O que se entende por compreensão em matemática

Neste tópico faz-se uma síntese do que se entende por compreensão em matemática. São referidos, entre outros, autores como Sierpinska, Skemp, Hiebert e Carpenter.

Hiebert e Carpenter (1992) definem compreensão como a forma como é estruturada e representada a informação. Uma ideia matemática é compreendida se está ligada a redes existentes com fortes conexões. A compreensão pode ser vista como limitada se apenas algumas conexões estão feitas ou se estas são fracas. A compreensão aumenta com as relações estabelecidas por experiências enriquecedoras e com o crescimento das redes que pode ser visto como o acréscimo de novas representações ou como uma reorganização das representações já existentes.

Segundo Skemp (1976) duas palavras iguais com significados diferentes podem dar aso a confusão e podemos encontrar palavras destas no contexto da matemática e, na opinião do autor, estas estão na raiz de muitas das dificuldades na educação matemática. Um exemplo dessas palavras é a compreensão. Segundo Kotarbinski (1961), citado por Sierpinska (1994, frequentemente, o uso da palavra "compreender" é altamente ambíguo. O autor sempre entendeu compreensão como saber o que fazer e porquê. No entanto, Skemp (1976) tem em consideração dois tipos de compreensão: a compreensão instrumental e a compreensão relacional. O objetivo da compreensão instrumental é a aquisição de métodos para resolver satisfatoriamente um problemas. Neste tipo de compreensão privilegia-se não o porquê, mas o como, a que o autor chama „regras sem

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razões‟ (Skemp, 1976). O objetivo da compreensão relacional é saber não só como é que o método funciona, mas também o porquê. Assim, torna-se possível extrapolar este método para a resolução de outros problemas.

Independentemente de qual das duas compreensões é a melhor e que deve ser proporcionada aos alunos, duas situações podem acontecer: o aluno quer compreender instrumentalmente ensinado por um professor que quer que os alunos compreendam relacionalmente ou o contrário. A primeira situação causará menos problemas aos alunos, mas será frustrante para o professor, pois os alunos procuram regras para obter as respostas. (Skemp, 1976)

Herscovics e Bergeron (1984), referidos por Domingos (2003), propõem um modelo constituído por quatro modos de compreensão: compreensão intuitiva, compreensão de procedimentos, abstração matemática e formalização. A compreensão intuitiva é um conhecimento informal e baseia-se em pré-conceitos e na perceção visual. A compreensão de procedimentos diz respeito à aquisição de procedimentos que podem ser associados ao conhecimento intuitivo e ser usados apropriadamente. A abstração matemática pode ser vista como a abstração no sentido habitual – afastamento de um representação – ou como a abstração no sentido matemático – a generalização. A formalização diz respeito às interpretações usuais da axiomática e à demonstração matemática formal.

Sierpinska (1994) considera que podem haver duas formas de compreensão para uma mesma coisa. Quando se diz que uma pessoa que sabe a tabuada sabe que „7 vezes 9 é 63‟ tanto podemos querer dizer que a pessoa pensa em „9x7‟ e ‟63‟ e considera-as iguais ou que é capaz de o fazer em qualquer altura, uma vez que já pensou sobre isso no passado. Assim, a autora procura caraterizar os atos de compreensão que são recursos para o conhecimento – experiências que ocorrem e rapidamente desaparecem. A autora considera que há atos de compreensão mas também uma compreensão.

Sierpinska (1994) refere diversos autores que se referem ao termo compreensão: Greeno usa a expressão: „para compreender o significado (de X)‟, o que sugere que X tem um significado bem determinado e que o que há para entender é este significado pré- existente. Dewey considera 'compreender' e 'compreender o significado‟ como expressões sinónimas e explica a compreensão através do significado (Dewey, 1971, p. 137).

51 Sierpinska (1994) parte da definição de Ajdukiewicz alterando o termo expressão por objeto. O ato de compreender um objeto não é mais do que fazer a ligação mental entre o objeto e um outro que pode ter apenas uma representação mental. O primeiro objeto é o objeto de compreensão e o segundo a base da compreensão.

Com base nesta definição, Sierpinska (1994) procura quais os critérios que nos permitem avaliar se realmente estamos a compreender algo. O primeiro critério é a ordem e harmonia – quando reconhecemos algo temos tendência a classificar, ordenar entre outros objetos e dar um nome; os atos de compreensão (até os mais primitivos) requerem este sentimento de ordem. Um segundo critério é uma compreensão com base num pensamento unificado – pode não se aplicar a todos os atos de compreensão mas quando se trata de compreender conceitos abstratos desempenha um papel importante. O terceiro critério é a compreensão sistémica – que tende para a simplificação na tentativa de formulação de leis gerais – e a compreensão experiencial – que tem como requisito experienciar a situação. Para a autora, estas compreensões devem ser encaradas como complementares uma da outra ao invés de as considerar como opostas. O quarto e último critério é o fenomenalismo e o essencialismo - muitas vezes temos a sensação de que não entendemos "realmente" alguma coisa, a menos que tenhamos atingido a sua essência.

Para Ajdukiewicz, mencionado por Sierpinska (1994), um ato de compreender uma expressão tem sempre uma base numa representação mental e considera dois tipos de representações: a imagem mental e os conceitos. Assim, a aperceção – tomada de consciência de propriedades que não são tidas em conta nos atos de compreensão – e os pensamentos porque sim (Sierpinska, 1994) são outras componentes que estão na base da compreensão.

Segundo Domingos (2003) a diferença entre o modelo proposto por Sierpinska e os modelos apresentados por Skemp e Herscovics e Bergeron é de que se pode estabelecer uma caraterização das componentes dos níveis de compreensão em vez de se estabelecer uma hierarquia entre estes.

Wertsch (1991) defende uma dimensão da compreensão relacionada com a comunicação e recorre à voz para suportar a ideia de que a mente de um indivíduo funciona com base em processos sociais relacionados com a comunicação. No ventriloquismo existe uma interferência de uma voz noutra – antes de um indivíduo se apoderar de uma palavra,

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esta é retirada de outras pessoas ou de outros contextos. Isto acontece frequentemente na sala de aula uma vez que os alunos são capazes de mencionar coisas verbalmente mas não são capazes de lhes dar significado.