjunta ∀v_i(V_kv_i↔B) a identifica como uma variável que “denota” a propriedade definida por B – cuja existência é garantida pela instância ∃Vk∀vi(Vkvi↔B)de L10 – e A[V_k/Vj]expressa, em termos dessa variável, o que inicialmente se enuncia de [vi∶B]através de A[[vi∶B]/Vj].

As “fórmulas moleculares”, por sua vez, simplesmente abreviam o resultado da substituição de todas as “subfórmulas atômicas” em que [vi∶B]ocorra pelas fórmulas expandidas corres-

pondentes de acordo com a cl´ausula (i); no exemplo acima,

∀x∀y([u ∶ u ̸ u]x → Rxy) ∶= ∀x∀y(∃G(∀u(Gu ↔ u ̸ u) ∧ Gx) → Rxy) 13_{A Definição 1.22 foi formulada a partir das indicações de Boolos e Heck no Apêndice 2 de [9].}

Exemplo.

1. [u ∶ u ̸ u]x ∶= ∃G(∀u(Gu ↔ u ̸ u) ∧ Gx) 2. F(#[u ∶ u ̸ u]) ∶= ∃G(∀u(Gu ↔ u ̸ u) ∧ F(#G)) 3. ∀x¬[u ∶ u ̸ u]x ∶= ∀x¬∃G(∀u(Gu ↔ u ̸ u) ∧ Gx) 4. ∃F #F Ô #[u ∶ u ̸ u] ∶= ∃F∃G(∀u(Gu ↔ u ̸ u) ∧#F Ô #G)

A partir da Definição 1.22, estabelecemos primeiramente duas regras elementares, deno- minadas redução e abstração, que governam o comportamento do operador de abstração em contextos atômicos do forma [vi∶B]t e que são obtidas imediatamente do seguinte teorema: Teorema 1.23. Se A é Vjvi, então ⊢ ∀vi(A[[vi∶B]/Vj] ↔B); ou seja, ⊢ ∀vi([vi∶B]vi↔B). Prova: Apêndice A1.

Exemplo.

1. ⊢ ∀u([u ∶ u ̸ u]u ↔ u ̸ u) 2. ⊢ ∀u([u ∶ Fu ∨ Gu]u ↔ Fu ∨ Gu) 3. ⊢ ∀u([u ∶ ∃xRxu]u ↔ ∃xRxu)

Corol´ario 1.24. Seja t um termo individual tal que vi ´e substitu´ıvel por t em B.

(i)REDUÇ ÃO(RED). Se Γ ⊢ [v_i∶B]t, então Γ ⊢ B[t/v_i]. (ii)ABSTRAÇ ÃO(ABS). Se Γ ⊢ B[t/vi], então Γ ⊢ [vi∶B]t.

A regra de redução permite eliminar o operador de abstração em [vi∶B]t em favor da

fórmula B[t/vi] e estabelece que se o objeto denotado por t satisfaz a propriedade [vi∶B], então ele satisfaz B. Inversamente, a regra de abstração permite extrair ou abstrair [vi∶B]a

partir de B[t/vi] e estabelece que se o objeto denotado por t satisfaz B, então ele satisfaz a propriedade [vi∶B]. Abaixo, encontram-se dois exemplos da aplicação dessas regras em uma

Exemplo.

1. Como um exemplo de uma demonstração envolvendo a regra de redução, mostramos que ⊢ ∀x¬[u ∶ u ̸ u]x:

Demonstrac¸˜ao: Suponha [u ∶ u ̸ u]x. Por RED, obtemos x ̸ x. Absurdo. Logo, ¬[u ∶ u ̸ u]xe, portanto, ∀x¬[u ∶ u ̸ u]x.

2. E como um exemplo de uma demonstração envolvendo a combinação de ambas as regras, mostramos que ⊢ [u ∶ Rxu]y → [u ∶ ∃x xRxu]y:

Demonstrac¸˜ao: Suponha [u ∶ Rxu]y. Por RED, obtemos Rxy e, portanto, ∃xRxy. Por ABS, inferimos [u ∶ ∃x Rxu]y. Logo, [u ∶ Rxu]y → [u ∶ ∃x xRxu]y.

Um segundo resultado obtido da Definic¸˜ao 1.22 simula no sistema D2 uma regra de

instanciação universal para “termos” de segunda ordem formados pelo operador de abstração (Corolário 1.27), a qual, grosso modo, permite instanciar a variável Vjem uma dada fórmula

∀V_jA para [vi∶B], resultando A[[vi ∶B]/Vj]14. Essa regra ser´a amplamente utilizada nos

próximos cap´ıtulos e, para prová-la, recorreremos ao seguinte teorema, que, sob a hipótese ∀v_i(V_jv_i↔B), estabelece a intersubstituibilidade da variável V_je de [v_i∶B]em A15:

Teorema 1.25. Sejam A, B ∈ F(Σ) tais que v_i é livre em B. Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A, então

∀v_i(V_jv_i↔B) ⊢ A ↔ A[[v_i∶B]/V_j]

Prova: A prova do Teorema 1.25 procede por indução sobre as subfórmulas de A e encontra- se desenvolvida em detalhe no Apêndice A1.

14_{A notac¸˜ao A[[v}

i∶B]/Vj]foi especificamente escolhida para facilitar a formulação dessa regra, tornando-a similar à formulação da regra E∀ acima (Teorema 1.17).

Utilizando o Teorema 1.25, provamos então uma versão do axioma L4 para “termos” de segunda ordem formados por [...∶ ], do qual a regra de instanciação universal em questão é uma consequência imediata:

Teorema 1.26. Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A e Vj não é livre em B,

ent˜ao ⊢ ∀VjA → A[[vi∶B]/Vj].

Prova: Pelo Teorema 1.25, temos

∀V_jA, ∀vi(Vjvi↔B) ⊢ A ↔ A[[vi∶B]/Vj]]

e, por E∀ (aplicada a ∀VjA),

∀V_jA, ∀vi(Vjvi↔B) ⊢ A

Logo, (*) ∀VjA, ∀vi(Vjvi↔B) ⊢ A[[vi∶B]/Vj](por MP). Como Vjn˜ao ´e livre em B,

(**) ∀VjA ⊢ ∃Vj∀vi(Vjvi↔B)

(por L10). Aplicando E∃ a (*) e (**), obtemos ∀VjA ⊢ A[[vi∶B]/Vj], que, por TD, implica

⊢ ∀V_jA → A[[v_i∶B]/V_j]

Exemplo. ⊢ ∀F(∃xFx ∨ ¬∃xFx) → ∃x[u ∶ u ̸ u]x ∨ ¬∃x[u ∶ u ̸ u]x

Corolário 1.27. REGRA DE INSTANCIAÇ ÃOUNIVERSAL II (E∀†_{). Se nenhuma das variáveis}

livres em B é ligada em A, Vj não é livre em B e Γ ⊢ ∀VjA, então Γ ⊢ A[[vi∶B]/Vj].

No Teorema 1.26 e no Corolário 1.27, a restrição de que nenhuma das variáveis livres em Bsejam ligadas em A serve para prevenir que essas variáveis sejam capturadas pelos quantificadores em A ao se substituir Vjpor [vi∶B](da mesma forma que a restrição no axioma L4 de

que a vari´avel vτ _{seja substitu´ıvel por t em A serve para prevenir que as vari´aveis em t sejam}

capturadas pelos quantificadores em A). Como um exemplo no qual a inobservância dessa restrição resulta ser problemática, considere-se o teorema (*) ∀F∃G∀x(Fx ↔ Gx), obtido de

∀x(Fx ↔ Fx) pelas regras I∃ e I∀. Se instanciarmos a variável F para [u ∶ ¬Gu] em (∗) ao aplicarmos (erroneamente) a regra acima, obtemos ∃G∀x([u ∶ ¬Gu]x ↔ Gx), que, pelas regras REDe ABS, implica imediatamente uma contradição.

Como uma consequência adicional do Teorema 1.26, obtemos uma regra de generalização existencial para “termos” de segunda ordem formados pelo operador de abstração:

Corolário 1.28. REGRA DEGENERALIZAÇ ÃOEXISTENCIALII(I∃†). Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A, Vj não é livre em B e Γ ⊢ A[[vi∶B]/Vj], então Γ ⊢ ∃VjA.

Exemplo. No exemplo 1 para o Corol´ario 1.24, mostramos que ⊢ ∀x¬[u ∶ u ̸ u]x. Aplicando a regra I∃†_{, obtemos ⊢ ∃F∀x¬Fx, que afirma a existˆencia de uma propriedade vazia. Utili-}

zando essa mesma regra, ´e poss´ıvel mostrar tamb´em que existe uma propriedade universal: ⊢ ∃F∀xFx.

Demonstrac¸˜ao: Pelo axioma L7, temos x Ô x, que, por ABS, implica [u ∶ u Ô u]x. Portanto, ∀x[u ∶ u Ô u]x. Pela regra I∃†, inferimos ∃F∀xFx.

Ao simular, no sistema D2, o axioma L4 para “termos” de segunda ordem formados pelo

operador de abstração, o Teorema 1.26 garante que esses “termos” se comportam dedutivamente como os termos de segunda ordem genu´ınos de uma dada linguagem, da mesma forma que os teoremas A → A ∨ B, A → B ∨ A e (A → C) → ((A → C) → ((A ∨ B) → C)) da lógica proposicional clássica com os conectivos ¬ e → garantem que o s´ımbolo ∨, definido contextualmente por A ∨ B ∶= ¬A → B, se comporta dedutivamente como um s´ımbolo de disjunção genu´ıno. É poss´ıvel mostrar também um resultado similar para linguagens que possuem um operador @ que, assim como #, rebaixa a ordem dos termos aos quais se aplica, ou seja, um operador de tipo ⟨⟨0⟩, 0⟩ ou ⟨⟨0, 0⟩, 0⟩ ou ⟨⟨0, 0, 0⟩, 0⟩ etc. Mais especificamente, é poss´ıvel provar uma versão de L4 para “termos” de primeira ordem que resultam da aplicação de @ a “termos” formados por [...∶ ]; no caso de Σ_F, “termos” de primeira ordem da forma #[v_i∶B]: #[u ∶ u Ô u], #[u ∶ u ̸ u], #[u ∶ ¬Fu], #[u ∶ Fu ∨ Gu], #[u ∶ Fu ∧ u ̸ x].

Para estabelecer esse resultado, utilizaremos a regra E∀†acima e introduziremos a notação A[@[vi∶B]/vj] para denotar a fórmula A[@Vj/vj][[vi∶B]/Vj], em que @ é um constante

funcional de tipo ⟨⟨0⟩, 0⟩ e Vj, uma variável de segunda ordem unária arbitrária que não ocorre

em A ou em B. Assim, A[@[vi∶B]/vj] é o resultado da substituição de todas as ocorrências

livres da variável individual vj em A por @Vj e da substituição de Vj por [vi∶B]na fórmula resultante.

Exemplo.

1. Fx[#[u ∶ u ̸ u]/x] = F(#G)[[u ∶ u ̸ u]/G] = F(#[u ∶ u ̸ u]) 2. #F Ô x[#[u ∶ u ̸ u]/x] = #F Ô #G[[u ∶ u ̸ u]/G] = #F Ô #[u ∶ u ̸ u]

Teorema 1.29. Sejam Σ = ⟨R, F ⟩ uma assinatura tal que @ ∈ F_{⟨⟨0⟩,0⟩} e A, B ∈ F(Σ). Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A, então ⊢ ∀vjA → A[@[vi∶B]/vj].

Prova: Por E∀, temos ∀vjA ⊢ A[@Vj/vj] e, como Vj n˜ao ocorre em A, por I∀, inferimos

∀vjA ⊢ ∀VjA[@Vj/vj]. Por E∀†, obtemos ent˜ao ∀vjA ⊢ A[@Vj/vj][@[vi∶B]/Vj], ou seja,

∀v_jA ⊢ A[@[vi∶B]/vj]. Portanto, ⊢ ∀vjA → A[@[vi∶B]/vj](por TD).

Exemplo. ⊢ ∀x x Ô x → #[u ∶ u ̸ u] Ô #[u ∶ u ̸ u]

Assim como as regras E∀† _{e I∀}† _{s˜ao corol´arios imediatos do Teorema 1.26, regras de}

instanciação universal e generalização existencial para “termos” de primeira ordem da forma @[vi∶B]podem ser obtidas imediatamente do Teorema 1.29:

Corolário 1.30. REGRA DEINSTANCIAÇ ÃOUNIVERSALIII(E∀††). Se nenhuma das variáveis

livres em B ´e ligada em A e Γ ⊢ ∀vjA, ent˜ao Γ ⊢ A[@[vi∶B]/vj].

Corolário 1.31. REGRA DEGENERALIZAÇ ÃOEXISTENCIALIII(I∃††). Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A e Γ ⊢ A[@[vi∶B]/vj], então Γ ⊢ ∃vjA.

Exemplo. Como um exemplo simples da aplicação de E∀†† _{e I∃}†† _{em uma demonstração,}

mostramos que ⊢ ∃x x Ô #[u ∶ u ̸ u].

Demonstração: Pelo axioma L7, temos ∀x x Ô x. Aplicando a regra E∀††, inferimos #[u ∶ u ̸ u] Ô#[u ∶ u ̸ u] e, por I∃††_{, obtemos então ∃x x Ô #[u ∶ u ̸ u].}

Por fim, como consequência do Teorema 1.23 e da regra E∀††, temos versões das regras de abstração e redução para “termos” formados por @ e [...∶ ]:

Corolário 1.32. Se nenhuma das variáveis livres em B é ligada em A, então: (i)REDUÇ ÃOII. (RED†). Se Γ ⊢ [vj∶A](@[vi∶B]), então Γ ⊢ A[@[vi∶B]/vj].

(ii)ABSTRAÇ ÃOII. (ABS†). Se Γ ⊢ A[@[vi∶B]/vj], então Γ ⊢ [vj∶A](@[vi∶B]).

Com as regras RED, ABS, RED†_{, ABS}†_{, E∀}†_{, I∃}†_{, E∀}†† _{e I∃}††_{, n˜ao ser´a preciso empre-}

gar explicitamente o axioma da compreensão L10 em qualquer demonstração formulada nos cap´ıtulos subsequêntes, embora ele tenha sido necessário para prová-las – como evidencia uma inspeção cuidadosa das provas dos teoremas 1.23 e 1.26, a partir dos quais as regras foram obtidas. Contudo, juntamente com a prova do Teorema de Frege no Cap´ıtulo 2, a definicão contextual do operador de abstração em D2 estabelece a sua dispensabilidade no

teorema: como [...∶ ]não constitui um s´ımbolo lógico genu´ıno da linguagem da Aritmética

de Frege e, em geral, de quaisquer linguagens de segunda ordem caracterizadas na seção 1.1, e como as regras para o operador são derivadas a partir dos axiomas em AL(ΣF), o Teorema

de Frege poderia, em princ´ıpio, ser provado sem fazer qualquer uso de [...∶ ], de maneira que L10 seria extensivamente utilizado em praticamente todas as demonstrações envolvidas. Entretanto, uma tal prova seria consideravelmente mais trabalhosa e menos intuitiva do que aquela a ser apresentada a seguir, na qual operador é utilizado.

E importante enfatizar que as regras RED, ABS, E∀†, I∃†_{s˜ao v´alidas em quaisquer teorias}

cujo sistema dedutivo de base é D2; e que RED†, ABS†, E∀†† e I∃††são válidas em quaisquer

teorias que, além disso, possuem um operador @ que rebaixa a ordem dos termos aos quais se aplica a 1. Isso significa que essas regras podem ser utilizadas em toda e qualquer teoria fregeana e não se restringem apenas à Aritmética de Frege.

No documento Revisitando o Teorema de Frege (páginas 49-58)