O Papiro de Rhind

O papiro de Rhind tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento e consta de 87 problemas, em escrita hierática. Foi escrito em 1650 a. C., pelo escriba Ahmes, daí ser conhecido também por papiro de Ahmes, que, por sua vez, o copiou de um texto mais antigo, de cerca de 200 anos antes.

Os problemas foram enumerados de 1 a 87 pelo editor alemão A. A. Eisenlohr, em 1887 sendo que no documento original não há qualquer enumeração.

Na célebre edição de A. B. Chance (1927 – 1929), para cada problema há uma transcrição do conteúdo em hierático, como aparece no papiro, uma transliteração em hieróglifos e, ainda, a tradução em inglês.

De salientar as palavras de abertura do papiro de Rhind escritas por Ahmes e que revelam uma procura da Sabedoria, características dos povos orientais:

Método correto de calcular. O acesso ao conhecimento de tudo o que existe e de todos os segredos obscuros.

(Gillings, 1982, p.45)

Segundo Estrada et al. (2000), “o escriba escrevia no papiro da direita para a esquerda e a parte interior do rolo, em que as fibras horizontais estão na parte de cima (designada por recto em textos de língua inglesa) era escrita em primeiro lugar; a face oposta, com fibras verticais por cima (designada por verso em textos de língua inglesa) era escrita em segundo lugar.

Fazem parte do papiro:

– problemas aritméticos (operações com números inteiros e frações unitárias, decomposição em frações unitárias, divisão de broas de pão e problemas de complementação);

– resolução de equações (determinação de uma quantidade desconhecida e progressões aritméticas e geométricas);

– problemas geométricos (determinação do seked de uma pirâmide; área de um círculo; volume de um celeiro cilíndrico; volume de um tronco de pirâmide e área de um cesto). Estes problemas dizem respeito à distribuição de broas de pão ou de canecas de cerveja por trabalhadores, cálculo da quantidade de cereais necessária para obter uma certa quantidade de pão ou de cerveja, determinação de áreas de campos e de volumes de celeiros”. Vejamos a distribuição dos referidos problemas (retirado de http://matematicarev.blogspot.pt/2009/11/papiro-de-rhind.html).

1 a 6 Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens.

21 a 23 Subtrações: 1 − (2 3+ 1 15), 1 − ( 2 3+ 1 30) 2 3− ( 1 4+ 1 8+ 1 10+ 1 30+ 1 45).

24 a 29 Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita, _{resolvidas pelo método da falsa posição.}

30 a 34 Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados (envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão.

35 a 38

Problemas de hekat (medida de capacidade), envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita, mas ainda mais complexas que as anteriores, resolvidos pelo método da falsa posição.

39 Divisão de pães.

40 Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas. 41 a 43 Volumes de contentores cilíndricos de cereais. 44 a 47 Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais.

47 Tabela das frações de 1 hekat, como frações do olho de Hórus. 48 a 53 Áreas de triângulos, retângulos, trapézios e círculos.

54 e 55 Divisão relacionada com área.

56 a 60 Problemas relacionados com pirâmides (sekeds, alturas e bases).

61 e 61B Tabela de uma regra para encontrar 2₃ de números ímpares e frações unitárias. 62 Problema de proporções, sobre metais preciosos e o seu peso.

63 e 65 Divisão proporcional de pães por um número de homens. 64 Problema envolvendo uma progressão aritmética. 66 Divisão de gordura.

67 Proporção de gado devido a impostos.

68 Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens. 69 a 78 Problemas de pesos de pão e cerveja. Proporção inversa.

80 e 81 Tabelas das frações do olho de Hórus.

82 a 84 Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários animais _{domésticos, como gansos e outras aves.} 85 Escritura enigmática.

86 e 87 Apontamento de certas contas e incidentes (em parte perdido).

Há problemas que se podem classificar de práticos, numa sociedade que vive da agricultura, e em que a moeda de troca são os bens. Há outros com carácter menos prático, que apontam para um gosto da matemática por si própria; parecem questões meramente levantadas para o exercício do cálculo ou diversão.

Não há registo de teoremas ou de provas; a principal preocupação dos egípcios parecia ser a obtenção de um resultado útil. Algumas das suas fórmulas estavam apenas aproximadamente corretas, mas davam resultados aceitáveis para as necessidades práticas do dia a dia. Na grande dedicatória inscrita, de cerca de 100 a. C., no Templo de Hórus, em Edfu, há referência a numerosos terrenos quadriláteros que foram oferecidos ao templo. Para cada um deles, as áreas eram obtidas através do produto das médias de dois pares de lados opostos, ou seja, usando a fórmula:

𝐴 =1

4 (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑)

onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são os comprimentos de lados consecutivos. A fórmula está, obviamente, incorreta. Isto dá uma resposta relativamente precisa quando o terreno é aproximadamente retangular. O que é interessante é que esta mesma fórmula para área de um quadrilátero já tinha aparecido muitos anos antes na Antiga Babilónia.

Os problemas geométricos do papiro de Rhind são os problemas numerados de 41 a 60, e estão relacionados com as quantidades de grão armazenadas em celeiros de forma retangular ou cilíndrica, como já foi referido. Talvez a melhor “descoberta” dos egípcios na geometria bidimensional tenha sido o seu método para encontrar a área de um círculo, que aparece no Problema 50 do mesmo papiro. Relativamente à geometria tridimensional, a sua melhor proeza foi o cálculo do volume de uma pirâmide truncada.

Mas a quem seria destinado o papiro? Uma das ideias mais aceites é que se destinasse à iniciação dos escribas na arte do cálculo, tendo uma função similar à do manual escolar (van der

Uma vez que os papiros egípcios são compostos por problemas, e pelas suas resoluções, alguns dos quais elementares, supõe-se que eles tinham intenções puramente pedagógicas e que eram basicamente destinados ao ensino dos funcionários do estado, os escribas. A partir de papiros como este temos acesso a uma matemática elementar, com conteúdos muito semelhantes a alguns que são lecionados, atualmente, no ensino básico e secundário, sobre cálculo e geometria.