3.4 Estudo da Localização da Reta Perspetiva
3.4.3 O Ponto Perspetivo é Próprio
Considerando o ponto perspetivo P um ponto próprio, vamos explorar três casos distintos. No primeiro caso, um dos vértices de um triângulo coincide com o ponto P . No segundo caso, os vértices homólogos dos triângulos perspetivos pertencem à mesma semirreta de…nida pelo ponto P . No terceiro caso, os vértices homólogos dos triângulos perspetivos pertencem a semirretas distintas de…nidas pelo ponto P .
Caso 3.4.1 Um Vértice Coincidente com o Ponto Perspetivo
Quando um dos vértices de um dos triângulos perspetivos coincide com o ponto perspetivo, veri…camos que a reta perspetiva contém um dos lados do outro triângulo perspetivo. Proposição 3.4.1 Sejam [ABC] e [A0B0C0] dois triângulos, sem lados comuns, perspetivos de um ponto P . O ponto P coincide com um dos vértices de um dos triângulos se, e só se, a reta perspetiva p contiver um dos lados do outro triângulo não determinado pelo respetivo vértice homólogo.
Demonstração: Sem perda de generalidade, visto que de forma análoga demonstramos todos os seis casos possíveis, consideremos P B. Então AB \ A0B0 A0 e BC \ B0C0 C0. Logo, a reta perspetiva é a reta p A0C0. Por outro lado, se os dois triângulos são perspetivos de uma reta p, pelo teorema de Desargues, são perspetivos de um ponto, ou seja, AA0, BB0 e CC0 são concorrentes num único ponto P . Consideremos a reta perspetiva p A0C0. Temos
que A0 AB \ A0B0 e C0 BC \ B0C0, logo A02 AB e C0 2 BC. Como as retas AB e BC são concorrentes no ponto B, e AB AA0 e BC BB0 segue que AA0\ BB0 B. Como os triângulos não têm lados comuns, concluímos que o ponto perspetivo é o vértice B.
Vértices Homólogos Pertencem à Mesma Semirreta
Para estudar o caso em que os vértices homólogos dos triângulos pertencem à mesma semirreta de…nida pelo ponto perspetivo, vamos subdividi-lo consoante a posição relativa dos triângulos perspetivos.
Caso 3.4.2 Triângulos em Posição Invertida Negativa
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição invertida negativa, em que os vértices homólogos pertencem à mesma semirreta de…nida pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos de…nidos pela reta P B. Nestas condições, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Rl, como podemos observar na …gura 3.20. Considerando no plano hiperbólico dois triângulos
[ABC] e [A0B0C0] nas condições descritas, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Gl, como podemos observar na …gura 3.21.
Figura 3.20: Triângulos em posição invertida negativa no plano projetivo: reta perspetiva na região Rl.
Caso 3.4.3 Triângulos em Posição Invertida Positiva
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição invertida positiva, em que os vértices homólogos pertencem à mesma
semirreta de…nida pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos de…nidos pela reta P B. Seja I AC \ A0C0. Nestas condições, veri…camos que a reta
Figura 3.21: Triângulos em posição invertida negativa no plano hiperbólico: reta perspetiva na região Gl.
perspetiva se situa na região Rv, como podemos observar na …gura 3.22. Considerando no
plano hiperbólico dois triângulos [ABC] e [A0B0C0] nas condições descritas, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Gv, como podemos observar na …gura 3.23.
Figura 3.22: Triângulos em posição invertida positiva no plano projetivo: reta perspetiva na região Rv.
Caso 3.4.4 Triângulos em Posição Direta
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição direta, em que os vértices homólogos pertencem à mesma semirreta
de…nida pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos de…nidos pela reta P B. Nestas condições, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Elv,
como observamos na …gura 3.24. Considerando no plano hiperbólico dois triângulos [ABC] e [A0B0C0] nas mesmas condições que no plano projetivo, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Flv como nos mostra a …gura 3.25.
Figura 3.23: Triângulos em posição invertida positiva no plano hiperbólico: reta perspetiva na região Gv.
Figura 3.24: Triângulos em posição direta no plano projetivo: reta perspetiva na região Elv.
Vértices Homólogos Pertencem a Semirretas Distintas
À semelhança do efetuado anteriormente, para estudar o caso em que os vértices homó- logos dos triângulos pertencem a semirretas distintas de…nidas pelo ponto perspetivo, vamos subdividi-lo consoante a posição relativa dos triângulos perspetivos.
Caso 3.4.5 Triângulos em Posição Invertida Negativa
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição invertida negativa, em que os vértices homólogos pertencem a semirretas distintas de…nidas pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos
de…nidos pela reta P B. Veri…camos, nas condições descritas, que a reta perspetiva situa-se na região Rv, como podemos observar na …gura 3.26. Considerando no plano hiperbólico dois
triângulos [ABC] e [A0B0C0] nas mesmas condições que no plano projetivo, veri…camos que a
reta perspetiva se situa na região Gv, de acordo com a …gura 3.27.
Caso 3.4.6 Triângulos em Posição Invertida Positiva
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição invertida positiva, em que os vértices homólogos pertencem a semirretas
Figura 3.25: Triângulos em posição direta no plano hiperbólico: reta perspetiva na região Flv.
Figura 3.26: Reta perspetiva na região Rv.
distintas de…nidas pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos de…nidos pela reta P B. Veri…camos, nas condições descritas, que a reta perspetiva situa-se na região Rl, de acordo com a …gura 3.28. No plano hiperbólico, considerando dois triângu-
los [ABC] e [A0B0C0] nas mesmas condições que no plano projetivo, veri…camos que a reta perspetiva situa-se na região Gl, como observamos na …gura 3.29.
Caso 3.4.7 Triângulos em Posição Direta
Consideremos no plano projetivo dois triângulos perspetivos de um ponto P , [ABC] e [A0B0C0] em posição direta, em que os vértices homólogos pertencem a semirretas distintas
de…nidas pelo ponto P e os vértices A, A0 e C, C0 pertencem a semiplanos distintos de…nidos pela reta P B. Nestas condições, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Ilv,
como observamos na …gura 3.30. Considerando, no plano hiperbólico, dois triângulos [ABC] e [A0B0C0] nas mesmas condições que no plano projetivo, veri…camos que a reta perspetiva se situa na região Dlv como nos mostra a …gura 3.31.
Figura 3.27: Reta perspetiva na região Gv.
Figura 3.28: Reta perspetiva na região Rl.