O Teorema de Euler - Curso de Matematica Olimpica POTI

Nesta aula, obteremos uma generaliza¸c˜ao do teorema de Fermat.

Defini¸c˜ao 1. _{Dado n ∈ N, denotaremos o n´umero de naturais menores ou iguais a n e} relativamente primos com n por φ(n).

Segue imediatamente da defini¸c˜ao de φ(n) que φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(5) = 4 e φ_{(6) = 2. Se p ´e primo, φ(p) = p − 1.}

Lema 2. Se p é um número primo e k um número natural, então: φ(pk) = pk−1_{(p − 1).}

Os únicos n´_{umeros do conjunto {1, 2, . . . , p}k_{} que não são relativamente primos com p}ksão aqueles que são divis´ıveis por p. A quantidade de tais números é p

k p = p

k−1_{. Sendo assim,} φ(pk) = pk_{− p}k−1= pk−1_{(p − 1).}

Nosso próximo objetivo será encontrar uma fórmula para calcular explicitamente φ(m) em fun¸cão da fatora¸cão em primos de m. Precisaremos relembrar um exemplo estudado na aula 6:

Lema 3. Sejam m um número natural, l um número natural relativamente primo com m e r um inteiro arbitrário. Então, o conjunto:

r, l_{+ r, 2l + r, . . . , (m − 1)l + r;} ´e um sistema completo de restos m´odulo m.

Suponha, por absurdo, que existem dois inteiros i e j com 0 ≤ i < j < m e para os quais tenhamos r + il ≡ r + jl (mod m). Assim, (j − i)l ≡ 0 (mod m). Como l é relativamente primo com m, devemos ter j − i ≡ 0 (mod m). Obtemos um absurdo pois 0 < j − i < m. Consequentemente, temos um conjunto de m inteiros todos incongruentes módulo m e, portanto, tal conjunto é um sistema completo de restos.

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Teorema 4. Se l e m são números naturais primos entre si, então: φ(ml) = φ(m)φ(l).

Demonstra¸cão. Como φ(1) = 1, o teorema anterior é valido quando m = 1 ou n = 1. Suponha então que m, l > 1. Fa¸camos uma contagem dupla. Primeiramente, usando a defini¸cão, φ(mn) é o número de inteiros da tabela abaixo que são relativamente primos com ml. 1, 2, . . . , r, . . . , l, 1 + l, l+ 2, . . . , l+ r, . . . , 2l, 21 + l, 2l + 2, . . . , 2l + r, . . . , 3l, . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , (m − 1)1 + l, (m − 1)l + 2, . . . , (m − 1)l + r, . . . , ml,

Seja r ≤ m um número natural qualquer. Considerando a r-ésima coluna da tabela, se mdc(r, l) > 1, nenhum de seus elementos é relativamente primo com l. Então, se buscamos os elementos que não possuem nenhum fator em comum com ml, devemos nos ater às colunas com mdc(r, l) = 1. O número de tais colunas é φ(l). Considerando agora a r-ésima coluna e supondo que mdc(r, l) = 1, em virtude do lema anterior, sabemos que os restos de seus elementos na divisão por m formam exatamente o conjunto {0, 1, . . . , m} e dentre eles existem exatamente φ(m) números relativamente primos com m. Sendo assim, podemos contar os números relativamente primos com ml atráves do número de colunas ”boas”e do número de ”bons”elementos em cada uma delas, obtendo: φ(m)φ(l).

Corol´ario 5. Se n = pα1

1 pα22. . . p αk

k é a fatora¸cão em primos de n, então: φ(n) = n 1 −_p1 1 1 −_p1 2 . . . 1 −_p1 k

De fato, pelo teorema anterior, φ(n) = φ(pα1 1 pα22. . . pα k k ) = φ(pα1 1 )φ(pα22) . . . φ(pα k k ) = pα1−1 1 (p1− 1)pα22−1(p2− 1) . . . p αk₋₁ k (pk− 1) = pα1−1 1 pα22−1. . . pα k−1 k (p1− 1)(p2− 1) . . . (pk− 1) = n 1 − 1 p1 1 − 1 p2 . . . 1 − 1 pk

Exemplo 6. _{Mostre que qualquer n ≥ 7 pode ser escrito na forma a + b, com a e b naturais} primos entre si, ambos maiores que 1.

Podemos escrever b = n − a e nosso objetivo ´e encontrar a com 1 < a < n − 1 tal que mdc_{(a, n − a) = 1. Para isso, basta que mdc(a, n) = 1. Pelo corol´ario anterior,}

φ(n) = pα1−1

1 pα22−1. . . p αk₋₁

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Se a expressão anterior é igual à 2, necessariamente devemos ter αi = 1 e pi= 2 ou 3 para todo i. Sendo assim, n ≤ 6. Logo, φ(n) > 2 e existe pelo menos outro número natural diferente de 1 e n − 1 que é relativamente primo com n.

Exemplo 7. Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que φ(n) = n

Basta tomar n = 2 · 3m, onde m ´e um inteiro positivo. Ent˜ao: φ_{(n) = φ(2 · 3}m) = φ(2)φ(3m_{) = 2 · 3}m−1= n

3. Exemplo 8. Se n ´e um inteiro positivo composto, ent˜ao

φ_{(n) ≤ n −}√n Se n = pα1

1 pα22. . . p αk

k , usando que n ´e composto, podemos garantir que existe um fator primo pi tal que pi ≤√n. Assim,

φ(n) = n 1 − 1 p1 1 − 1 p2 . . . 1 − 1 pk ≤ n 1 −_p1 i ≤ n 1 −√1 n = n −√n

Teorema 9. (Teorema de Euler) Se mdc(a, m) = 1, ent˜ao aφ(m)_{≡ 1 (mod m)}

Demonstra¸cão. A prova deste teorema será muito similar à prova do teorema de Fermat. Sejam r1, r2, . . . , rφ(m) os restos em {0, 1, 2, . . . , m − 1} que são relativamente primos com m_{. Considere o conjunto {ar}1, ar2, . . . , arφ(m)}. Se dois de seus membros deixam o mesmo resto por m, digamos:

ari≡ arj (mod m);

temos ri ≡ rj (mod m) pois mdc(a, m) = 1. Claramente isso é uma contradi¸cão. Além disso, mdc(ari, m) = mdc(m, ri) = 1. Analisando os restos na divisão por m dos membros desse novo conjunto, podemos concluir que tal conjunto coincide com o conjunto dos restos iniciais. Assim,

r1· r2· . . . · rφ(m) ≡ ar1· ar2· . . . · arφ(m) ≡ aφ(m)r1· r2. . .· rφ(m)

Como mdc(r1· r2· . . . · rφ(m), m) = 1, podemos cancelar esse termo em ambos os membros da congruˆencia anterior obtendo assim o teorema de Euler.

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Exemplo 10. Encontre os ´ultimos trˆes d´ıgitos de 79999 Como φ(1000) = 400, usando o Teorema de Euler, obtemos:

710000 = (7400)25

≡ 1 (mod 1000) Note que 7 · 143 = 1001 ≡ 1 (mod 1000). Assim,

79999 _{≡ 7}9999_{· 7 · 143} ≡ 710000· 143 ≡ 143 (mod 1000) Logo, 79999 _{termina em 143.}

Exemplo 11. (Putnam 1972) Prove que n˜_{ao existe um inteiro n > 1 tal que n|2}n_{− 1.} Se existem tais inteiros positivos, denotemos por m o menor deles. Claramente m ´e ´ımpar, pelo teorema de Euler, podemos garantir que:

m_{| 2}φ(m)_{− 1.}

Seja d = mdc(m, φ(m)). Pelo problema 27 da aula 3, temos 2d_{−1 = mdc(2}m_{−1, 2}φ(m)_−1). Como m | mdc(2m_{− 1, 2}φ(m)_{− 1), d > 1. Além disso, d ≤ φ(m) < m e d | 2}d_{− 1. Isso é} um absurdo pois m é o menor inteiro maior que 1 com tal propriedade.

Exemplo 12. (Olimp´ıada de Matemática Argentina) Demostre que para cada número natural n, existe uma potência de 2 cuja expansão decimal tem entre seus últimos n d´ıgitos (da direita) mais de 2n

3 d´ıgitos que s˜ao iguais a 0.

Se 2k_{tiver um resto muito pequeno m´}_{odulo 10}n_{, poderemos garantir que existir˜}_{ao muitos ze-} ros consecutivos entre seus últimos d´ıgitos. Para obtermos a equa¸cão 2k_{≡ r (mod 10}n) com rpequeno, é interessante come¸carmos analisando 2k (mod 5n) uma vez que mdc(2, 5n) = 1. Fa¸camos isso. Pelo teorema de Euler, temos:

2φ(n) _{≡ 1 (mod 5}n_{) ⇒} 2φ(n)+n _{≡ 2}n (mod 10n).

Como 2n = 8n/3 <10n/3, podemos concluir que 2n possui menos que n

3 d´ıgitos e, consequentemente, entre os ´ultimos n d´ıgitos de 2φ(n)+n_{existem pelo menos n −}n

3 = 2n

3 d´ıgitos consecutivos iguais `a zero.

Exemplo 13. (IMO 1971) Prove que a sequência 2n_{− 3(n > 1) contém uma subsequência} de números primos entre si dois a dois.

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Uma boa estratégia é construir uma sequência recursivamente. Suponha que já tenhamos escolhido os termos a1, a2, . . . , ak na sequência de modo que mdc(ai, aj) = 1. Como poderemos escolher o próximo termo ak+1 da forma 2n− 3? Claramente mdc(2, ai) = 1. Desde que φ(ai) | n, poderemos usar o teorema de Euler para obter:

2n_{− 3 ≡ 1 − 3}

6≡ 0 (mod ai) Sendo assim, pelo teorema 4, basta escolhermos:

n= φ(a1· a2· . . . · ak) = φ(a1)φ(a2) . . . φ(ak); que naturalmente ser´a um m´ultiplo de cada φ(ai). Logo, podemos definir

ak+1= 2φ(a1·a2·...·ak)− 3

e assim temos uma sequˆencia de termos infita satisfazendo as condi¸c˜oes do enunciado.

Problemas Propostos

Problema 14. Encontre todos os números naturais n para os quais φ(n) não é divis´ıvel por 4.

Problema 15. Prove que se p > 2 e 2p + 1 são ambos números primos, então para n = 4p vale que

φ(n + 2) = φ(n) + 2.

Problema 16. Encontre todas as solu¸cões nos números naturais da equa¸cão φ(n) = φ(2n). Problema 17. Encontre todas as solu¸cões nos números naturais da equa¸cão φ(2n) = φ(3n). Problema 18. Se n possui k fatores primos distintos, prove que 2k_{| φ(n).}

Problema 19. Prove que para qualquer n´umero natural k, existe pelo menos um n´umero natural n tal que

φ(n + k) = φ(n).

Dica: Considere o menor divisor primo p que não é um divisor de k e estude o número n_{= (p − 1)k.}

Problema 20. Mostre que se a e b s˜ao inteiros primos entre si, ent˜ao existem inteiros m e ntais que am+ bn_{≡ 1 (mod ab).}

Problema 21. (Alemanha) Se n é um número natural tal que 4n+ 2n+ 1 é primo, prove que n é potência de 3.

Problema 22. _{(USAMO 1991) Mostre que para qualquer inteiro fixo n ≥ 1, a sequˆencia} 2, 22,222,2222, . . . (mod n);

é eventualmente constante, isto é, a partir de um certo termo da sequência todos os restos obtidos na divisão por n serão iguais.

Dica: Tente considerar os casos em que n é par ou n é ´ımpar em separado e use indu¸cão. Problema 23. Encontre os últimos 8 d´ıgitos da expansão binária de 271986

Problema 24. _{Mostre que, para qualquer inteiro positivo n com n 6= 2 e n 6= 6 temos:} φ_{(n) ≥}√n.

Referˆencias

[1] F. E. Brochero Martinez, C. G. Moreira, N. C. Saldanha, E. Tengan - Teoria dos N´umeros ? um passeio com primos e outros n´umeros familiares pelo mundo inteiro, Projeto Euclides, IMPA, 2010.

[2] E. Carneiro, O. Campos and F. Paiva, Olimp´ıadas Cearenses de Matem´atica 1981-2005 (N´ıveis J´unior e Senior), Ed. Realce, 2005.

[3] S. B. Feitosa, B. Holanda, Y. Lima and C. T. Magalh˜aes, Treinamento Cone Sul 2008. Fortaleza, Ed. Realce, 2010.

[4] D. Fomin, A. Kirichenko, Leningrad Mathematical Olympiads 1987-1991, MathPro Press, Westford, MA, 1994.

[5] D. Fomin, S. Genkin and I. Itenberg, Mathematical Circles, Mathematical Words, Vol. 7, American Mathematical Society, Boston, MA, 1966.

[6] I. Niven, H. S. Zuckerman, and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers.

Polos Olímpicos de Treinamento

Curso de Teoria dos Números - Nível 2

Prof. Samuel Feitosa

Aula

10 Divisores

Suponha que n = pα1 1 p α2 2 . . . p αk

k é a fatora¸cão em primos do inteiro n. Todos os divisores de n são da forma m = pβ1

1 p β2

2 . . . p βk

k , onde 0 ≤ βi ≤ αi. Cada um desses n´umeros, aparece exatamente uma vez no produto:

(1 + p1 + p21 + . . . + pα11)(1 + p2 + p22 + . . . + pα22) . . . (1 + pn + p2n + . . . + p αk

k ), quando o mesmo é expandido usando a distributividade. Como existem αi+ 1 termos em cada parênteses, O número de termos dessa expansão é:

(α1+ 1)(α2+ 1) . . . (αk+ 1). Al´em disso, sabemos que:

1 + pi+ p2i + . . . + pα i i = pαi+1 i − 1 pi− 1 . Sendo assim, podemos concluir que:

Teorema 1. Se n = pα1

1 pα22. . . p αk

k é a fatora¸cão em primos de n, então:

a) O número de divisores de n, denotado por d(n), é: (α1+ 1)(α2+ 1) . . . (αn+ 1). b) A soma dos divisores de n, denotada por σ(n), é:

(1 + p1+ p21+ . . . + pα11)(1 + p2+ p22+ . . . + pα22) . . . (1 + pn+ p2n+ . . . + pα

n ) ou, de forma mais sucinta,

pα1+1 1 − 1 p1− 1 ! pα2+1 2 − 1 p2− 1 ! . . . p αn+1 n − 1 pn− 1

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Observa¸cão 2. (Pareamento de divisores) Se d é um divisor de n, então n

d tamb´em ´e um divisor de n.

Portanto, pelo menos um dentre {d,n_d} ´e um divisor de n menor ou igual a√n.

Exemplo 3. Determine o n´umero de divisores positivos de 20088 _{que s˜}_{ao menores que} 20084.

O número de divisores de 20088 = 224_{· 251}8 é 225. Como n é um quadrado perfeito e em virtude da observa¸cão anterior, 112 desses divisores são menores que√20088 _{= 2008}4_{e 112} são maiores.

Exemplo 4. Encontre a soma dos inversos dos divisores postivos de 496.

Sejam d1, d2, . . . , dn os divisores de 496 e K a soma de seus inversos. Usando a observa¸c˜ao anterior, o conjunto {496_d

+496 d2

+ . . . +496

dn } coincide com o conjunto {d

n+ dn−1+ . . . + d1} e da´ı: 1 d1 + 1 d2 + . . . + 1 dn = K ⇒ 496 d1 +496 d2 + . . . +496 dn = 496K ⇒ dn+ dn−1+ . . . + d1 = 496K ⇒ 25_{− 1} 2 − 1 · 312_{− 1} 31 − 1 = 496K ⇒ 960 496 = K. Portanto, k = 60 31.

Exemplo 5. Um n´umero natural n possui exatamente dois divisores e n + 1 possui exatamente 3 divisores. Encontre o n´umero de divisores de n + 2.

Se n possui exatamente dois divisores, então n = p é um número primo. Se n + 1 possui um número ´ımpar de divisores, então n + 1 = x2 é um quadrado perfeito, para algum x inteiro positivo. Logo, x2_{− 1 = (x − 1)(x + 1) = p. Como p é primo, a única possibilidade} é x − 1 = 1 e consequentemente n = 3. O número de divisores de n + 2 = 5 é 2.

Exemplo 6. Encontre todos os inteiros n que possuem exatamente √n divisores positivos. Para √nser inteiro, n deve ser um quadrado perfeito e assim podemos escrever:

n= p2α1

1 p2α2 2. . . p2α

k . A condi¸cão do problema é equivalente à:

pα1

1 pα22. . . p αk

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Analisando o lado direito, podemos concluir que cada pi ´e ´ımpar e consequentemente pαi

i ≥ 3α

≥ 2αi+ 1.

Como devemos ter a igualdade, p1 = 3 e 3α1 = 2α1 + 1. Se α1 > 1, vale a desigualdade estrita(veja o problema 13). Logo, a única solu¸cão é n = 9.

Exemplo 7. (Sui¸ca 2011) Encontre todos os inteiros positivos n para o qual n3 _{´e o produto} de todos os divores de n

Claramente n = 1 é solu¸cão. Suponha que n > 1 e sejam d1 < d2 < . . . < dk os divisores de n. Pela observa¸cão 2, podemos agrupar os divisores em pares cujo produto é n, assim:

n6 = (d1d2. . . dk)(d1d2. . . dk) = (d1dk)(d2dk−1) . . . (dkd1) = nd(n)

Consequentemente, 6 = d(n) e n = p5 ou n = pq2 com p e q primos distintos. Fica a cargo do leitor verificar que essas solu¸c˜oes satisfazem o enunciado.

Exemplo 8. (Irlanda 1995) Para cada inteiro positivo n tal que n = p1p2p3p4, onde p1, p2, p3 e p4 s˜ao primos distintos, sejam:

d1= 1 < d2 < d3 < . . . < d16= n,

os 16 inteiros positivos que dividem n. Prove que se n < 1995, ent˜ao d9− d8 6= 22.

Suponha que n < 1995 e d9− d8 = 22. Note inicialmente que d8 não pode ser par pois n seria divis´ıvel por 4 contradizendo o fato de que n possui quatro fatores primos distintos. Consequentemente d8, d9 e n são ´ımpares. Também temos a fatora¸cão: 35 · 57 = 1995 = 3 · 5 · 7 · 19. Então, usando a observa¸cão 2, d8d9 = n. Se d8 ≥ 35 ter´ıamos d9 < d8 para manter n < 1995 e isso seria um absurdo. Logo, d8 <35. Os divisores d1, d2, . . . , d8 são produtos de primos ´ımpares distintos. Como 3 · 5 · 7 > 35, nenhum dentre d1, d2, . . . , d8 é grande o suficiente para possuir três fatores primos distintos. Como n possui somente quatro fatores primos distintos, quatro desses di’s devem ser o produto de dois primos ´ımpares. Os menores números que são o produto de dois primos são:

15, 21, 33, 35, . . . e consequentemente devemos ter d8 ≥ 35, uma contradi¸c˜ao.

Exemplo 9. Prove que n˜ao existe inteiro positivo n tal que σ(n) = nk _{para algum inteiro} positivo k.

Afirmamos que n = 1 é a única solu¸cão. Suponha que n > 1 seja solu¸cão e sejam d1 = 1 < d2< . . . < dk= n,

POT 2012 - Teoria dos Números - N´ıvel 2 - Aula 10 - Samuel Feitosa os divisores de n. Então σ(n) = d1+ d2+ . . . + dk <1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 < n 2_. Além disso, n < n_{+ 1 ≤ d}1+ d2+ . . . + dk= σ(n). Da´ı, n < nk< n2, e obtemos um absurdo.

Exemplo 10. (Olimp´ıada de Leningrado 1989) Duas pessoas jogam um jogo. O número 2 está inicialmente escrito no quadro. Cada jogador, na sua vez, muda o número atual N no quadro negro pelo número N + d, onde d é um divisor de N com d < N . O jogador que escrever um número maior que 19891988 perde o jogo. Qual deles irá vencer se ambos os jogadores são perfeitos.

Nesse problema, basta determinarmos apenas aquele que possui a estratégia vencedora. Note que o in´ıcio do jogo é estritamente determinado: 2 → 3 → 4. Suponha que o segundo jogador vence o jogo. Ap´_{os o movimento 4 → 5 do primeiro jogador, o segundo só pode} jogar 5 → 6. Isto significa que 6 é uma posi¸cão vencedora. Entretanto, o primeiro jogador pode obter a posi¸cão 6 jogando 4 → 6, uma contradi¸cão. Logo, o primeiro jogador possui a estratégia vencendora.

Exemplo 11. (Olimp´ıada de Leningrado) Duas pilhas de palitos sobre uma mesa contém 100 e 252 palitos, respectivamente. Dois jogadores jogam o seguinte jogo: Cada jogador em sua vez pode remover alguns palitos de uma das pilhas de modo que o número de palitos retirados seja um divisor do número de palitos da outra pilha. O jogador que fizer o último movimento vence. Qual dos dois jogadores irá vencer se ambos são perfeitos?

O primeiro jogador perde. Em cada momento do jogo, podemos registrar o expoente da maior potência de 2 que divide os números de palitos em cada pilha. Por exemplo, no in´ıcio os números são (2, 2). A estratégia do segundo jogador é manter esse números sempre iguais. Suponha que, em um dado momento, as pilhas possuem 2m _{· a e 2}m _{· b} palitos com a e b ´ımpares. O par registrado será (m, m). Vejamos o que acontece quando retiramos um divisor d da segunda pilha do número de palitos da primeira. Se 2m _{é a} maior potência de 2 que divide d, então 2m+1 _{dividirá o n´}_{umero de palitos da primeira} pilha e consequentemente o par registrado terá números diferentes. Se 2k_{, com k < m,} é a maior potência de 2 que divide d, então 2k _{será a maior potência de 2 que divide o} número de palitos da primeira pilha e novamente o par registrado terá números diferentes. Assim, sempre que um jogador receber um par registrado com números iguais, ele irá passar um par registrado com números diferentes para o outro jogador. Suponha agora que, na sua vez, as pilhas possuem 2m _{· a e 2}n _{· b palitos, com m < n e a ≡ b ≡ 1 (mod 2).} Basta o jogador retirar 2m _{palitos da segunda pilha para passar um par registrado com} números iguais a (m, m). Como inicialmente as pilhas possuem números registrados iguais, o segundo jogador pode sempre manter essa propriedade e consequentemente o único que pode passar uma pilha com zero palitos pela primeira vez é o primeiro jogador.

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Problemas Propostos

Problema 12. Mostre que se k ´e um inteiro positivo ent˜ao 3k_{≥ 2k +1 e vale a desigualdade} estrita quando k > 1.

Problema 13. (Rússia 2001) Encontre todos os n tais que quaisquer divisores primos distintos a e b de n o n´_{umero a + b − 1 também é um divisor de n}

Problema 14. O n´umero 332_{− 1 tem exatamente dois divisores que s˜ao maiores que 75 e} menores que 85. Qual o produto desses dois divisores?

Problema 15. (Irã 2012) Sejam a e b inteiros positivos de modo que o número de divisores positivos de a,b, ab é 3,4 e 8, respectivamente. Encontre o número de divisores positivos de b2.

Problema 16. (Olimp´ıada de S˜ao Petesburgo) Enconte todos os inteiros positivos n tais que 3n−1_{+ 5}n−1 _{divide 3}n_{+ 5}n_.

Problema 17. Sejam 1 = d1 < d2 < .... < dk = n o conjunto de todos os divisores de um inteiro positivo n. Determine todos os n tais que:

d2₆+ d2₇_{− 1 = n.}

Problema 18. Um divisor d > 0 de um inteiro positivo n ´e dito ser um divisor unit´ario se mdc(d,n

d) = 1. Suponha que n é um inteiro positivo tal que a soma de seus divisores unitários é 2n. Prove que n não pode ser ´ımpar.

Referˆencias

[1] F. E. Brochero Martinez, C. G. Moreira, N. C. Saldanha, E. Tengan - Teoria dos N´umeros ? um passeio com primos e outros n´umeros familiares pelo mundo inteiro, Projeto Euclides, IMPA, 2010.

[2] E. Carneiro, O. Campos and F. Paiva, Olimp´ıadas Cearenses de Matem´atica 1981-2005 (N´ıveis J´unior e Senior), Ed. Realce, 2005.

[3] S. B. Feitosa, B. Holanda, Y. Lima and C. T. Magalh˜aes, Treinamento Cone Sul 2008. Fortaleza, Ed. Realce, 2010.

[4] D. Fomin, A. Kirichenko, Leningrad Mathematical Olympiads 1987-1991, MathPro Press, Westford, MA, 1994.

[5] D. Fomin, S. Genkin and I. Itenberg, Mathematical Circles, Mathematical Words, Vol. 7, American Mathematical Society, Boston, MA, 1966.

[6] I. Niven, H. S. Zuckerman, and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers.