O teorema do limite central - Distribui¸c˜ ao amostral de ¯ x

7.3 Distribui¸c˜ ao amostral de ¯ x

7.3.3 O teorema do limite central

Outra caracter´ıstica interessante que constatámos sobre a distribui¸cão da média amostral tem a ver com a sua normalidade, que observámos ocorrer, no caso da variável Y para todos os valores de n, e no caso da variável X para valores moderados e grandes de n.

Quando a dimensão da amostra for grande, há um teorema matemático, conhecido como teorema central do limite ou teorema do limite central, que assegura que, nesse caso, a distribui¸cão da média amostral é aproximadamente normal. A palavra “central” deve-se à importância que este resultado teve na investiga¸cão matemática em Probabilidades, nas primeiras décadas do século passado.

tenreiro

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Teorema do limite central:

Se ¯x é calculada a partir de n observa¸cões independentes com média µ e desvio-padrão σ, então

x_{≃ N µ, σ/}√n para n grande.

Reparemos que a aproxima¸cão normal obtida anteriormente para a distribui¸cão amostral da propor¸c˜_{ao b}p, é um caso particular do teorema do limite central. Com efeito, usando (6.3.1), bp é a média das variáveis S1, S2, . . . , Sn,

b p = 1

n(S1+ S2+ . . . + Sn),

que como vimos têm média µ = p e desvio-padrão σ = pp(1− p). Pelo teorema do limite central conclu´ımos que

p≃ Np,pp(1− p)/√n, ou seja,

p≃ Np,pp(1− p)/n,

que foi precisamente a aproxima¸c˜ao normal dada anteriormente para a distribui¸c˜ao amostral de bp.

O comportamento da distribui¸cão da média amostral descrito no teorema do limite central, ocorre também em situa¸cões mais gerais do que aquelas que enunciámos. Por exemplo, a aproxima¸cão normal para a média amostral é ainda válida em casos em que há dependência entre as diversas observa¸cões, ou em casos em que as várias observa¸cões não podem ser consideradas realiza¸cões de variáveis aleatórias com a mesma distribui¸cão. Em particular, se a amostra é recolhida por amostragem aleatória simples duma popula¸cão finita, o teorema do limite central é ainda válido.

A qualidade da aproxima¸cão da distribui¸cão da média amostral pela distribui¸cão normal, depende muito da forma da distribui¸cão de probabilidade subjacente à variável observada. Se uma tal distribui¸cão for próxima da distribui¸cão normal, será de esperar que a aproxima¸cão normal para a distribui¸cão da média amostral ocorra para valores de n mais pequenos do que no caso em que a distribui¸cão da variável observada for muito diferente da distribui¸cão normal. Quando a distribui¸cão das observa¸cões é exactamente normal a distribui¸cão da média amostral é exactamente normal para qualquer dimensão da amostra. Isto explica os resultados observados no Exemplo 7.3.2.

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Distribui¸cão de ¯x para observa¸cões normais e independentes: Se ¯x é calculada a partir de n observa¸cões normais e independentes com média µ e desvio-padrão σ, então

x_{∼ N µ, σ/}√n para todos os valores de n.

Exemplo 7.3.3 Vimos no Exemplo 6.2.3, como podemos controlar a qualidade dum processo de fabrico através da constru¸cão duma carta de controlo. No exemplo que focámos sobre o controlo do peso de pacotes de a¸cucar empacotados por uma máquina, que em condi¸cões ideais de funcionamento produz pacotes cuja distribui¸cão dos pesos possui uma distribui¸cão normal com média 1000 gramas e com desvio-padrão 10 gramas, cada um dos pontos marcado na carta de controlo resultava duma única observa¸cão o que introduz no processo de controlo uma variabilidade indesejada. Mais natural é que cada ponto marcado resulte da observa¸cão de mais do que um pacote. Admitamos assim que para controlar o processo de empacotamento, de hora a hora é recolhida uma amostra de 5 pacotes, que acabaram de sair da máquina, e é registado o seu peso médio. Como esta média é uma média de observa¸cões normais que vamos admitir independentes, o resultados anterior permite concluir que

x_{∼ N(1000, 10/}√5).

Em particular, e atendendo à regra 68-95-99.7, podemos dizer que 99.7% dos pesos médios assim registados pertence ao intervalo [1000_{− 3 × 10/}√5, 1000_{− 3 × 10/}√5] = [986.6, 1013.4]. Se alguma das médias registadas não pertence a este intervalo, isso pode ser uma indica¸cão de que a máquina está a funcionar mal, necessitando por isso de ser calibrada.

Vejamos dois exemplos simples de utiliza¸cão do teorema do limite central, no cálculo de probabilidades associadas a uma variável aleatória que se exprime como soma de variáveis aleatórias independentes.

Exemplo 7.3.4 Suponhamos que decidimos lan¸car um dado equilibrado 100 vezes consecutivas, e que apostamos com um amigo A que vamos obter pelo menos 350 pontos na soma dos pontos obtidos nos v´arios lan¸camentos, e com outro amigo B que vamos obter mais do que 400 pontos. Qual ´e a probabilidade de ganharmos a aposta com cada um dos nossos dois amigos? Se representarmos por X1, X2, . . . , X100 os pontos obtidos

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em cada um dos 100 lan¸camentos e por S a sua soma, isto ´e, S = X1+ X2+ . . . + X100,

as probabilidades pedidas são dadas por P(S ≥ 350) e P(S > 400), respectivamente. Como vimos no Exemplo 5.3.1, cada uma das variáveis Xi tem média 3.5 e desvio-

-padr˜ao √2.9167. Atendendo ao teorema do limite central, a m´edia amostral ¯

x = (X1+ X2+ . . . + X100)/100 = S/100,

é aproximadamente normal com média 3.5 e desvio-padrão √2.9167/√100 _{≈ 0.1708.} Para obter resultados mais fidedignos, vamos usar a correçcão de continuidade no cálculo das duas probabilidades anteriores. Assim, denotando por Z a variável normal standard, temos

P(S _{≥ 350) = P(S ≥ 349.5)} = P(¯x_{≥ 3.495)} = P ¯ x− 3.5 0.1708 ≥ 3.495− 3.5 0.1708 ≈ P(Z ≥ −0.029) = 1− 0.4884 = 0.5116 e P(S > 400) = P(S > 400.5) = P(¯x > 4.005) = P ¯ x_{− 3.5} 0.1708 > 4.005_{− 3.5} 0.1708 ≈ P(Z > 2.957) = 1− 0.9984 = 0.0016.

Exemplo 7.3.5 Suponhamos que no jogo da roleta descrito no Exemplo 5.5.2 (pág. 144), o jogador decide jogar 100 partidas numa das suas idas ao casino. Calculemos uma aproxima¸cão para a probabilidade dele ganhar mais do que aquilo que perde. Representando por Xi o ganho (ou perda) l´ıquido do jogador na i-ésima partida, o

ganho l´ıquido do jogador no fim das 100 partidas ´e dado por G = X1+ X2+ . . . + X100.

Estas variáveis já foram por nós estudadas no Exemplo 5.5.2, onde vimos que possuiam média _{−0.27 euros e desvio-padrão} √3408.035 _{≈ 58.3784 euros. Usando o teorema} do limite central, sabemos que a média amostral ¯x = G/100, pode ser aproximada pela distribui¸cão normal de média −0.27 e desvio-padrão 58.3784/√100 = 5.83784. Assim, denotando por Z a variável normal standard, temos (para efectuar a correçcão de continuidade, devemos ter em conta que G toma valores de 10 em 10)

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= P(¯x > 0.05) = P ¯ x_{− (−0.27)} 5.83784 > 0.05_{− (−0.27)} 5.83784 ≈ P(Z > 0.055) = 1− 0.5219 = 0.4781.

Vejamos agora o que acontece `a probabilidade anterior, se o jogador decide jogar 1000 partidas em vez de 100. Neste caso, G = X1 + X2 + . . . + X1000 e a m´edia

amostral, ¯x = G/1000, pode ser aproximada pela distribui¸cão normal de média _−0.27 e desvio-padrão 58.3784/√1000 _{≈ 1.8461, e portanto} P(G > 0) = P(G > 5) = P(¯x > 0.005) = P ¯ x_{− (−0.27)} 1.8461 > 0.005_{− (−0.27)} 1.8461 ≈ P(Z > 0.149) = 1_{− 0.5592 = 0.4408.}

Vemos assim, que quantas mais partidas o jogador joga, mais probabilidade tem de sair do casino com menos dinheiro do que quando entrou. Esta conclusão está de acordo com as conclusões a que chegámos através da lei dos grandes números.

7.4 Bibliografia

Anderson, D.R., Sweeney, D.J., Williams, T.A. (2002). Estat´ıstica Aplicada `a Admi-

nistra¸c˜ao e Economia, Pioneira.

McPherson. G. (1990). Statistics in Scientific Investigation: its basis, application and

interpretation, Springer-Verlag.

Moore, D.S. (1985). Statistics: concepts and controversies, W.H. Freeman and Com- pany.

Moore, D.S., McCabe, G.P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics, W.H. Freeman and Company.

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Intervalos de confian¸ca para propor¸c˜oes

e m´edias

Inferˆencia estat´ıstica. No¸c˜ao de intervalo de confian¸ca. Margem de erro e n´ıvel de con-

fian¸ca. Intervalos de confian¸ca para propor¸c˜oes. Intervalos de confian¸ca para m´edias.

O caso das popula¸c˜oes normais. A distribui¸c˜ao de Student. Como escolher o tamanho

da amostra.

8.1 Inferˆencia estat´ıstica

Tão ou mais interessantes do que as aplica¸cões do teorema do limite central com que terminámos o cap´ıtulo anterior, são as suas aplica¸cões à inferência estat´ıstica que vamos abordar em detalhe neste e no próximo cap´ıtulo. O conhecimento das distribui¸cões amostrais das estat´ısticas ¯_{x e b}p, ou da respectiva aproxima¸cão normal, é de importância fundamental na implementa¸cão de dois procedimentos de inferência estat´ıstica, conhe- cidos como intervalos de confian¸ca e testes de hipóteses, cujo objectivo comum é inferir sobre um parâmetro desconhecido da popula¸cão que estudamos, e que no caso particular das estat´ısticas ¯_{x e b}p, ou é uma média, µ, ou uma propor¸cão, p, respectivamente.

Exemplo 8.1.1 Para ilustrar o que acabámos de dizer, recordemos o Exemplo 4.3.1 em que uma moeda portuguesa de um euro foi lan¸cada 50 vezes tendo-se obtido 45 vezes a face europeia e 5 vezes a face portuguesa. A questão que colocámos na altura era a de saber qual era a probabilidade de sair a face europeia. Vimos que a res- posta a esta questão poderia depender do nosso conhecimento sobre a experiência em causa, em particular sobre o facto de termos, ou não, razões para admitir que a moeda é equilibrada. Representando por p a probabilidade de ocorrência da face europeia no lan¸camento desta moeda, sabemos já que estamos na presen¸ca duma experiência aleatória binomial de parâmetros n = 50 e p, onde p é um parâmetro desconhecido

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sobre o qual pretendemos inferir. Atendendo à lei dos grandes números sabemos que a propor¸c˜_{ao de faces europeias observadas, b}p = 45/50 = 0.9, é uma aproxima¸cão da probabilidade p de ocorrência da face europeia no lan¸camento desta moeda.

Se além da estimativa 0.9 (dita estimativa pontual), pretendemos dar indica¸cão sobre a precisão da mesma, que será naturalmente dada sob a forma dum intervalo cuja amplitude indicará a precisão da estimativa, estamos ca´ıdos num problema de estima¸cão por intervalos de confian¸ca.

Em vez de pretendermos uma aproxima¸cão para p, poderemos querer saber se a moeda é, ou não, equilibrada. Por outras palavras, poderemos querer saber se a propor¸cão observada, 0.9, é, ou não, compat´ıvel com a hipótese p = 0.5 da moeda ser equilibrada. Temos neste caso um problema de testes de hipóteses.

Podemos assim dizer, que no caso dos intervalos de confian¸ca, pretende-se esti- mar o parâmetro de interesse dando indica¸cão da precisão da estimativa apresentada, enquanto que no caso dos testes de hipóteses pretende-se avaliar a adequa¸cão das observa¸cões realizadas com uma hip´otese formulada, a priori, sobre o parâmetro de interesse. Em ambos os casos, e é essa caracter´ıstica que distingue a estat´ıstica in- ferencial da estat´ıstica descritiva, pretende-se quantificar a confian¸ca que temos nas conclusões que apresentamos, ou de forma equivalente, quantificar o erro que podemos estar a cometer. Como veremos a seguir, o conhecimento da distribui¸cão amostral da estat´ıstica de interesse, seja ela a média amostral ¯_{x ou a propor¸cão amostral b}p, é essencial para atingirmos estes objectivos.

No documento Estatística, Notas de apoio às aulas (páginas 194-200)