Suponhamos agora que X ´e n-dimensional e consideremos Xn−1 o (n − 1)-esqueleto de X. Dessa forma, f ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao celular g : X → X, pelo Teorema da Aproxima¸c˜ao Celular (ver [8], IV.4.8). Assim, g(Xn−1) ⊆ Xn−1 e temos um diagrama comutativo
Xn−1 //
g0
²²
X //
g
²²
X/Xn−1
g
²²
=Wk Sn
Xn−1 //X //X/Xn−1=Wk Sn. Aplicando o axioma da cofibra¸c˜ao, segue que λ(g) = λ(g0) +λ(g).
Agora, pelo Lema 3.5.4,
λ(g) = (−1)n
³
deg(g1) +...+deg(gk)
´
=L(g).e
Logo, aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao sobre g0, ficamos com λ(g) = L(ge 0) + L(g).e Como j´a foi mostrado anteriormente, o n´umero de Lefschetz reduzido satisfaz o axioma da cofibra¸c˜ao, portanto conclu´ımos queλ(g) = L(g). E finalmente, pelo axioma da homotopia,e
λ(f) = L(f).e ¥
ao n´umero de Lefschetz L(f) da f.
Demonstra¸c˜ao. Teremos como objetivo provar que indf satisfaz os axiomas do Teorema 3.5.1 e dessa forma, chegaremos que ind(ff ) =L(fe ).
Sabemos que os axiomas da homotopia e da comutatividade s˜ao propriedades bastante conhecidas na teoria do ´ındice de pontos fixos.
Mostraremos assim que indf satisfaz o axioma da cofibra¸c˜ao.
Consideremos A um subpoliedro de X com f(A) ⊆A. Seja f0 : A → A a restri¸c˜ao de f e f : X/A → X/A a aplica¸c˜ao induzida em espa¸cos quocientes. Pelo Teorema 1.10.2, existe uma vizinhan¸caU em X tal que r:U →A´e um retrato de deforma¸c˜ao. Seja Lum subpoliedro de uma subdivis˜ao baricˆentrica deX tal que A⊆int(L)⊆L⊆U.
Como L ⊂ U e r : U → A ´e um retrato de deforma¸c˜ao, temos definida uma aplica¸c˜ao cont´ınua k : (X× {0})∪(L×I)→X tal que
k(x,0) =x para todox∈X;
k(x,1) =r(x) para todo x∈L;
k(a, t) = a para todoa∈A e todo t∈I.
ConsidereG=f◦k. Pela Propriedade da Extens˜ao da Homotopia, existe uma aplica¸c˜ao cont´ınuaH :X×I →X satisfazendoH(x,0) =f(x) para todox∈X,H(x,1) = (f◦r)(x) para todox∈X eH(a, t) =f(a) para todoa∈Ae todot ∈I. Se fixarmosg(x) = H(x,1) ent˜ao, n˜ao existem pontos fixos deg em L−A.
De fato. Seja x∈L−A,
g(x) = (f ◦r)(x) =f(r(x))∈f(A)⊂A.
Logo, g(L−A)⊂A.
Pela propriedade aditiva temos
ind(g) = ind(X, g, int(L)) +ind(X, g, X −L). (3.4) Discutiremos cada parcela da equa¸c˜ao (3.4) separadamente. Come¸caremos com ind(X, g, int(L)).
Como g(L) = H(L,1) = f ◦ r(L) ⊆ A ⊆ L segue, pela defini¸c˜ao de ´ındice, que ind(X, g, int(L)) = ind(L, g, int(L)). Al´em disso, ind(L, g, int(L)) = ind(L, g, L) j´a que n˜ao existem pontos fixos deg em L−int(L) (teorema da excis˜ao).
Seja e:A→La inclus˜ao, pela propriedade comutativa, temos
ind(L, g, L) = ind(L, e◦g, L) =ind(A, g◦e, A) =ind(f0),
pois f(a) = H(a, t) para todo t, em particular, para t = 1, assim f(a) = H(a,1) = g(a) para todoa∈A⊆L.
Consideremos agora, a parcela ind(X, g, X −L) da equa¸c˜ao (3.4).
Seja π : X → X/A a aplica¸c˜ao quociente, fixemos π(A) = {∗} e, notemos que π−1({∗}) = A. Se g : X/A → X/A ´e induzida por g, a restri¸c˜ao de g para a vizinhan¸ca π(int(L)) de {∗}em X/A ´e constante.
De fato. Sabemos que A⊆ int(L)⊆ L, g(L) ⊆A⊆ L eπ(int(L)) = int(L)
A . Assim, a restri¸c˜ao deg para a vizinhan¸ca π(int(L)) de {∗} em X/A ´e da forma
g : int(L)
A −→ g(int(L))
A ⊆ g(L) A ⊆ A
A ={∗}.
Ou seja, tal restri¸c˜ao ´e constante.
Logo, ind(X/A, g, π(int(L))) = 1.
Se denotarmos o conjunto dos pontos fixos de g sem {∗} por F ix∗g
³
= F ixg− {∗}
´ , ent˜ao F ix∗g est´a no subconjunto abertoX/A−π(L) de X/A.
Seja W um subconjunto aberto de X/A tal que F ix∗g ⊆ W ⊆ X/A −π(L) com a propriedade que g(W)∩π(L) =∅. Pela propriedade aditiva, obtemos
ind(g) =ind(X/A, g, π(int(L))) +ind(X/A, g, W) = 1 +ind(X/A, g, W).
Agora, identificando X − L com o subconjunto correspondente π(X − L) de X/A e, identificando as restri¸c˜oes de g e g para tais subconjuntos, ficamos com ind(X/A, g, W) = ind(X, g, π−1(W)). O teorema da excis˜ao implica que ind(X, g, π−1(W)) = ind(X, g, X −L). Logo, acabamos de determinar a segunda parcela da equa¸c˜ao (3.4): ind(X, g, X −L) =ind(g)−1.
Dessa forma, da equa¸c˜ao (3.4) segue que ind(g) = ind(f0) +ind(g) −1. Como f ´e homot´opica a g ef ´e homot´opica a g, pela propriedade de homotopia, obtemos
ind(f) =ind(f0) +ind(f)−1⇒ind(f) =f ind(ff 0) +ind(f).f
Portanto, indf satisfaz o axioma da cofibra¸c˜ao.
Resta agora verificar que indf satisfaz o axioma do bouquet de c´ırculos.
Seja X=Wk
S1 =S11∨...∨Sk1 um bouquet de c´ırculos com ponto base∗ e f :X →X uma aplica¸c˜ao.
Primeiramente, verificaremos o axioma no caso k = 1. Neste caso, temos f :S1 → S1 e denotaremos seu grau por deg(f) = d. Consideremos S1 ⊆ C (conjunto dos n´umeros complexos), segundo o Exemplo 3.2.3, f ´e homot´opica a gd, na qual gd(z) = zd possui
|d−1| pontos fixos para d6= 1. Tamb´em pelo mesmo exemplo, o ´ındice de pontos fixos de gd em uma vizinhan¸ca de um ponto fixo que n˜ao cont´em outro ponto fixo de gd ´e −1 se d≥2 e ´e 1 sed≤0. E comog1 ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao sem pontos fixos, conclu´ımos queind(gd) = −d+1 para todo inteirod. Dessa forma, sendof homot´opca agd, mostramos queind(f) = −deg(f) + 1.
Suponhamos agora, k ≥ 2. Se f(∗) = ∗ ent˜ao, pelo Propriedade da Extens˜ao da Homotopia, f ´e homot´opica a uma aplica¸c˜ao que n˜ao fixa ∗. Dessa forma, assumiremos, sem perda de generalidade, quef(∗)∈S11− {∗}.
SejaV uma vizinhan¸ca def(∗) emS11−{∗}tal que existe uma vizinhan¸caU de∗emX, disjunta de V, com f(U) ⊆ V. Como U n˜ao cont´em pontos fixos da f e, os subconjuntos abertos Sj1−U de X s˜ao disjuntos, a propriedade aditiva implica que
ind(f) =ind(X, f, S11−U) + Xk
j=2
ind(X, f, Sj1 −U). (3.5)
Tamb´em, pela propriedade aditiva, temos
ind(fj) =ind(Sj1, fj, Sj1 −U) +ind(Sj1, fj, Sj1∩U). (3.6) Existe uma vizinhan¸ca Wj de (F ixf)∩Sj1 em Sj1 tal que f(Wj)⊆Sj1.
Assim, fj(x) = f(x) para x∈Wj e dessa forma, pelo teorema da excis˜ao,
ind(Sj1, fj, Sj1−U) =ind(Sj1, fj, Wj) =ind(X, f, Wj) = ind(X, f, Sj1−U). (3.7) Como f(U) ⊆ S11, temos f1(x) = f(x) para todo x ∈ U ∩S11. Agora, n˜ao existem pontos
fixos da f em U, logo ind(S11, f1, S11∩U) = 0 e assim,
ind(f1)(3.6)= ind(S11, f1, S11−U)+ind(S11, f1, S11∩U) = ind(S11, f1, S11−U)(3.7)= ind(X, f, S11−U).
Para j ≥2, o fato de que fj(U) = ∗ nos d´aind(Sj1, fj, Sj1∩U) = 1, assim ind(fj)(3.6)= ind(Sj1, fj, Sj1−U) + 1(3.7)= ind(X, f, Sj1−U) + 1.
Agora, como fj : Sj1 → Sj1, aplicando o argumento para o caso k = 1, obtemos ind(fj) = −deg(fj) + 1 para j = 1,2, ..., k. Em particular,
ind(X, f, S11−U) =ind(f1) =−deg(f1) + 1, enquanto que paraj ≥2, temos
ind(X, f, Sj1−U) =−deg(fj).
Logo, pela equa¸c˜ao (3.5),
ind(f) = ind(X, f, S11−U) + Xk
j=2
ind(X, f, Sj1−U) =− Xk
j=1
deg(fj) + 1.
Assim, ind(f) =f ind(f)−1 =− Xk
j=1
deg(fj), ou seja, indf satisfaz o axioma do bouquet de c´ırculos.
Portanto, mostramos que indf satisfaz os axiomas do Teorema 3.5.1 e dessa forma, chegamos que ind(ff ) =L(fe ). Logo,L(f) =ind(f). ¥ Os seguintes resultados estabelecem a rela¸c˜ao do Teorema de Lefschetz-Hopf com os Teoremas de Pontos Fixos de Lefschetz e Brouwer.
Teorema 3.6.2 (Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz) Seja f : X → X uma aplica¸c˜ao cont´ınua de um poliedro finito. Se L(f) 6= 0 ent˜ao f tem pelo menos um ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a aplica¸c˜ao f n˜ao possui pontos fixos. Dessa forma, temos ind(f) = 0. Assim, pelo Teorema de Lefschetz-Hopf segue que
L(f) = ind(f) = 0,
o que contradiz a hip´otese.
Portanto, se L(f)6= 0 ent˜aof tem pelo menos um ponto fixo. ¥ Corol´ario 3.6.1 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer) Seja X um poliedro finito contr´atil. Toda aplica¸c˜ao cont´ınua f :X →X tem pelo menos um ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Como por hip´otese X ´e contr´atil, segue que Hp(X,Q) = 0 para todo p >0. Dessa forma, para qualquer f :X →X,
L(f) =T r(f∗0) = T r(id) = 16= 0.
Assim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, segue quef tem pelo menos um ponto
fixo. ¥
4 O Teorema de Borsuk-Ulam
O Teorema de Borsuk-Ulam foi conjeturado por S. Ulam e provado por K. Borsuk em 1933. Em particular, ele afirma que se f = (f1, f2, ..., fn) ´e um conjunto de n fun¸c˜oes cont´ınuas com valores reais na esfera unit´aria, ent˜ao devem existir pontos antipodais nos quais todas as fun¸c˜oes coincidem. Uma interpreta¸c˜ao para o cason = 2 ´e que sempre existe um par de pontos antipodais na superf´ıcie da Terra com a mesma temperatura e a mesma press˜ao atmosf´erica (assumindo, ´e claro, que temperatura e press˜ao variam continuamente).
Neste cap´ıtulo veremos a demonstra¸c˜ao desse teorema tanto para o caso particular com n = 1 ou n = 2, quanto para o caso geral. Al´em disso, ser˜ao apresentadas algumas consequˆencias interessantes do teorema.
Apresentaremos tamb´em, na ´ultima se¸c˜ao, uma constru¸c˜ao, baseada no artigo de F. E.
Su ([14]), que mostra que o Teorema de Borsuk-Ulam implica o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.
4.1 Caso Particular
Dividiremos o estudo do Teorema de Borsuk-Ulam em dois casos, pois o primeiro deles (o caso particular), para aplica¸c˜oes cont´ınuas de Sn em Sn−1 com n = 1 ou n = 2, ´e utilizado com mais frequˆencia e al´em disso, sua prova envolve conceitos mais simples do que no caso geral. Nesta primeira se¸c˜ao, teremos como objetivo demonstrar o caso particular do Teorema de Borsuk-Ulam.
Defini¸c˜ao 4.1.1 SejaSna esfera unit´aria n-dimensional emRn+1. Para quaisquer inteiros 83
positivos m e n, seja f : Sm → Sn uma aplica¸c˜ao. Dizemos que tal aplica¸c˜ao preserva pontos antipodais se f(−x) = −f(x), para qualquer x pertencente aSm.
Teorema 4.1.1 N˜ao existe aplica¸c˜ao cont´ınua f : Sn → Sn−1 que preserve pontos antipodais para n = 1 ou n = 2.
Demonstra¸c˜ao. Considerando o caso n = 1, suponhamos que exista aplica¸c˜ao cont´ınua f :S1 →S0 que preserve pontos antipodais.
Temos que S1 ´e conexo e S0 ={x∈R| |x|= 1}={−1,1}.
Observemos que f ´e sobrejetora, pois se x∈S1 e supondo f(x) = 1, temos f(−x) =−f(x) = −1∈S0.
Analogamente, sef(x) =−1 ent˜ao f(−x) = −f(x) = 1∈S0.
Sendof cont´ınua eS1 conexo, segue queS0 ´e conexo. Por´em, isso ´e um absurdo, j´a que S0 n˜ao ´e conexo.
Portanto n˜ao existe tal aplica¸c˜ao cont´ınua para n = 1.
Veremos agora a demonstra¸c˜ao para o caso n= 2.
Suponhamos que exista uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : S2 → S1 que preserve pontos antipodais. Consideremos agora os espa¸cos quocientes deS2 eS1 obtidos pela identifica¸c˜ao dos pontos antipodais. Esses espa¸cos s˜ao, respectivamente, o plano projetivo real P2 (S2/∼) e o espa¸co projetivo P1 (S1/∼), o qual ´e homeomorfo a S1.
Denotemos por p2 : S2 → P2 e p1 : S1 → P1 as aplica¸c˜oes naturais de cada espa¸co em seu espa¸co quociente. Dessa forma,
p2(x) = x={x,−x}, com x∈S2 e p1(x0) =x0 ={x0,−x0}, com x0 ∈S1.
Seja G = {id, α}, em que id : Sn → Sn ´e a aplica¸c˜ao identidade e α : Sn → Sn ´e a aplica¸c˜ao tal que α(x) = −x, com n ≤ 2. Temos que id e α s˜ao homeomorfismos. Assim, G´e um grupo de homeomorfismos e ainda G'Z2, j´a que (α◦α) = id.
Definamos uma a¸c˜ao de G em Sn da seguinte maneira:
G×Sn −→ Sn
(id, x) 7−→ id·x=id(x) = x (α, x) 7−→ α·x=α(x) =−x.
Observemos que, dado x∈Sn, a ´orbita G·x={g·x|g ∈G}={x,−x}. Assim (Sn/G) = (Sn/∼)∼=Pn, n ≤2.
Mostremos que a a¸c˜ao de G em Sn ´e propriamente descont´ınua, n= 1,2.
De fato. Dadox∈Sn, temosα·x=α(x) =−x. Comoxe−xs˜ao pontos antipodais em Sn, claramente existe uma vizinhan¸caU dextal queα·U∩U =∅, poisα·U ={−y|y∈U}.
Logo, a a¸c˜ao de G em S1 eS2 ´e propriamente descont´ınua.
Assim, usando a Proposi¸c˜ao 1.3.5 segue que (S1, p1) e (S2, p2) s˜ao espa¸cos de recobrimento regular de P1 e P2, respectivamente. Observemos ainda que estes espa¸cos de recobrimento s˜ao de duas folhas (j´a que pontos antipodais pertencem `a mesma classe).
Consideremos g :P2 →P1 tal que g(x) = f(x). Mostremos que g est´a bem definida.
De fato. Dados x, y ∈ P2, se x =y ent˜ao {x,−x} ={y,−y}. Logo x =y ou x= −y.
Assim f(x) = f(y) ou f(x) =f(−y) =−f(y). Ou seja,
f(x) ={f(x),−f(x)}={f(y),−f(y)}=f(y).
Portanto g est´a bem definida.
Consideremos assim o seguinte diagrama:
S2 f //
p2
²²
S1
p1
²²
P2 g //P1 Mostremos que tal diagrama ´e comutativo.
De fato. Dado x∈S2, temos
(p1◦f)(x) =p1(f(x)) =f(x) e
(g◦p2)(x) =g(p2(x)) =g(x) =f(x).
Assim (p1◦f) = (g◦p2) e, a comutatividade est´a provada.
Agora, g ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
De fato. Seja U um subconjunto aberto em P1. Como p1 ´e cont´ınua, segue que p−11 (U)
´e um subconjunto aberto em S1. Sendo f uma aplica¸c˜ao cont´ınua, temos f−1(p−11 (U)) = (p1◦f)−1(U)
um subconjunto aberto emS2.
Pela comutatividade do diagrama, (p1◦f)−1(U) = (g◦p2)−1(U). Dessa forma f−1(p−11 (U)) = (p1◦f)−1(U) = (g◦p2)−1(U) = p−12 (g−1(U)).
Assim, segue que p−12 (g−1(U)) ´e um subconjunto aberto em S2. Logo, como p2 ´e aplica¸c˜ao quociente, g−1(U) ´e um subconjunto aberto emP2.
Portanto g ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
Consideremos assim o homomorfismo induzido no grupo fundamental, g∗ :π1(P2)→π1(S1).
Sabemos queπ1(P2)'Z2 que ´e c´ıclico de ordem 2 eπ1(S1)'Z´e c´ıclico infinito. Assim o homomorfismog∗ deve ser o homomorfismo trivial.
De fato. Sejag∗ :Z2 →Zo homomorfismo. Temos Z2 gerado por umt tal que t2 = 1 e g∗(1) = 1. Suponhamos que g∗(t) =sk, tal que k 6= 0. Dessa forma
g∗(1) =g∗(t·t) =g∗(t)·g∗(t) = sk·sk =s2k 6= 1, j´a quek 6= 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Logo g∗ ´e o homomorfismo trivial.
Por outro lado, seja [α] uma classe de equivalˆencia de caminhos emS2 tal que os pontos extremos desses caminhos sejam x0 e −x0. Sem perda de generalidade, suponhamos que α(0) =x0 e α(1) =−x0.
Por hip´otese temos f(−x0) = −f(x0). Dessa forma, os pontos extremos dos caminhos da classe [(f◦α)] =f∗([α]) s˜aof(x0) e −f(x0), que s˜ao pontos antipodais emS1.
Consideremos novamente o seguinte diagrama:
S2 f //
p2
²²
S1
p1
²²
P2 g //P1
Consideremos os homomorfismos induzidos nas classes p2∗([α]) e p1∗(f∗([α])) que s˜ao definidos por [(p2◦α)] e [p1◦(f ◦α)], respectivamente.
Temos
(p2◦α)(0) =p2(x0) =x0 ={x0,−x0} e (p2◦α)(1) =p2(−x0) = −x0 ={x0,−x0}.
Portanto p2∗([α]) = [(p2◦α)] ´e uma classe de la¸cos com ponto base x0 em P2. Obtemos tamb´em que
(p1◦(f ◦α))(0) =p1(f(x0)) =f(x0) e
(p1◦(f◦α))(1) =p1(f(−x0)) = p1(−f(x0)) =f(x0).
Logop1∗(f∗([α])) = [p1◦(f◦α)] ´e uma classe de la¸cos com ponto basef(x0) emP1 ≡S1. Dessa forma, p2∗([α]) e p1∗(f∗([α])) pertencem, respectivamente, aos grupos fundamentais π1(P2, x0) e π1(S1, f(x0)).
Afirmamos que p2∗([α])6= 1 e p1∗(f∗([α]))6= 1.
De fato. Suponhamos que p2∗([α]) = 1. Logo [(p2 ◦α)] = [cx0], com cx0 o caminho constante no pontox0 em P2. Assim (p2◦α)∼cx0.
Consideremos agora cx0 que ´e o caminho constante no pontox0 ∈S2. Temos p2∗([cx0]) = [(p2◦cx0)] = [cx0].
Assim (p2◦cx0)∼cx0.
Como (p2◦α)∼cx0 e (p2◦cx0)∼cx0, obtemos (p2◦α)∼(p2◦cx0).
Agora, como o ponto inicial de α e cx0 s˜ao iguais, segue pelo Teorema da Monodromia que α ∼ cx0 e seus respectivos pontos finais s˜ao iguais. Mas isso ´e um absurdo, pois
−x0 6=x0.
Assim segue que p2∗([α])6= 1.
Suponhamos agora que p1∗(f∗([α])) = 1. Logo [p1 ◦(f ◦α)] = [cy0], com y0 = f(x0).
Assim p1◦(f◦α)∼cy0.
Observemos que (f ◦α) ´e um caminho em S1 com ponto inicial f(x0) e ponto final
−f(x0) = f(−x0).
Dadocf(x0) o caminho constante no ponto f(x0)∈P1, temos [(p1◦cf(x0))] = [cy0]. Logo (p1◦cf(x0))∼cy0.
Como p1◦(f ◦α)∼cy0 e (p1◦cf(x0))∼cy0, segue que p1◦(f ◦α)∼(p1◦cf(x0)).
Agora, como o ponto inicial de (f ◦ α) e cf(x0) s˜ao iguais, segue pelo Teorema da Monodromia que (f ◦α) ∼ cf(x0) e seus respectivos pontos finais s˜ao iguais. Mas isso ´e uma contradi¸c˜ao, pois−f(x0)6=f(x0).
Logo, p1∗(f∗([α]))6= 1.
Pela comutatividade do diagrama segue que g∗(p2∗([α])) =p1∗(f∗([α])), em que g∗ :π1(P2, x0)→π1(P1, f(x0)).
Assim g∗ leva p2∗([α]) 6= 1 em p1∗(f∗([α]))6= 1. Por´em, isso contradiz o fato de g∗ ser trivial.
Portanto, n˜ao existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : S2 → S1 que preserve pontos
antipodais. ¥